“最短路徑問題”在中考題中的應用

易淑將

【摘要】“最短路徑問題”是初中數學知識的一個重要內容.近年來各地中考題中，多次出現“最短路徑問題”的應用問題，它成為學生難以逾越的“攔路虎”，筆者以幾道經典中考題為例，分類解說最短路徑問題的本質，幫助學生解決此類問題.

【關鍵詞】初中數學;最短路徑問題

“最短路徑問題”它源于數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬”問題，中考題中此問題常應用于求兩線段和最小值問題，解決此類問題的基本策略是利用軸對稱性將同側的折線段和問題轉化為異側的線段和問題.并依據“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”求出最小值. 下面我們就以幾道經典中考題為例，分類解說此類問題的解題策略，供參考.

1 最短路徑問題在幾何背景中的應用

例1 如圖1，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點，點M，N分別是AB，BC邊上的中點，則MP+PN的最小值是 .

分析 本題M、N是固定點，P是AC上的動點，先將一個固定點關于動點所在的直線對稱過去，將位于直線AC同側的線段和問題轉化為位于直線AC兩側的線段和問題，再利用“兩點之間線段最短”，找到滿足條件的點P，最終得出最小值.

解析 如圖1 根據菱形的性質，取AD的中點M′，連接M′N交AC于點P，則M′P=MP，此時MP+PN的值最小，而易知四邊形CDM′N是平行四邊形，故M′N=CD=1，于是，MP+PN的最小值是1.

例2如圖2，在ΔABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC邊上的動點，則2AD+CD的最小值為.

分析 本題也是其線段和的最小值問題，但又區別于例1，它具有一個角為30°的直角三角形的這一特殊幾何背景.我們知道“直角三形中3

0°角所對的直角邊是斜邊的一半”，利用這一性質，我們可以將“2AD+CD”轉化為兩個線段和的問題.

解析 如圖2 根據已知，將點A關于直線BC對稱得到A′，過點A′作A′E⊥AC，垂足為點E，且交BC于點D，連接A′A、AD，則AD=A′D，DE=12CD.在RtΔABF中，易得AF=3，故AA′=23，在RtΔAA′E中，易證A′E=3，因為2AD+CD=2A′D+2DE=2A′E=6，所以2AD+CD的最小值為6.

2 最短路徑問題在函數背景中的應用

例3 如圖3，直線y=2x+3與y軸交于點A，與反比例函數y=5xx>0的圖象交于點B，反比例函數y=5xx>0圖象上有一點D且縱坐標為1，請問在x軸上是否存在點P，使PB+PD的最小值？若存在，求點P的坐標;若不存在，請說明理由.

分析 本題是函數背景下的“將軍飲馬”模型， 如圖3，類比例1將一個固定點關于動點所在的直線對稱過去，將同側的問題轉化為異側的問題，再利用“兩點直線線段最短”的理論依據，在x軸上找到滿足條件的點P.

解析 如圖3，作點D關于x軸的對稱點D′，連接BD′，交x軸于點P，連接PD，則PD=PD′，此時PB+PD′的值最小，而易知B1，5、D5，1、D′5，-1，可得直線BD′的解析式為y=-32x+132，其與x軸交于點P（133，0），易得BD′=213，即PB+PD′的最小值是213，故PB+PD的最小值為213.

例4如圖4，已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，若點Q為線段OC的一動點，問QA+12QC是否存在最小值？若存在，求出這個最小值;若不存在，請說明理由.

分析 本題也是函數背景下的最短路徑問題，要想解決此問題，我們需要抓住兩個突破口：①求線段和的最小值問題，需要利用軸對稱將同側問題轉化為異側問題;②求“QA+12QC”，結合例2的解題策略，應用到30°的直角三角形的性質.

解析 如圖4， 將y軸所在直線繞點C逆時針旋轉30°得到直線CE，作點A關于y軸的對稱點A′，過點A′作A′D⊥CE，垂足為D，交y軸于點Q，A′D的長度即為QA+12QC的最小值.易得OE=3，所以A′E=1+3，在RtΔA′DE中，易得A′D=3+32，即QA+12QC的最小值為3+32.

3 結語

“最短路徑問題”是歷年來中考命題的熱點問題，它是考查學生分析問題和解決問題的有效工具.通過對上述問題的歸納，可知解決這一類問題的實質是利用軸對稱將最短路徑問題轉化為位于異側的線段與線段和的最小值問題，然后依據兩點之間的距離問題求解.同時，要求學生需要具備轉化、從特殊到一般的數學思想方法.

本文是筆者在教學實踐中對學生常見的同類難點問題的整理和歸納， 通過對此類問題的分析和解答，希望學生能夠體會一題多解、多題歸一，最終構建解決這類問題的有效策略.

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