基于非線性雙穩系統的混沌共振實驗

高子藝，林昊晟，鐘 奕，王梓旭，李宇軒，桂 容，譚佐軍

(華中農業大學 理學院，湖北 武漢 430070)

雙穩系統是一類有代表性的非線性系統，其本身的動力學行為并不復雜，但當系統中存在如噪聲、混沌等隨機力時，系統的動力學行為將變得復雜. 例如，生物系統中的基因開關受到內部噪聲和外界環境噪聲等隨機因素的影響時，開關時列、開關時長等是隨機的，即存在豐富的隨機現象. 1981年，意大利學者Benzi等人提出的隨機共振理論表明：雙穩系統、弱周期信號和噪聲三者之間的協同作用能夠增強微弱信號的檢測能力，該理論改變了傳統噪聲有害的觀點[1-4].

目前，隨機共振被廣泛應用于物理、化學、生物、社會學等領域中[5-11]. 在實際系統中，除了各種噪聲干擾外，還會遇到混沌干擾的情況，如海洋雷達回波[12]、神經元網絡[13]等. 當背景干擾是混沌信號時，雙穩系統表現出來的行為與背景干擾是噪聲的情況類似[14]. 除了理論計算、數值模擬外，采用非線性電路直觀展示及驗證非線性系統的動力學行為，已經成為研究非線性系統動力學行為的重要手段[15-17].

本實驗通過搭建非線性雙穩電路來模擬實際的雙穩系統，利用洛倫茲(Lorenz)系統[18-19]產生的混沌信號作為隨機力來模擬隨機因素，基于LabVIEW平臺展示了隨機跳轉、混沌共振和非線性混沌現象.

1 數學模型

通過非線性雙穩電路來模擬雙穩系統，采用如下雙穩系統模型

(1)

式(1)描述粒子在雙穩系統中的狀態.其中，x表示粒子的位置(也可以表示電學中的電壓或者電流等)，a和b分別為系統線性和非線性系數.立方非線性雙穩系統的勢函數為

U(x)=-0.5ax2+0.25bx4.

(2)

如圖1所示，系統具有對稱的雙勢阱.以力學為例，式(1)描述了經典粒子在雙勢阱中的過阻尼運動.如果沒有外力驅動，粒子最終會穩定在其中1個勢阱中的最低點位置.

圖1 雙穩系統的勢函數

在上述雙穩系統中加入隨機力，受隨機力驅動的雙穩系統模型為

(3)

其中，ξ(t)為隨機力，可以是噪聲，也可以是其他偽隨機信號，如混沌信號等.k為隨機力強度.在隨機力作用下，粒子會在其中1個勢阱中振蕩.如果隨機力足夠大，粒子就會逃逸出當前勢阱而進入另一個勢阱，在2個勢阱中來回跳轉，進而實現隨機跳轉.

輸入系統的隨機力ξ(t)由Lorenz系統產生，Lorenz系統的數學模型為[18]

(4)

(5)

(6)

其中，u,v,w為系統變量.Lorenz系統描述的是大氣運動，u正比于大氣對流運動的強度，v正比于上升流和下降流之間的溫度差異，w正比于垂直方向的溫度變化.μ，λ和δ為系統參量，μ為與空氣黏度和熱傳導有關的常量，λ為與引起對流和湍流有關的常量，δ為與對流縱橫比有關的外形因數參量.

本文實驗中的隨機力都使用Lorenz系統的u變量，則式(3)可寫為

(7)

此外，基于噪聲驅動的隨機共振廣泛應用于微弱信號檢測中，在式(7)中加入微弱信號也可以實現類似于隨機共振的現象，該現象被稱為混沌共振.

(8)

其中，Acos (2πft)表示弱周期信號，本身不足以驅動系統發生跳轉；A和f分別表示弱周期信號的振幅和頻率.

2 實驗裝置

模型中的乘法及立方運算利用模擬乘法器來實現，求和及積分運算利用運算放大器來實現，這樣Lorenz系統及立方雙穩系統可以用模擬電路來實現.

