巧用平移打開思路

朱德云

有些幾何題初看很難入手，但把圖形的某一部分沿著一定的方向平行移動到另一需要的位置后，就發現新圖形的一些奇妙性質，解題思路也就隨之暢通.請看下面幾個競賽題的例子.

例1 在等腰△ABC的兩腰AB，AC上分別取點E和F，使AE=CF，已知BC=2，求證：EF≥1.

證明 如圖1，把CF平移至DE，連接CD，得CFED，連接AD，BD.

得DE=CF=AE，

DE∥CA，

DC=EF，

于是∠EAD=∠EDA=∠DAC，

即AD為等腰△ABC頂角∠A的平分線，

所以AD為BC的垂直平分線，

故DB=DC=EF，

于是2EF=DB+DC≥BC=2，

從而EF≥1.

例2 如圖2，△ABC中，∠ABC=46°，D是BC邊上一點，DC=AB，∠DAB=21°，試確定∠CAD的度數.

解 如圖2，把AB平移至ED，連接AE，得ABDE，連接CE.

得DE=AB=DC，

∠CDE=∠ABC=46°，

AE∥BD.

于是∠DCE=∠DEC=67°.

又∠ADC=∠ABC+∠DAB=67°，

故四邊形ADCE為等腰梯形.

因此AC=DE=DC，

∠CAD=∠ADC=67°.

例3 如圖3，△ABC中，∠C=90°，點M在邊BC上，且BM=AC，點N在邊AC上，且AN=MC，AM與BN相交于點P.

求證：∠BPM=45°.

證明 如圖3，把AN平移至ME，連接ME，得AMEN，連接BE.

因為ME∥AN，∠C=90°，

所以∠CME=∠C=90°，

ME⊥BC.

因為BM=AC，ME=AN=MC，

所以△BME≌△ACM.

所以BE=AM=NE，

∠BEM=∠AMC.

因為∠CAM+∠AMC=90°，

∠CAM=∠MEN，

所以∠MEN+∠BEM=90°.

所以△EBN為等腰直角三角形.

所以∠BNE=45°.

因為AM∥NE，

所以∠BPM=∠BNE=45°.

例4 如圖4，△ABC是正三角形，△A1B1C1的邊A1B1，B1C1，C1A1交△ABC各邊分別于C2，C3，A2，A3，B2，B3.已知A2C3=C2B3=B2A3，且（C2C3）2+（B2B3）2=（A2A3）2.

求證：A1B1⊥A1C1.

證明 如圖4，把C3A2平移至C2O，連接A2O，得A2C3C2O，連接OA3，OB3.

得OC2=A2C3=B3C2，

∠OC2B3=∠C=60°，

OA2=C2C3，

OA2∥C2C3.

故△OC2B3是正三角形.

從而∠OB3C2=60°=∠B，

OB3=B3C2=A3B2.

故OB3∥A3B2.

則四邊形OB3B2A3是平行四邊形.

得OA3∥B3B2，OA3=B3B2.

因為（C2C3）2+（B2B3）2=（A2A3）2，

所以（OA2）2+（OA3）2=（A2A3）2.

故∠A2OA3=90°.

因為OA3∥B3B2，OA2∥C2C3，

即OA3∥A1C1，OA2∥A1B1，

所以∠C1A1B1=∠A2OA3=90°.

故A1B1⊥A1C1.

上述幾例，都存在無公共端點的相等線段這一條件，在解法上都有一個共同的特點：利用平移變換，把無公共端點的相等線段轉化為具有公共端點的相等線段，從而使問題獲得巧妙解決.