基于數(shù)學(xué)理解的總復(fù)習(xí)教學(xué)路徑探索
——以“立體圖形的表面積和體積總復(fù)習(xí)”教學(xué)為例

江蘇太倉(cāng)市城廂鎮(zhèn)第一小學(xué)（215411）陳 瑛

數(shù)學(xué)理解不僅要理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還要從數(shù)學(xué)的角度去理解現(xiàn)實(shí)。總復(fù)習(xí)時(shí)，既要讓學(xué)生回顧已學(xué)過(guò)的知識(shí)，又要讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中獲得新的發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識(shí)，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，這樣才能打通知識(shí)的“任督二脈”，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。

筆者以“立體圖形的表面積和體積總復(fù)習(xí)”為例，從在總復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題出發(fā)，基于全局視角進(jìn)行分析，并對(duì)總復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行新的實(shí)踐和探索，以期尋找促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)路徑。

一、問(wèn)題凝視：基于真實(shí)學(xué)情的總復(fù)習(xí)教學(xué)困惑

總復(fù)習(xí)教學(xué)與平常的單元復(fù)習(xí)課和練習(xí)課有所不同，總復(fù)習(xí)教學(xué)需要溫故知新、貫通聯(lián)系。教師不僅要幫助學(xué)生溫習(xí)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要打通知識(shí)間的聯(lián)系，并且向外延伸，為第三學(xué)段的學(xué)習(xí)做鋪墊。

比如，教學(xué)“立體圖形的表面積和體積總復(fù)習(xí)”時(shí)，筆者在課前請(qǐng)學(xué)生就立體圖形的表面積和體積等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理。大部分學(xué)生都以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)（如圖1）。圖很美觀，但圖中只有圖形及其表面積和體積的公式，很難看到知識(shí)間的聯(lián)系。

圖1

這引發(fā)了筆者的思考：課前復(fù)習(xí)到底需要怎樣的前置研究？是以“好看”為標(biāo)準(zhǔn)，還是以“深入”為目標(biāo)？教師該以怎樣的方式引導(dǎo)學(xué)生串連知識(shí)點(diǎn)？如何才能真正達(dá)到教學(xué)目標(biāo)？

二、成因透視：基于全局視角的總復(fù)習(xí)教學(xué)問(wèn)題分析

筆者深入思考總復(fù)習(xí)教學(xué)問(wèn)題，不斷追問(wèn)、分析原因，發(fā)現(xiàn)主要有三方面原因：教材、學(xué)情和復(fù)習(xí)形式。教師教學(xué)時(shí)要基于教材，更要高于教材；要基于學(xué)情，更要充分研究學(xué)情；要淡化教學(xué)形式，但需深入挖掘知識(shí)內(nèi)涵。

1.簡(jiǎn)單照搬教材，缺乏深度理解

教材是知識(shí)的有效載體，教師通過(guò)認(rèn)真研讀教材，充分利用甚至是改編教材習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)。但對(duì)于同樣的教材，不同的教師處理時(shí)的方式不同，就會(huì)產(chǎn)生不同的教學(xué)效果。

蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)中“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與可能性”三大板塊均以“整理與反思+練習(xí)與實(shí)踐”的形式推進(jìn)。“整理與反思”部分主要通過(guò)幾個(gè)核心問(wèn)題幫助學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)知識(shí)和方法間的內(nèi)在聯(lián)系，以促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生新思考，獲得新認(rèn)識(shí)，進(jìn)而加深對(duì)知識(shí)的理解。

但實(shí)際教學(xué)中不乏出現(xiàn)照搬教材、走流程的現(xiàn)象，從而使學(xué)生缺乏對(duì)知識(shí)的深度理解。這樣的總復(fù)習(xí)教學(xué)是乏味的，學(xué)生的復(fù)習(xí)效率是低下的。

2.模糊真實(shí)學(xué)情，缺乏整體建構(gòu)

