初中數學教學中變式教學的應用

曹廷樂

【摘要】變式教學是指有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化，以鍛煉靈活運用所學，解決問題能力的一種教學方法.

【關鍵詞】二次函數;絕對值;一元二次方程

1 用于絕對值的教學

原題 如圖1，點M、N、P為數軸上的三點，其中點M表示的數是4，點N表示的數為-1，動點P表示的數為x.若點P在點M、N之間，則|x+1|+|x-4|的值為.

因為M表示的數是4，點N表示的數為-1，點P在點M、N之間，而|x+1|+|x-4|表示的是點P到數軸上-1、4點的距離之和，即，MN的長度，4-（-1）=5，所以|x+1|+|x-4|=5

變式1 題干不變，問題變為：若|x+1|+|x-4|=10，則x的值是多少？

由原題解題過程可知點P不可能在M、N之間，接下來需要進行分類討論.

當點P在N的左側，即，x<-1時，|x+1|+|x-4|=-1-x+4-x=10，解得x=-72;當點P在M點右側，即，x>4時，|x+1|+|x-4|=x+1+x-4=10，解得x=132，因此，x的值為-72或132.

變式2 題干不變，問題變為：若點P代表的數是-5，一只螞蟻從點P出發，按照每秒一個單位的速度向右運動.當經過多少秒時，螞蟻經過的點到點M、N的距離之和為8？

解答該題需要求出到點M、N的距離之和為8的點有哪些.根據母題的解題過程可知，該點不在M、N之間.當該點在N點左側時，|x+1|+|x-4|=-1-x+4-x=8，得到x=-52，此時螞蟻運動的時間t=-52-（-5）=52s;當該點在M點右側時，|x+1|+|x-4|=x+1+x-4=8，x=112，此時螞蟻運動的時間為t=112-（-5）=212s，因此螞蟻運動經過的時間為52s或212s滿足題意.

應用點評 絕對值是初中數學的重要知識點，為更好的鞏固學生所學，使學生把握絕對值知識本質，掌握相關的解題經驗，應積極開展變式教學活動.原題考查了學生對絕對值幾何意義的理解，較為基礎.變式一、變式二難度有所增加，在考查學生對絕對值幾何意義理解的基礎上，指引學生運用分類討論思想解決問題，很好的鍛煉了學生的解題能力以及解題技巧.

2 用于圓知識的教學

原題 如圖2所示的Rt△ABC中，O在斜邊上，以O為圓心，OB為半徑作圓O，分別和BC、AB交于點D、E，連接AD，已知∠CAD=∠B，求證：AD是圓O的切線.

證明 連接OD，因為OD=OB，所以∠ODB=∠B，由已知條件可知∠CAD+∠CDA=90°，又因為∠CAD=∠B，所以∠ODB+∠CDA=90°，所以∠ADO=90°，又因為OD為半徑，因此，AD是圓O的切線.

變式1 在原題的基礎上添加條件∠B=30°，CD=32，求劣弧BD的長.

因為∠CAD=∠B=30°，所以AD=2CD=3，∠DAB=30°，因為AD⊥OD，所以OD=ADtan30°=3，又因為∠DOB=120°，所以劣弧BD的長為13×23π=23π3.

變式2 在原題的基礎上添加條件AC=2，BD=3，求AE的長.

連接DE.因為BE是直徑，所以∠EDB=90°，AC∥ED，又因為∠CAD=∠B，所以△ACD∽△BDE，所以AC/BD=CD/DE=23，設CD=2x，DE=3x.因為DEAC=BD/BC，即，3x2=33+2x，解得x=12，所以CD=1，BC=4，則AB=22+42=25.又因為AEAB=CDCB，所以AE=52.

應用點評 圓在初中數學中占有重要地位.變式教學活動中原題考查了圓切線以及圓的相關性質.變式一考查了等腰三角形的性質、圓心角、劣弧的求法等.變式二考查了三角形相似、平行線分線段等比例關系.原題、變式一、變式二難度依次增加，激活了學生思維，拓展了學生視野.

3 用于拋物線的教學

原題 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c和x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，OA=OC=3，頂點為D.請判斷△ACD的形狀.

根據題意可知A（-3，0），C（0，-3）代入拋物線方程解得 b=2，c=-3，所以y=x2+2x-3，容易求得點D（-1，-4），過點D作DM⊥y軸，易得CM=DM=1，所以∠MCD=∠MDC=45°，又因為OA=OC，所以∠OAC=∠OCA=45°，所以∠ACD=90°，所以△ACD為直角三角形.

變式1 在母題的基礎上，添加問題：在拋物線上是否存在一點P，使得PA=PC，若存在求出點P坐標，若不存在，說明理由.

設點P（x，x2+2x-3），則PA2=（x+3）2+[x2+2x-3]2，PC2=x2+[x2+2x]2，因為PA=PC，所以PA2=PC2，整理解得x=-1+132或x=-1-132，所以點P的坐標存在，分別為（-1+132，-1+132）或（-1-132，-1-132）.

變式2 在母題的基礎上，添加問題：若拋物線對稱軸上的一點H（-1，-154），過點H的任意一條和y軸不平行的直線交拋物線與點M、N，探究MH·NHMN是否為定值.

根據題意設過程點H的直線為y=kx+k-154，設M、N的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）.將y=kx+k-154和y=x2+2x-3聯立，整理得到：x2+（2-k）x-k+34=0，則x1+x2=k-2，x1x2=-k+34，又因為y1=kx1+k-154，y2=kx2+k-154，則y1-y2=k（x1-x2），所以MN=（x1-x2）2+（y1-y2）2=1+k2·（x1-x2）2=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=1+k2.同理可求得MH=1+k2·（1+x1）2，NH=1+k2·（1+x2）2，則MH·NH=14（1+k2），所以MH·NHMN=14，為定值.

應用點評 二次函數是初中數學的重點、難點知識.變式教學時原題考查了待定系數法求二次函數、直角三角形等知識.變式一考查應用坐標運算證明線段相等知識以及學生的運算能力.變式二較為綜合，難度較大，考查直線與拋物線的結合、根與系數之間的關系等，既鞏固了學生所學，又很好的鍛煉了學生的綜合能力.