巧用構(gòu)造法 解答數(shù)學(xué)題

于靜靜

【摘要】構(gòu)造法解題對學(xué)生的理解以及分析問題的能力要求較高，因此教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)提高學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解題的意識與能力.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造方程;二次函數(shù)

1 構(gòu)造不等式解答數(shù)學(xué)題

例題 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交于點(diǎn)（-2，0），（x1，0）且1

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0D.b

解題過程

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交于點(diǎn)（-2，0）

所以4a-2b+c=0，c=2b-4a.

由二次函數(shù)圖象可知，要想滿足題意，拋物線的開口方向向上，即，a>0.基于對函數(shù)圖象的分析，構(gòu)造如下不等式組：a+b+c<04a+2b+c>0，將c=2b-4a代入解得b0，所以0

解題點(diǎn)評 構(gòu)造不等式解答數(shù)學(xué)習(xí)題需要靈活運(yùn)用所學(xué)對題干條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尤其充分挖掘函數(shù)圖象中的隱含條件，將圖象語言轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，運(yùn)用不等式知識巧妙突破.

2 構(gòu)造方程解答數(shù)學(xué)題

例題 若四個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足（a2012-c2012）（a2012-d2012）=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，則（ab）2012-（cd）2012的值為（）

A.-2012 B.-2011

C.2012D.2011

解題過程

因?yàn)椋╝2012-c2012）（a2012-d2012）=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，

所以構(gòu)造方程（x-c2012）（x-d2012）=2012，且x1=a2012、x2=b2012是方程的兩個(gè)根.

將方程整理得到x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得到x1x2=（ab）2012=（cd）2012-2012，

所以（ab）2012-（cd）2012=-2012，選擇A項(xiàng).

解題點(diǎn)評 構(gòu)造方程解答數(shù)學(xué)習(xí)題需要能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，尋找已知條件中的潛在規(guī)律，構(gòu)建相關(guān)的方程，尤其在構(gòu)建一元二次方程時(shí)需要注重應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題.

3 構(gòu)造函數(shù)解答數(shù)學(xué)題

例題 若x1，x2（x1

A.m

B.x1

C.x1

D.x1

解題過程

因?yàn)閤1，x2（x1

構(gòu)造函數(shù)y1=（x-m）（x-3）和y2=（x-m）（x-3）+1，其中函數(shù)y1圖象和x軸的交點(diǎn)為x=m和x=3，函數(shù)y2圖象和x軸的交點(diǎn)為x1和x2.

函數(shù)y2的圖象可以看成由y1圖象向上平移一個(gè)單位得來.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1和函數(shù)y2圖象，如圖2所示，可以清晰的看到m

解題點(diǎn)評 函數(shù)與方程有著緊密的聯(lián)系.解答方程類問題時(shí)應(yīng)注重構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)，靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象的平移等知識，達(dá)到化難為易，順利解題的目的.

4 構(gòu)造三角形解答數(shù)學(xué)題

例題 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個(gè)單位后，點(diǎn)B恰好和原點(diǎn)O重合，則m的值為（）

A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

解題過程

分析可知m的值即為OB的長，因此，將問題轉(zhuǎn)化為求m的值.

分別過點(diǎn)D作DE⊥AC，過點(diǎn)C作CF⊥OB，如圖4所示：

因?yàn)锳B∥DC，所以CD=OF，∠DCA=∠CAB.

又因?yàn)镃D=AD=5，AC=6，所以O(shè)F=5，CE=12AC=3，在Rt△DEC中，由勾股定理得到：DE=CD2-CE2=4.

因?yàn)锳C⊥BC，所以∠DEC=∠ACB=90°，所以△CED∽△ACB，所以DEBC=CEAC=CDAB，

即，4BC=36=5AB，解得BC=8，AB=10

又因?yàn)椤螩FB=∠ACB=90°，所以△BCF∽△BAC，所以BCAB=BFBC，即，810=BF8，所以BF=6.4，

所以O(shè)B=OF+BF=5+6.4=11.4，選擇A項(xiàng).

解題點(diǎn)評 解答初中數(shù)學(xué)幾何問題時(shí)應(yīng)積極聯(lián)系相關(guān)圖形的性質(zhì)，尤其通過構(gòu)造相關(guān)的三角形運(yùn)用勾股定理、三角形全等、三角形相似等知識尋找相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

5 構(gòu)造圓形解答數(shù)學(xué)題

例題 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑2的圓O與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓O上一動點(diǎn)，點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，直線y=-43x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C、E，則△PCE面積的最小值為（）

A.5 B.6 C.254 D.112

解題過程

連接OP，如圖6，因?yàn)辄c(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)P⊥AB，∠APO=90°，點(diǎn)P的軌跡是以AO為直徑的圓，取AO的中點(diǎn)為點(diǎn)N.過N點(diǎn)作NF⊥EC于點(diǎn)F.NF和圓N交于點(diǎn)M.此時(shí)MF的值最小，即，△PCE面積的最小

因?yàn)橹本€y=-43x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C、E，所以C（3，0），E（0，4），由勾股定理易得EC=5.

因?yàn)閳AO的半徑為2，所以NO=NM=1，NC=NO+OC=4，在△ENC中由面積相等得到：12NC·EO=12EC·NF，所以NF=165，所以MF=NF-NM=165-1=115，

所以S△PCE=12EC·MF=12×5×115=112，選擇D項(xiàng).

解題點(diǎn)評 構(gòu)造圓形解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)應(yīng)注重把握圓形的規(guī)律，能夠結(jié)合給出的已知條件準(zhǔn)確的判斷出圓心、圓的直徑、圓的半徑等，并靈活運(yùn)用所學(xué)幾何知識解答問題.