總復(fù)習(xí)教學(xué)是復(fù)習(xí)梳理、溫故知新，因此容易忽視真實(shí)的學(xué)情，教師以自己理解的學(xué)情進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，缺乏對(duì)知識(shí)的整體建構(gòu)，學(xué)生以能正確完成相關(guān)練習(xí)為主要目標(biāo)，缺乏深度思考。因此，習(xí)題有所變換或是提升難度時(shí)，學(xué)生便不能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。

學(xué)習(xí)能力比較強(qiáng)的學(xué)生不僅可以解決基礎(chǔ)問(wèn)題，還可以獨(dú)立解決難度稍高的問(wèn)題。學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生沒(méi)打牢基礎(chǔ)，他們需要鞏固知識(shí)，將薄弱點(diǎn)逐漸變?cè)鷮?shí)。對(duì)此，在復(fù)習(xí)課前，教師可通過(guò)多種途徑了解學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，然后根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)相應(yīng)的復(fù)習(xí)任務(wù)，讓不同的學(xué)生通過(guò)分層練習(xí)得到不同的發(fā)展。

3.過(guò)度關(guān)注形式，缺乏脈絡(luò)梳理

總復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師常讓學(xué)生用思維導(dǎo)圖梳理知識(shí)。一張美觀的思維導(dǎo)圖，不僅包括對(duì)知識(shí)的梳理，還有圖畫(huà)的繪制，相對(duì)而言耗時(shí)較多。仔細(xì)查看這些思維導(dǎo)圖，筆者發(fā)現(xiàn)，大部分是簡(jiǎn)單地呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)，如基本概念、公式，深層的知識(shí)內(nèi)涵較少，也沒(méi)有對(duì)相關(guān)知識(shí)的脈絡(luò)梳理。

這樣的知識(shí)梳理過(guò)程重在形式，缺乏內(nèi)在理解。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更需關(guān)注知識(shí)的內(nèi)涵，教師可在布置思維導(dǎo)圖任務(wù)時(shí)適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生多關(guān)注深層次的東西，如一個(gè)公式的本質(zhì)是什么、它以怎樣的方式產(chǎn)生、這個(gè)公式與其他公式之間有怎樣的聯(lián)系等。若學(xué)生能經(jīng)歷這樣的思考，那么他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會(huì)逐漸深入。

三、出路審視：基于數(shù)學(xué)理解的總復(fù)習(xí)教學(xué)路徑探索

基于以上的分析和思考，筆者認(rèn)為總復(fù)習(xí)教學(xué)對(duì)于學(xué)生既是對(duì)知識(shí)的梳理和回顧，又是一次知識(shí)生長(zhǎng)的過(guò)程，教師要充分了解學(xué)情，厘清知識(shí)脈絡(luò)，打通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解真正落到實(shí)處。

1.厘清脈絡(luò)，通透本質(zhì)

從學(xué)生畫(huà)的思維導(dǎo)圖可以看出，少有學(xué)生關(guān)注立體圖形的體積公式是如何推導(dǎo)出來(lái)的。極少學(xué)生會(huì)畫(huà)圓柱體積公式的推導(dǎo)圖，大部分學(xué)生是畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體、一個(gè)正方體、一個(gè)圓柱，然后在它們旁邊標(biāo)注體積公式。

筆者認(rèn)為，在“立體圖形的表面積和體積總復(fù)習(xí)”中，要溝通各立體圖形之間的聯(lián)系。學(xué)生如果能畫(huà)圖表征體積公式的內(nèi)涵，就能更好地理解體積的本質(zhì)。

課前導(dǎo)學(xué)可如下設(shè)計(jì)。

請(qǐng)你畫(huà)示意圖說(shuō)明如何求出下列立體圖形的體積。

（1）長(zhǎng)方體：長(zhǎng)4厘米、寬3厘米、高2厘米。（2）正方體：棱長(zhǎng)2厘米。

（3）圓柱：底面半徑1厘米、高2厘米。

【片段1：畫(huà)圖表征，凸顯本質(zhì)】

生1：用棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體擺成長(zhǎng)4厘米、寬3厘米、高2厘米的長(zhǎng)方體，一行擺4個(gè)，擺3行、2層，長(zhǎng)方體的體積是4×3×2=24（立方厘米）。

