“數(shù)學理解”背景下的小學數(shù)學立體式教學

浙江紹興市培新小學（312000）蔣國紅

隨著新課程理念逐步深入人心，教師越來越關(guān)注學生的“學”，但由于缺乏對全局的有效把控，在教學中容易出現(xiàn)極少數(shù)思維活躍者成為課堂對話的主角、其他學生處于被動聽講狀態(tài)的現(xiàn)象。研究表明，兒童思維的發(fā)展并不單純依靠知識的累積，更體現(xiàn)在知識形成與運用的過程與方法之中，前者只是感性經(jīng)驗的疊加，后者才是理性認識的凝結(jié)。如果學生的數(shù)學思維不夠活躍，思考時過度依賴他人，不善于洞察數(shù)學知識的本質(zhì)，那他們就不能用所學的知識靈活應對各種具體的問題情境。

其實，早在1976年，英國數(shù)學教育家斯根普就提出了數(shù)學理解的兩種類型：工具性理解與關(guān)系性理解。

工具性理解是指把數(shù)學理解當作掌握概念、認識定理、助力推理等程序操作的工具，是立足于“知道有這么一回事”的理解。關(guān)系性理解是一種整體性理解，它以“知其然，更要知其所以然”為目的。

傳統(tǒng)數(shù)學教學是一種二維式教學，它遵循工具性理解這一主線，在這樣的教學中學生只需要學會針對特定數(shù)學對象進行特定的操作即可，這為新理念的提出奠定了基礎(chǔ)。北京師范大學教授綦春霞認為，數(shù)學理解不僅要求能對數(shù)學對象進行熟練地操作，更應體現(xiàn)從表象理解、解釋理解到建立聯(lián)系、進行思想運用的過程。據(jù)此，筆者結(jié)合小學數(shù)學教學實踐，把數(shù)學理解分為表象理解、語義理解、知覺理解、整體理解與創(chuàng)新理解五個層次，并做出基于數(shù)學理解的小學數(shù)學“三維五層”結(jié)構(gòu)模型（如圖1）。以下結(jié)合教學實踐進行探討。

圖1

一、動手操作形成表象理解

小學生的認知水平有限，思維方式以形象思維為主，形象思維即是在頭腦中建立數(shù)學對象的具體形象的思維方式。

比如在“比較分數(shù)大小”的教學中，教師讓學生分組活動，要求學生先拿出兩張相同的正方形紙片，分別給正方形紙片的與的部分涂上顏色，學生很快就知道接著教師又讓學生比較與的大小，學生通過操作又明白了然后教師提問：“你發(fā)現(xiàn)了這兩組分數(shù)的數(shù)字的特點嗎？你能發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律嗎？能否舉例說明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？”學生在自定數(shù)據(jù)、自行操作的基礎(chǔ)上，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律：分母相同，分子大的那個分數(shù)大；分子相同，分母大的那個分數(shù)反而小。

學生得出了規(guī)律并不代表他們真正理解了規(guī)律，還是有部分學生不知道為什么“分子相同，分母大的那個分數(shù)反而小”。因此，動手操作雖有助于學生建立知識表象，但這種操作也只是一種深入學習的方式而已。

二、詞句辨析促進語義理解

盡管學生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的，但他們用的是一種不完全歸納的方法，“語言是思維的外殼”，用語義來促進理解就顯得十分重要。

三、多向辨識形成知覺理解

知覺理解與語義理解的層次不同。以生活中的例子來說明，如果一個新手司機僅靠背誦教練教的法則來開車，那么在遇到突發(fā)情況時默念一句操作要領(lǐng)可能就需要五秒鐘，這樣，交通事故幾乎難以避免了，這就是語義理解的局限性。

知覺理解要做的就是在遇到意外時能憑直覺直接采取正確行動，所以說知覺理解是一種不憑借語言的直覺理解，是一種經(jīng)過長期訓練而形成的即刻性的條件反射。正因為如此，幫助學生形成知覺理解是完全必要的。

1.辨析

辨析可以讓人確定一類對象是否在某一數(shù)學概念或法則所指向的范圍內(nèi)，從而進一步明確概念與法則。比如，出示問題“下列數(shù)量關(guān)系中屬于反比例關(guān)系的是（ ）。A.三角形底邊一定時，面積與高的關(guān)系B.三角形面積一定時，底邊與底邊上的高的關(guān)系C.長方形的長與寬的關(guān)系D.長方形周長一定時，長與寬的關(guān)系”讓學生辨析，學生對照反比例關(guān)系的定義，理解了構(gòu)成反比例關(guān)系的兩個量中必須具有“積一定”這個條件，辨析之后明白這里只有B選項中的兩個量符合要求。

