三角形三邊關(guān)系之“三探”

江蘇海安市城南實(shí)驗(yàn)小學(xué)（226600）張小麗

【教學(xué)案例】

師（課件出示形形色色、形狀各異的圖形）：你能識(shí)別出三角形嗎？

（學(xué)生很快找到了三角形，而且找得很齊全）

師：你們尋找的依據(jù)是什么？又憑借什么斷言它們是三角形？

生1：只要含有三條邊、三個(gè)角的幾何圖形就可以認(rèn)定為三角形。

生2：不對(duì)，應(yīng)該說(shuō)由三條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫作三角形，而三角形含有三條邊、三個(gè)角和三個(gè)頂點(diǎn)。

師（圖片演示）：由三條線(xiàn)段首尾順次相接圍成的圖形是三角形。

師：假若提供三條線(xiàn)段，你有把握能?chē)梢粋€(gè)三角形嗎？

生3（胸有成竹）：能。

（教師發(fā)給學(xué)生8厘米、10厘米、15厘米的竹簽各一根，學(xué)生上臺(tái)演示，順利完成任務(wù)）

師（教師再發(fā)給學(xué)生3厘米、10厘米、15厘米的竹簽各一根，學(xué)生搗鼓半天，始終無(wú)法如愿）：通過(guò)剛才的兩次嘗試，你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么蹊蹺？

生4：三根竹簽圍三角形，有時(shí)成功，有時(shí)失敗。

師：一語(yǔ)中的！那么什么時(shí)候會(huì)成功，什么時(shí)候會(huì)失?。窟@其中到底有什么奧秘？三角形的三邊之間是否存在某種不為人知的微妙聯(lián)系呢？這就是我們本次課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。

評(píng)析：教師利用學(xué)生思維中的“漏洞”和思想上的“麻痹”，讓學(xué)生自行拼接三角形，并且故意配給兩組拼接結(jié)果截然不同的竹簽，制造了認(rèn)知沖突。在成敗得失之間，學(xué)生對(duì)三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生了強(qiáng)烈的好奇心。從三角形的表面看，學(xué)生最初誤認(rèn)為任意三條線(xiàn)段就能組成三角形，但通過(guò)動(dòng)手拼接，認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，開(kāi)始意識(shí)到三角形的三邊之間定然存在某種微妙關(guān)系，而這種關(guān)系直接決定能不能?chē)扇切巍Ｔ摻虒W(xué)是較為常見(jiàn)的模式，大部分教師都用這種方法。下面利用“三探”對(duì)該教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)新性的改進(jìn)。

一、獨(dú)立自主探究

【教學(xué)片段1】

師：老師給每個(gè)小組發(fā)一個(gè)匣子，匣子里有五根竹簽，要求大家通過(guò)這五根竹簽的拼接，探索出三角形三邊的關(guān)系。

課件呈現(xiàn)合作須知：

（1）從匣子中存放的五根竹簽（長(zhǎng)度分別為4厘米、6厘米、8厘米、10厘米、15厘米）中隨機(jī)抽取三根，試著拼接三角形。

（2）小組共同探究，小組長(zhǎng)負(fù)責(zé)記錄數(shù)據(jù)，包括竹簽長(zhǎng)度和拼接成敗。（見(jiàn)表1）

表1

（3）綜合分析本組多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，并回答以下問(wèn)題：如果能夠圍成三角形，三根竹簽需要滿(mǎn)足什么條件？什么情況下會(huì)拼接失敗？

評(píng)析：課本的原意是準(zhǔn)備四組竹簽先讓學(xué)生操作，然后通過(guò)列式比較大小來(lái)推導(dǎo)三角形的三邊關(guān)系，如此設(shè)計(jì)固然直截了當(dāng)，但是在操作之后就迫不及待地要求學(xué)生列式，從定性分析直接上升到定量分析，未免有些突兀和操之過(guò)急。學(xué)生被教師牽著鼻子走，被迫去操作、計(jì)算，得出的結(jié)論自然也不是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的。為什么一定要拿兩邊之和與第三邊做比較，比較其他的關(guān)系就不行嗎？顯然，如此探究不過(guò)是學(xué)生在教師的授意下做出的妥協(xié)與順從。鑒于此，筆者對(duì)該部分做了加工和改進(jìn)，改為“發(fā)給學(xué)生五根不同長(zhǎng)度的竹簽，讓學(xué)生隨機(jī)抽選三根進(jìn)行拼接實(shí)驗(yàn)，并從中歸納出定律”。這樣，學(xué)生就能通過(guò)操作活動(dòng)體驗(yàn)到三邊之間的長(zhǎng)度關(guān)系能夠左右拼接的成敗，然后通過(guò)對(duì)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，從中歸納出三角形的三邊關(guān)系。