生2：用棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體擺成棱長(zhǎng)是2厘米的大正方體，一行擺2個(gè)，擺2行、2層，大正方體的體積是2×2×2=8（立方厘米）。

生3：可將圓柱轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方體，那么長(zhǎng)方體的長(zhǎng)相當(dāng)于圓柱的底面圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)方體的寬相當(dāng)于圓柱的底面直徑，長(zhǎng)方體的高相當(dāng)于圓柱的高。根據(jù)長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高，就推導(dǎo)出圓柱的體積公式。

師：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別指什么？

生4：長(zhǎng)是指一行有幾個(gè)小正方體，寬是指有幾行，高是指有幾層。

師：求長(zhǎng)方體或大正方體的體積，就是求什么？

生5：求有幾個(gè)小正方體。

師：把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體后，是不是也可以理解為算一共有多少個(gè)小正方體？

生6：是的。

通過(guò)改變課前導(dǎo)學(xué)，從全開(kāi)放的課前復(fù)習(xí)整理，到有針對(duì)性的課前導(dǎo)學(xué)研究，學(xué)生對(duì)知識(shí)梳理的目標(biāo)更加明確，不僅能寫(xiě)出立體圖形的體積公式，還掌握了體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，以及它們之間的聯(lián)系。在交流過(guò)程中，同伴互學(xué)讓學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行思維的碰撞，燃起學(xué)習(xí)的興趣，起到了非常好的助推作用。學(xué)生交流時(shí)，教師的提問(wèn)需直指本質(zhì)，讓學(xué)生理解這些立體圖形體積公式之間的聯(lián)系，突破本質(zhì)理解。

2.聯(lián)系完善，構(gòu)建體系

“立體圖形的表面積和體積總復(fù)習(xí)”的教學(xué)，重在“統(tǒng)”，即統(tǒng)一體積、統(tǒng)一側(cè)面、統(tǒng)一表面。經(jīng)歷并完成“統(tǒng)”的過(guò)程，是學(xué)生探索和理解知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的契機(jī)，可將知識(shí)進(jìn)行溝通、統(tǒng)整，構(gòu)建完善的知識(shí)的體系。為此，筆者設(shè)計(jì)了如下活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生用長(zhǎng)方形彩紙做立體圖形，經(jīng)歷“統(tǒng)”的過(guò)程。

【片段2：打通聯(lián)系，促進(jìn)理解】

師：你是怎么做圓柱的？

生1：可以像這樣卷一下。（分別沿著彩紙的長(zhǎng)邊和短邊卷）

師：這樣卷出的沒(méi)有底面的圓柱，有什么共同點(diǎn)嗎？

生2：側(cè)面積相等。

師：你是如何做長(zhǎng)方體的？做的時(shí)候有什么要注意的地方嗎？

生3：可以向同一個(gè)方向?qū)φ墼賹?duì)折，然后圍起來(lái)就可以了。

師：剛才同學(xué)們折出的這些長(zhǎng)方體的大小和形狀不一，但有什么相同之處？

生4：側(cè)面積相等。

師：同樣的彩紙，可以做不同的長(zhǎng)方體和圓柱，它們之間有聯(lián)系嗎？

生（齊）：它們的側(cè)面積都相等。

師：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的體積和側(cè)面積能用統(tǒng)一的公式計(jì)算嗎？

生5：側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高。

師：既然它們的體積和側(cè)面積可以用相同的公式來(lái)計(jì)算，那表面積也可以用同一個(gè)公式來(lái)算嗎？

生6：表面積=側(cè)面積+底面積×2。

師：在解決立體圖形表面積的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，都是用“側(cè)面積+底面積×2”計(jì)算嗎？