圖2為使用電路仿真軟件Multisim設計的模塊化混沌共振電路. 整個電路的設計包含3個模塊：Lorenz系統、信號輸入電路模塊和雙穩系統. 由Lorenz系統產生混沌信號，由信號輸入電路實現將混沌信號或由混沌信號和弱周期信號疊加而成的混合信號輸入到雙穩系統中，實現隨機跳轉或者混沌共振.

(a)Lorenz系統

考慮到Lorenz系統的變量強度會超過電路正常工作范圍，所以利用電路實現Lorenz系統時，不能直接應用模型[式(4)～(6)]，需要對模型中的系統變量進行適當比例的壓縮. 將壓縮比例設定為10，即(u,v,w)→(10u,10v,10w)，則Lorenz系統方程變換為

(9)

(10)

(11)

同時對Lorenz系統時間尺度t進行壓縮，壓縮尺度設定為103,即t→103t.此外，Lorenz混沌系統參量設為典型值μ=10，λ=28，δ=8/3.則式(9)～(11)變換為

(12)

(13)

(14)

如圖2中Lorenz系統模塊所示，系統變量的方程為

(15)

(16)

(17)

在圖2仿真電路的基礎上，利用模擬乘法器AD633JN、運算放大器AD712JN和AD713JN、電容、電阻等電子元器件可以實現硬件電路. 弱周期信號的產生以及信號的采集顯示和處理由LabVIEW軟硬件平臺圖形化編程實現. 這樣去掉了函數信號發生器和示波器，使得整個儀器裝置小型化，便于攜帶，同時可以實時處理數據.

圖3為整體實驗裝置圖. 整體實驗裝置由電源、電路板、NI-9215數據采集卡、NI-9263模擬信號輸出卡以及電腦組成. 電路由±15 V直流開關電源供電，電路上半部分為雙穩系統，下半部分為Lorenz系統. 弱周期信號通過NI-9263的模擬信號輸出卡產生，觀測信號由NI-9215數據采集卡采集(采樣率為105Hz). 基于LabVIEW開發平臺設計的圖形化程序如圖4所示.

圖3 整體裝置圖

圖4 LabVIEW開發平臺程序設計圖

3 實驗現象及數據分析

3.1 蝴蝶吸引子

基于Lorenz系統電路，可以觀察混沌現象. 將混沌信號的u和w端接入NI-9215數據采集卡，基于LabVIEW開發平臺圖形化編程可以顯示u和w的時序圖以及李薩如圖(又稱為相圖).如圖5所示，左側為u和w的時序圖，可以發現非周期性的混沌信號表現出不可預測、類似隨機性的特點；右側為相圖，顯示出蝴蝶形狀，這就是著名的Lorenz蝴蝶吸引子. 調節電阻Rμ，Rλ和Rδ的阻值，改變Lorenz系統參量μ，λ和δ，可以實時觀察吸引子的變化.

圖5 混沌信號和Lorenz蝴蝶吸引子

3.2 隨機跳轉

圖6 系統的勢阱、隨機跳轉和穩態概率密度分布

對于閾值kc的測量，先調節電阻Rk，使得系統處于隨機跳轉狀態；然后不斷增加Rk，當粒子正好不發生隨機跳轉時，記錄此時的Rk(本實驗電路實測Rk約為4.21 kΩ)，即可測得閾值kc約為2.38.

圖7和圖8給出了2種情況：kkc時的實測結果.

(a)勢函數

(a)穩態概率密度分布

圖7表示混沌信號的強度較低時的情況，時序圖和概率密度分布圖表明粒子在單勢阱中隨機振蕩.圖8為混沌信號強度較強時的情況，從時序圖可以看出粒子在2個勢阱之間隨機跳轉.由于勢阱是對稱的，因此穩態概率密度分布也近似對稱.