三角形的三邊關(guān)系是一個(gè)抽象的幾何關(guān)系，是定性分析的結(jié)果，那么就意味著無(wú)法采用一般的邏輯推理法去推導(dǎo)，因?yàn)闆](méi)有特殊和一般之分，所以無(wú)法進(jìn)行演繹推理，也無(wú)法進(jìn)行合情推理，只能用直觀(guān)演示法來(lái)揭示，即讓學(xué)生在大量的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)不尋常的地方，產(chǎn)生認(rèn)知沖突：為什么有的竹簽可以拼接成三角形，有的卻不行。在好奇心的驅(qū)使下，學(xué)生就會(huì)積極主動(dòng)探究，通過(guò)對(duì)比觀(guān)察，理性歸納出三根竹簽?zāi)車(chē)扇切蔚谋匾獥l件。

二、小組合作探究

【教學(xué)片段2】

活動(dòng)環(huán)節(jié)：學(xué)生4人一組開(kāi)展探究活動(dòng)，一人拼接竹簽，小組長(zhǎng)記錄竹簽長(zhǎng)度和實(shí)驗(yàn)成敗，其他組員觀(guān)察數(shù)據(jù)并綜合分析。教師巡檢督導(dǎo)，傾聽(tīng)學(xué)生意見(jiàn)。

匯報(bào)環(huán)節(jié)：各組派代表上臺(tái)匯報(bào)本組的實(shí)驗(yàn)情況，教師綜合各組的數(shù)據(jù)，整理出一份規(guī)范的記錄單（見(jiàn)表2）。

表2

生1：我覺(jué)得長(zhǎng)度分別為4厘米、6厘米、10厘米的三根竹簽也能拼接成一個(gè)三角形。

師：真的嗎？可否讓大家開(kāi)開(kāi)眼界。

（由于學(xué)具可彎曲，生1拼成了“三角形”。）

生2：生1的竹簽有些畸形，湊巧而已。

生3：從理論上講根本無(wú)法拼成三角形，因?yàn)閮筛讨窈灥拈L(zhǎng)度加起來(lái)等于第三根竹簽的長(zhǎng)度，兩根短竹簽連起來(lái)會(huì)與第三根竹簽重合成一條線(xiàn)，無(wú)法拱起形成犄角。

師：言之有理，我們來(lái)看看動(dòng)態(tài)演示。（動(dòng)態(tài)演示的結(jié)果顯示：長(zhǎng)度分別為4厘米、6厘米、10厘米的三根竹簽無(wú)法拱起形成犄角）

師：什么情況下三根竹簽無(wú)法圍成三角形呢？

生4：當(dāng)其中兩根短竹簽的長(zhǎng)度和小于或者等于長(zhǎng)竹簽時(shí)無(wú)法圍成三角形。

師：那么若要圍成三角形，對(duì)三根竹簽的長(zhǎng)度有什么要求呢？

生5：當(dāng)兩根較短竹簽長(zhǎng)度之和超過(guò)第三根較長(zhǎng)竹簽時(shí)，就能拼成三角形。

師：分析得很到位，由此可以推斷，三角形的三邊必然存在某種關(guān)系。

生6：兩短邊長(zhǎng)度之和必然超過(guò)最長(zhǎng)邊。

生7：任意兩邊之和必然大于第三邊，不然就無(wú)法構(gòu)成三角形了。

師：“任意”二字切中了要害，還道明了其中原委。誰(shuí)能再精簡(jiǎn)一下？

生8：在三角形中任意兩邊的和大于第三邊。

評(píng)析：“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行。”教師直接告知結(jié)論，學(xué)生未必記得住，就算記得住也未必信服，而學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)并通過(guò)檢驗(yàn)證實(shí)有效的結(jié)論，則會(huì)給學(xué)生留下深刻的印象。學(xué)生通過(guò)對(duì)操作中遇到的兩種截然不同的現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)比辨析，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而歸納出三角形的三邊關(guān)系。從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、產(chǎn)生疑問(wèn)，到收集、整理、分析數(shù)據(jù)，初步發(fā)現(xiàn)操作性的實(shí)驗(yàn)規(guī)律，然后轉(zhuǎn)化成理論成果，學(xué)生在教師的操作指導(dǎo)下，獨(dú)立完成了一次數(shù)學(xué)理論研究，不僅掌握了相關(guān)知識(shí)，而且學(xué)到了科學(xué)的研究方法。