［學(xué)生分別回答一側(cè)無(wú)底（如通風(fēng)管）、一側(cè)一底（如無(wú)蓋水桶）、一側(cè)兩底的情況］

學(xué)生用同樣的彩紙做長(zhǎng)方體和圓柱，發(fā)現(xiàn)了立體圖形間的奧秘，從而統(tǒng)一了長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的側(cè)面積和表面積的計(jì)算方式，同時(shí)找出生活中的實(shí)例。

整個(gè)過(guò)程，學(xué)生在玩中學(xué)，在玩中悟。每個(gè)學(xué)生都完整經(jīng)歷了立體圖形表面積和體積“統(tǒng)”的過(guò)程，這是在之前新課學(xué)習(xí)時(shí)不曾經(jīng)歷的。而總復(fù)習(xí)課中常有的習(xí)題，在這節(jié)課中看似較少，實(shí)則蘊(yùn)含了一類(lèi)解題方法。如表面積問(wèn)題，雖然沒(méi)有單獨(dú)的習(xí)題，但學(xué)生在“統(tǒng)”之后找到了一側(cè)無(wú)底、一側(cè)一底、一側(cè)兩底的情況。學(xué)生會(huì)舉例、驗(yàn)證，才是真正理解了知識(shí)。

3.面向未來(lái)，促進(jìn)生長(zhǎng)

總復(fù)習(xí)教學(xué)不僅是對(duì)小學(xué)階段的立體圖形進(jìn)行梳理，還可進(jìn)行拓展和延伸，為第三學(xué)段做好鋪墊，讓知識(shí)有生長(zhǎng)點(diǎn)。比如在這節(jié)課中，讓學(xué)生完成“統(tǒng)”之后，可讓學(xué)生接著玩，利用彩紙做一個(gè)新的立體圖形，進(jìn)行更大的“統(tǒng)”，引出直柱體，統(tǒng)一計(jì)算方法。

【片段3：激發(fā)想象，智慧生長(zhǎng)】

師：這張彩紙還能做其他立體圖形嗎？

學(xué)生展示成果（如圖2）：

師：同學(xué)們做出的這些立體圖形有什么共同點(diǎn)？

生1：上下底面完全一樣。

（教師引出直柱體的相關(guān)知識(shí)）

師：你認(rèn)為這些直柱體是否也有統(tǒng)一的計(jì)算側(cè)面積、表面積和體積的公式？

（師生一起歸納計(jì)算公式）

引出直柱體后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)具有相同特征的一些直柱體也可以用這張彩紙做出來(lái)。還有一些直柱體雖然用這張紙不容易做出來(lái)，但是可以根據(jù)它們的特征自由想象，從多個(gè)圖形變成一類(lèi)圖形，從一類(lèi)圖形又延伸到無(wú)數(shù)個(gè)圖形，可以用相同的公式計(jì)算同類(lèi)圖形的體積、側(cè)面積和表面積。

筆者認(rèn)為，學(xué)生對(duì)立體圖形的表面積和體積的認(rèn)識(shí)應(yīng)有一個(gè)完整、系統(tǒng)的建構(gòu)過(guò)程，既要“瞻前”，又要“顧后”。教師在充分了解學(xué)情后，要進(jìn)行梳理、聯(lián)系、延展，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解落到實(shí)處，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷提升。

總復(fù)習(xí)教學(xué)要做到溫故而知新，教師要有長(zhǎng)遠(yuǎn)的目光，有把教材讀薄的能力，將零散的知識(shí)點(diǎn)串連起來(lái)，打通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，完善知識(shí)體系，并適時(shí)進(jìn)行拓展延伸，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)埋下種子。學(xué)生在充滿數(shù)學(xué)味的活動(dòng)中內(nèi)化知識(shí)，主動(dòng)建構(gòu)結(jié)構(gòu)化、可遷移的認(rèn)知系統(tǒng)。這個(gè)過(guò)程是面向人人的，教師不僅要研究學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，還要探究學(xué)生學(xué)習(xí)的支點(diǎn)，展望學(xué)生發(fā)展的終點(diǎn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)靈動(dòng)舒展。