3.3 混沌共振

在系統中加入弱周期信號[式(8)]，可以得到與隨機共振類似的現象，即混沌共振.這里的弱周期信號強度不足以單獨驅動粒子進行勢阱之間的跳轉.固定周期信號的頻率f=10 Hz，測得此電路的振幅閾值Ac≈1.95 V.當A>Ac時，周期信號可以直接驅動粒子在雙勢阱中來回振蕩.當周期信號較弱(A=0.3 V)時，如圖9所示，調節電阻Rk，增強混沌信號強度k，由于混沌信號的振幅遠大于弱周期信號，混合之后的信號中難以分辨出弱周期信號(圖9左上)，頻譜(圖9右上)也顯示出10 Hz的周期信號淹沒在混沌信號頻譜中. 將混合信號輸入雙穩系統，得到的輸出信號顯示出周期性(圖9左下黃色). 對比輸入的弱周期信號(圖9左下白色)和輸出信號，兩者同頻且相位基本保持一致. 頻譜圖顯示輸出信號的主頻為10 Hz.

由于勢阱間的跳轉很快，輸出波形類似于方波，所以頻譜圖上也存在較強的高次諧波，例如30 Hz，50 Hz和70 Hz(圖9右下). 相比較原始的弱周期信號，輸出信號振幅大大增強. 這表明混沌共振可以將弱周期信號從強的背景混沌信號中檢測出來.

圖9 混沌共振現象的輸入、輸出信號和對應的頻譜

使用信噪比來評估系統輸出信號對微弱信號的放大能力.本文通過信號功率Psignal比上噪聲功率Pnoise的對數來計算信噪比，即

(18)

信號功率定義為

Psignal=|Y(f)|2,

(19)

其中，|Y(f)|為經過快速傅里葉變換后得到弱周期信號頻率對應的幅值.噪聲功率定義為

(20)

其中，M=5.式(20)的含義為以弱周期信號頻率為中心的附近頻率的平均功率，也就是背景噪聲功率.

利用LabVIEW導出實測數據，可計算出混沌共振輸出信號的信噪比，如圖10所示.

(a)A=0.3 V,f=10 Hz

圖10(a)為固定弱周期信號A=0.3 V，f=10 Hz，得到信噪比RSNR隨混沌信號強度k變化的實測曲線.隨著混沌信號強度增加，信噪比先是緩慢增加，在k≈2.08處出現明顯減小后急劇增加，之后再減小.圖10(b)則是固定混沌信號強度k=2.22，得到信噪比RSNR隨弱周期信號強度A變化的實測曲線.隨著弱周期信號強度增加，信噪比先是顯著降低，再急劇增加，之后保持平穩.

從圖10可以看出在信噪比急劇增加之前出現了跳變情況. 跳變點的時序及對應頻譜如圖11和圖12所示.

(a)時序圖

(a)時序圖

從圖11和圖12可以看出，混合輸入信號可以驅動粒子發生跳轉，但輸出信號與弱周期信號不同步. 顯然輸出信號存在比弱周期信號頻率更低的頻率成分. 從頻譜圖上可看出由于比10 Hz更低的頻率成分占主導，所以信噪比會顯著減小. 混合輸入信號強度在跳變點處于臨界狀態，當混合輸入信號強度小于臨界強度時，不能驅動粒子跳轉；當大于臨界強度時，則可以實現混沌共振.

4 結束語

基于混沌共振理論，利用Multisim軟件模塊化設計仿真電路進而搭建了實際電路，用LabVIEW開發平臺實時展示Lorenz系統、隨機跳轉和混沌共振. 隨機共振顛覆了人們長期以來認為“噪聲有害”的觀念，能將噪聲變廢為寶，為弱信號探測提供了新的思路. 本裝置有利于對經典隨機現象進行深入分析與研究，同時也可觀察研究非線性混沌現象，加深學生對混沌信號的認識與理解，提高學生模塊化設計和搭建電路的能力，培養學生的發散性科研思維.