很多課堂上隨機(jī)抽取木棒嘗試圍成三角形的實(shí)驗(yàn)，還只是停留在感性認(rèn)知的層面，在這樣的實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生隱隱約約感到三邊的差距不能太大，但是又說(shuō)不清楚到底是多少才合理，無(wú)法定量分析出個(gè)所以然來(lái)?？梢?jiàn)完全靠直觀(guān)法終究無(wú)法得出確切的結(jié)論，因此數(shù)字化的定量探究過(guò)程是必要的，只有用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)才能令人信服，也最能讓規(guī)律外顯。于是，學(xué)生將所選的組合長(zhǎng)度記錄下來(lái)并制成表格后，在大量數(shù)據(jù)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，三邊之間的差距其實(shí)可以通過(guò)算式來(lái)具體表達(dá)，即最短的兩邊長(zhǎng)度之和不能小于最長(zhǎng)的邊。當(dāng)教師指引學(xué)生弄清兩邊之和等于第三邊也無(wú)法圍成三角形的原委之后，學(xué)生最終才能下定結(jié)論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

三、拓展探究

【教學(xué)片段3】

出示（教材第31頁(yè)第1題，題略）：勾選能擺成三角形的竹簽。

生1：第一組和第三組可擺成三角形，因?yàn)槿我鈨筛窈灥拈L(zhǎng)度之和大于第三根竹簽。第二組不能，因?yàn)楸窘M有兩根竹簽長(zhǎng)度之和等于第三根竹簽。

生2：不用成對(duì)逐項(xiàng)篩查，只需直接判斷最短兩邊之和與最長(zhǎng)邊的大小關(guān)系即可一錘定音。

出示（教材第31頁(yè)第2題，題略）：從下面五根竹簽中隨機(jī)抽選三根，嘗試擺出兩個(gè)不同形狀的三角形。

師：拼接前先設(shè)想“擺出的三角形會(huì)是什么樣子”，然后再動(dòng)手操作，對(duì)比一下是否與設(shè)想的相符。

生3：我擺出了兩個(gè)三角形，一個(gè)是等邊三角形，另一個(gè)是等腰三角形。

生4：我擺出了兩個(gè)三角形，一個(gè)是鈍角三角形，另一個(gè)是銳角三角形。

……

出示題目：如果已知三角形的兩條邊的長(zhǎng)分別是5厘米和8厘米，那么第三邊的長(zhǎng)度范圍是多少？

生1：第三邊長(zhǎng)度應(yīng)該介于3厘米和13厘米之間。

師：愿聞其詳。

生1：因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏鸵笥诘谌?，若?厘米的邊作為最長(zhǎng)邊，第三邊加上5就應(yīng)該大于8，所以第三邊就應(yīng)該大于3；若將第三邊作為最長(zhǎng)邊，那么第三邊要小于5+8=13，而5厘米的邊不可能設(shè)為最長(zhǎng)邊，因此只需考慮以上兩種情況。

生2（若有所思）：8-5=3，8+5=13，第三邊就處于這兩個(gè)結(jié)果之間。

師：是不是三角形中任意兩邊的差都小于第三邊呢？大家不妨證實(shí)一下。

師：可以借用前面可以圍成三角形的三邊數(shù)據(jù)。

出示數(shù)據(jù)：

表3

生3（再次回顧前面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)照觀(guān)察發(fā)現(xiàn)新結(jié)論）：6-4＜8，8-4＜6，8-6＜4，沒(méi)有一個(gè)例外，所以三角形任意兩邊的差都小于第三邊的結(jié)論成立。

評(píng)析：在研究出三角形任意兩邊之和大于第三邊的定理后，筆者設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題，給定兩邊長(zhǎng)度，讓學(xué)生確定第三邊長(zhǎng)度的取值范圍。這次不再是判別能不能構(gòu)成三角形，而是要通過(guò)運(yùn)算確定邊長(zhǎng)，引發(fā)學(xué)生深度思考。這個(gè)思考是多向的、全面的，之前只需要直接兩兩求和進(jìn)行對(duì)比，現(xiàn)在出現(xiàn)一個(gè)不確定元素，這個(gè)元素既可以作為最長(zhǎng)邊，又可以作為非最長(zhǎng)邊，所以會(huì)出現(xiàn)一個(gè)取值范圍，而且需要換位運(yùn)算，從而引出作差的需要。

應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系推算第三邊的長(zhǎng)度取值范圍，必須將三角形的三邊關(guān)系結(jié)論進(jìn)一步拓展，才能得出另一個(gè)對(duì)稱(chēng)結(jié)論——三角形兩邊之差小于第三邊。要想得出第一個(gè)基本結(jié)論的“姊妹篇”，還得轉(zhuǎn)向定量分析：給定三角形的兩邊長(zhǎng)度，然后根據(jù)第一個(gè)基本結(jié)論推算出第三邊的長(zhǎng)度取值范圍。這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常復(fù)雜，邏輯性非常強(qiáng)，因?yàn)橥扑愠龅谌叺拈L(zhǎng)度取值范圍后，還要再根據(jù)三邊相對(duì)精確的長(zhǎng)度關(guān)系反推出結(jié)論。至此，三角形的三邊關(guān)系才算徹底明朗，而這個(gè)最終結(jié)論是在定性分析與定量分析交替進(jìn)行中得出的。