探析分類討論法在初中數學解題教學中的實踐

朱軍平

【摘要】在我國初中階段，數學學科作為一門復雜學科，具備嚴密邏輯性，同時，也是學好其他學科的重要基礎.初中數學在教學過程中，要立足于課本教學實際情況，制定符合學生特點的教學方法，能夠通過激發學生興趣，進一步提高學習成績.當前在初中數學教學中，分類討論思想不僅是學生學習難點，同時，也是考試重點，因此，作為數學教師需高度重視分類討論思想，在課堂教學中的重要應用，同時在課后需布置分類討論思想相關習題，能夠使學生熟練掌握分類討論思想的作用和應用.

【關鍵詞】分類討論;解題教學;教學方法

1 分類討論思想應用原則

分類討論思想在運用時需要遵循互斥性和多層次性原則.比如初二某班級共有7名學生參與田徑比賽球類比賽，其中4名學生參與球類比賽，5名學生參與田徑比賽，表明在所羅列的7名學生中有同時參與兩項比賽的學生，并且為兩名，不能將7名簡單進行田徑比賽和球類比賽分類，否則會出現邏輯錯誤，在數學課題講解過程中經常會遇到復雜問題，通常可采用二分法，結合對象層次進行逐層分類.

2 分類討論思想具體應用

2.1 數值比較

要想使用正確分類討論法解題，要求明確分類對象，具體包括對象、范圍、性質等相關因素，同時確定對象之后，按照對象性質、屬性完成分類，分類對象標準統一，不能出現重復和遺漏問題，需合理劃分，分清主次，不能出現越級討論的現象，這也是運用分類討論思想解題的關鍵.

例1 在有理數a與8a大小比較時，首先，需分析兩數均是和有理數a相關的數字，a作為字母表示有理數，根據有理數分類，其具備不確定性，同時，在這一道題中還涉及有理數分類的概念.根據題目要求，當a>零時，a與8a均為正數，由正數比較法則，絕對值大，那么該數值就大，因此a<8a;當a=0時，此時a=8a=0;當a<0時，此時a與8a均為負數，根據負數比較法，則絕對值大，該數值越小，因此a>8a.

例2如果m-n=n-m并且m=4，n=3求（m+n）（m+n）的數值，對于該數學題需采用分類討論法進行求解.應當明確絕對值概念，涉及絕對值的問題，需進行分類討論，只有通過分類討論才能夠得到完整且正確的結論，如果不進行分類討論，會導致結果出現錯誤.對于該問題進行分析解答，由于m=4，n=3，因此m=±4，n=±3，又因為m-n=n-m，因此n-m≥0，n≥m，當n=3時，m取值為-4，最終結果為1;如果n=-3時，m取值為-4，最終結果為49，所以（m+n）（m+n）數值為1或49.

2.2 方程求解

確定分類討論對象之后，需要進行分類標準確定，通常標準是統一的，需合理進行分類，要求無互斥、無遺漏、無重復，做好相關準備工作之后，即開始進行分類討論.

例3 結合參數的取值范圍分類，討論求解含有參數的相關問題.比如關于x的分式方程進行求解，

x-ax-1-3x=1

已知該方程無解，求a的數值.類似這種問題需進行分類討論.在求解該方程時，兩邊同時乘x（x-1），那么能夠得到

x（x-a）-3（x-1）=x×（x-1）

經過整理，

（a+2）x=3，當a+2=0時，

此時a=-2，

該方程無解，那么原有方程也無解，如果當x=1那么原方程無解，

此時（a+2）×1=3，a=1.

綜合上述研究，如果原有方程無解，那么a的取值為1或-2.

例4在分式方程3x-3+axx2-9=4x+3中，已知該方程中無解，求a的數值，可需要借助分類討論思想.

解 經過去分母之后能夠獲得下列公式：

3（x+3）+ax=4（x-3）

（a-1）x=-21，

因為該方程無解，所以-21a-1=-3或者21a-1=3，或者a-1=0，因此a=8，a=-6或a=1.

此外，在一元二次方程中同樣也可運用分類導學思想，比如在m2x2+（2m+1）x+1=0方程存在實數根，需要求解m的取值范圍.對于這種情況下可將其分為兩種情況：第一，如果m2=0，此時m=0，該方程為一元一次方程，那么x+1=0存在實數根x=-1;第二，如果m2≠0，此時該方程為一元二次方程，所求方程存在實數根，所以Δ=（2m+1）2-4m2=4m+1≥0那么m≥-14.

2.3 在圓和三角形中的運用

分類討論思想也可用于圓和三角形等一些幾何圖形中.

例5已知某函數y=- 33x+3 3在x，y軸交點分別為A、B兩點.在x軸中尋找一個點P，使得△PAB為等腰三角形.對于這一類題由于在△PAB中P點的位置不確定，因此無法確定△PAB，且不清楚哪兩條邊為等腰三角形的腰.這種情況下對于△PAB來說存在三種情況，可將其分為：第一，PA=PB;第二，PA=AB;第三，PB=AB，此時分別求解B的坐標為（0，3 3），A點的坐標為（9，0）設置P點為（x，0），利用兩點距離公式，針對上述三種情況羅列對應方程，可求出P點坐標為（3，0），（-9，0），（9+6 3，0）（9-6 3，0）.在上述例題中舍去不滿足條件的解集.

在解答這一問題中很容易出現漏解的問題，因此在解答時需考慮圖形可能存在的位置，緊扣題目中已知條件分類，畫出符合條件圖形.

由于部分幾何問題或者實際應用問題題目已知條件和結論不是唯一的，這種情況下也要對此進行分類討論.

例6 已知在△ABC中，兩邊a=6，b=8，此時求解第三個邊.

解 第一，當△ABC為直角三角形，此時c為斜邊時c=10，如果c不是斜邊，由于8>6，那么b為斜邊，因此c= 82-62= 7.

第二，當△ABC為銳角三角形，此時由于a

①b2

由于①和②均屬于銳角三角形，③和④保證存在三角形，而③和④可通過①和②得出，

因此b2

第三，當△ABC為鈍角三角形，此時由于a

那么C2>a2+b2

ca2+c2，b

此時10

2.4 點運動變化

由于點運動變化也會引起分類討論，由于運動導致的點存在不同位置，需針對不同位置進行求解，否則會出現漏解.

例7 平面動點中分類討論思想的運用，如圖1所示，

已知在該正方形ABCD中，其邊長為10厘米，P為動點，從A點出發，其運動速度為2厘米每秒，沿正方形邊逆時針勻速運動.如圖所示回到A點停止，當P點運動至t秒時，求取P，D兩點之間的距離.對于該題根據已知條件可知，P點是從A點出發分別到達B、C、D，再回到A點的時間分別為5秒、10秒、15秒、20秒，因此可將其分為以下多種情況，本研究主要從兩種情況進行考慮.

第1，t介于0～5之間，此時P位于線段AB中.那么PD=P1D= （2t）2+102=2 t2+25厘米.

第2，如果t介于5～10之間，那么P點位于線段BC上，此時PD=P2D.由此可回顧之前所學橢圓相關概念界定，視橢圓半長軸a可變，也就是說a為參數，這種情況下可令2c= （8-2）2+（3+5）2=10，在該橢圓中2a>20c，因此結論是成立的.意味著可將899替換成10，此時不等式仍然成立.

參考文獻：

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[2]包吉明.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].好家長，2019， 000（003）：152-152.