2.模仿

愛模仿是小學生的特點，盡管模仿仍是屬于工具性理解的范疇，但學生的學習也確實離不開模仿，數(shù)學課本中有那么多的例題，正是為了讓學生學會模仿。比如，讓學生比較和的大小，這兩個分數(shù)既不是同分母分數(shù)，也不是同分子分數(shù)，而且借助通分比較大小似乎也不那么容易，這時有個學生說出了辦法：“把兩個分數(shù)各加上一個分數(shù)可以得到1，分別加上去的分數(shù)能比較大小，加上的分數(shù)大的，原分數(shù)就小?！庇辛诉@次經(jīng)驗，下次遇到同類題，學生都會模仿著做了。

3.變式

變式是指通過改變數(shù)學對象的非本質(zhì)屬性而突出其本質(zhì)屬性的訓練策略。首先，變式訓練必須“善變”。比如，有位教師在黑板上畫三角形總是習慣把其中一條邊畫成水平的，然后把另外兩邊畫在它的上邊，這固然好看，但無形中給學生造成“畫三角形必須有一條邊呈水平”的錯覺，這就與多用變式的教學初衷相違背了。其次，變式訓練要防止學生錯誤改變。比如，有的學生給鈍角三角形畫高時，會將三條高都畫在三角形內(nèi)部，這是受了銳角三角形畫高方法的影響。最后，變式訓練必須在“善變”中求“不變”，以本質(zhì)屬性的“不變”應對非本質(zhì)屬性的“萬變”。在指導學生給三角形畫高的時候，由于三角形的高從本質(zhì)上來說就是直線外一點到這條直線的垂直線段，教師可以先讓學生復習一下如何從直線外一點向直線畫垂直線段，然后為學生播放事先準備的微課，讓學生練習通過頂點向?qū)吽谥本€作垂直線段就可以了。

四、縱橫聯(lián)系生成整體理解

教育學家布魯納認為：“如果一個數(shù)學概念或定理成為兒童內(nèi)在心理表征網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么它就被兒童所理解了?！睌?shù)學理解對象的聯(lián)系是一種不斷聯(lián)系與被聯(lián)系的過程，需要教師在日常教學中教會學生形成這種意識。

1.縱向聯(lián)系

縱向聯(lián)系是指同類對象之間的聯(lián)系。比如，“平行四邊形的面積”往前聯(lián)系著“長方形的面積”，往后又啟示著“三角形面積”的探索。再如，“列方程的方法”與“算術(shù)方法”都是解應用題的基本方法。

2.橫向聯(lián)系

橫向聯(lián)系是不同范疇的研究對象之間的聯(lián)系。比如，為了幫助學生理解異分母分數(shù)加減時要通分的原因，教師可以讓學生聯(lián)系小數(shù)加減法中為何要對齊小數(shù)點這一知識點。兩種運算法則的表述不同，有什么可比性呢？顯然是由于對齊小數(shù)點的實質(zhì)是對齊相同數(shù)位，而將異分母分數(shù)化作同分母分數(shù)也可以出現(xiàn)相同的分數(shù)單位，單位相同才能相加就是兩類運算的本質(zhì)聯(lián)系。

五、反思運用促進創(chuàng)新理解

通過縱橫聯(lián)系，學生可以建構(gòu)數(shù)學理解的網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)數(shù)學知識的資源共享與協(xié)同式理解。這種聯(lián)系的方向事先往往不確定，聯(lián)系的形式也多種多樣，通過不斷探索聯(lián)系的渠道，能實現(xiàn)學生的創(chuàng)新理解與創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。比如以下探究題：

如果學生能從第（1）題中發(fā)現(xiàn)算式的變化規(guī)律，雖然也可以最終寫出第（2）題的答案，但是這還不是數(shù)學理解，因為他們還不懂答案為什么是這樣的。教師可以引導學生：“如果我們從分數(shù)的意義入手，用畫圖的方法來分析呢？”然后畫出如圖2的示意圖，并根據(jù)示意圖說明思維過程：一樣東西拿掉它的一半，剩下的部分也是它的一半，即再拿掉剩下部分的即再拿掉它的剩下的部分也是它的如此，每次都拿掉上一次剩下部分的結(jié)果每次剩下的量與拿走的量相同。由此可知，

圖2

這里，教師通過數(shù)形結(jié)合的方法實現(xiàn)了算術(shù)問題與幾何操作的有機聯(lián)系，這說明數(shù)學理解已經(jīng)從既定框架中向外拓展，而且進行了創(chuàng)新。

總之，基于“數(shù)學理解”這一理論方向，針對傳統(tǒng)小學數(shù)學教學方式，著重建構(gòu)數(shù)學理解層次，將使數(shù)學理解從二維體系發(fā)展成三維模式，有助于促進教學實踐，實現(xiàn)數(shù)學教學“生本化”，為小學數(shù)學教學質(zhì)量的提高提出了一條可探索的途徑。在針對“數(shù)學理解”的研究越來越深入的今天，筆者對本文所述的觀點抱著既肯定又擔心的態(tài)度，且還有待進一步探索與提高。