函數主題教學下的數學建模活動探究
——以“函數的應用（一）”為例

福建省三明市永安市第一中學 林藝婷 徐來艷

隨著科技發展，數學的應用越來越廣泛，數學建模就顯得更加重要，它以多樣化的形式融入我們的教學。為了響應新課程改革，實施新課程理念讓核心素養落地課堂，筆者錄制了一節指向高中數學建模的活動課。上課內容為《普通高中教科書數學必修第一冊人教A 版》第三章第四節“函數的應用（一）”。本文旨在通過本節課的學習讓學生學會用數學的眼光去觀察世界，用數學的思維去思考世界，用數學的語言去表達世界，進而超越本學科，實現培育核心素養的目標。

一、研究背景

數學建模是連接數學世界與現實世界的紐帶，是建立數學與外部世界聯系的重要途徑。新課程改革將“數學建模素養”列為數學六大素養之一，同時將數學建模列入必修課程的一個模塊。《普通高中數學課程標準（2017 年版）》中指出：在高中階段，數學建模的主要目標是：學習建模方法，提升探究能力，發展創新意識，提高分析問題、解決問題的能力。

二、設計理念

1.教材分析。

在高中必修第一冊中，函數主題是非常重要的主題。本節課選自《普通高中教科書數學必修第一冊人教A 版》第三章第四節，是學生學習完函數性質的相關內容后，利用一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數和分段函數模型解決相關的實際問題。對于后續的學習有著指導意義，特別是指數函數、對數函數在生活實際中的應用非常廣泛。通過這節課讓學生初步建立建模意識，對于學生基本初等函數知識的整體建構有著非常重要的指導意義。

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識和方法構建模型解決問題的過程。新課程改革把數學建模作為六個數學核心素養，同時將數學建模活動與數學探究活動作為必修課程的一個單元，這使得促進學生建模素養的形成與發展變得尤為重要。

這節課是學生高中階段第一次利用建模思想解決實際問題，一方面，可以加強學生的看圖識圖能力，探究函數模型的廣泛應用，另一方面，為后續更加復雜的、需要根據實際背景建立函數模型的應用問題做鋪墊。

2.學情分析。

學生在初中已經學習了一次函數、反比例函數和二次函數，高中學完了函數的概念以及分段函數，對這幾種函數的圖象及性質有了一定的了解與把握。學生在初中已經學習了很多與實際相關的數學模型應用問題，對數學模型也有一定的認知，但對于該建立怎樣的函數模型解決實際問題缺乏相關的實踐。而且高中數學與初中相比，邏輯性更強，語言更抽象，知識內容整體數量劇增，需要有較高的抽象概括能力、整體駕馭能力和局部處理能力。而這個時期的學生思維不夠嚴謹，專注度不高，很難將所學的知識聯系起來，這些對學生的學習造成了一定的困難。這就需要教師給學生足夠的思考時間和空間，更好地幫助學生借助形象的手段解決抽象的問題。加之，本節課研究的是跟旅游有關的數學問題，讓學生感受到數學是一門藝術，可以把生活融入數學課堂教學，通過好的問題展現數學的美，引起學生的興趣，激發學生的創造力和求知欲。

3.教學目標。

（1）初步了解建模的思想及步驟，選擇合適的函數模型解決實際問題。

（2）根據題目提供的圖表和數據，通過觀察、思考，抽象出相應的函數模型，逐步學會用數學的眼光觀察現實世界，發展數學抽象素養；通過對圖表以及數據的分析、推理、計算、比較，逐步學會用數學的思維分析世界，發展邏輯推理、數學運算等素養；經歷解答實際函數應用題的一般步驟：審題、建模、求解、還原等過程，逐步學會用數學的語言表達世界，發展數學建模素養。

（3）在小組合作交流的過程中，培養從數學的角度發現問題、分析問題、解決問題的能力，形成團隊協作精神，樹立勤于思考的科學精神。

（4）體會到數學的應用價值，數學建模可以來解決實際問題，指導生產生活，數學源于生活但又高于生活。

三、數學建模的三重追求

追求一：學會用數學的眼光觀察世界。

一般來說，提出問題比解決問題更重要，每個學生可以根據自己的經驗并通過查詢等手段發現并提出問題。本節課以“旅行中的數學問題”為主線，以學生的研究性學習報告的形式展開，學生提前去搜集與旅行相關的題目，或者通過改編設計一系列符合情境的實際問題。以下是學生以旅行中的飲食、交通、租車問題設計的三個相關的問題情境。

情境1：哈爾濱的紅腸可謂遠近馳名，是當地著名特產。由于它的肉質鮮美，口感佳，營養豐富，所以一直是酒宴的上等佳肴，也是送禮的佳品。哈爾濱商委紅腸是典型的代表，經調查發現，紅腸的口感與肉的烘干時間有很大關系，時間太短，肉質太肥膩，時間太長，肉質太老。把肉風干后的口感程度稱為“可食用率p”，經試驗，在特定條件下，記錄了幾次實驗數據，并繪制成如下的散點圖：

請根據上述的圖象以及數據構建出可食用率p 與時間t 的函數模型，計算出紅腸最佳的加工時間。

情境2：哈爾濱有個著名的網紅打卡點——俄羅斯風情小鎮，必須途徑哈爾濱松浦大橋，由于車流量較大，所以經常發生交通堵塞。據調查，車流速度v（千米/時）與車流密度x（輛/千米）在一定程度上滿足函數的表達式。當x=200 時，此時v=0，交通會造成堵塞；當 x≤20 時，v=60。研究表明：當20≤x≤200 時，車流速度v是車流密度x 的一次函數。

（1）當 0≤x≤200 時，求函數 v(x)的表達式；

（2）定義單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數為車流量（輛/小時），當車流密度 x 等于多少時，f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值。（精確到1輛/小時）

情境3：為了節約能源，倡導綠色環保。哈爾濱文化公園有六十輛電動觀光車供租賃使用，不管車輛是否租賃，每天需要花費120 元的管理費用。 根據以往數據分析，如果每日租金不超過5 元，則當日的觀光車可以全都租出去；如果當日租金超過5 元，則租金每增加1 元，租出去的電動車就減少2 輛。 為了資金的計算方便，每輛電動觀光車的日租金x（元）取整數，并且要求一天的收入必須高于支出，設電動車的日凈收入為y（元）：y= 收入- 管理費用。

請你幫老板計算一下，當日租金x 等于多少時，凈收入能達到最大值？

【設計意圖】以“旅行中的數學問題”為主線展開，學生很踴躍地分享他們在旅行中的酸甜苦辣。一方面，可以提高學生的學習熱情，激發學生的學習興趣；另一方面，旅行問題是學生比較熟悉的實際場景，與學生生活息息相關，因而能較快速的編制與一次、二次、分段函數相關的應用題。

追求二：學會用數學的思維分析世界。

現代教學論認為，數學的學習是學生在已有的知識和經驗的基礎上進行新知識的再構建過程，只有學生主動參與到學習活動中，才是有效的教學。本節課的設計中，首先，問題情境都是建立在學生已有的知識水平的基礎上，確保大部分學生能夠有效地參與進來；其次，能夠啟發學生的思維活動，學生通過思考、建構、表述等一系列活動，體現了自主性和活動性。

針對上述提出的三個問題，老師引導學生開展小組合作探究活動，通過自主探究、合作交流的形式，從不同的角度，不同的層次去探究問題，體會應用函數知識解決實際問題的過程和方法。通過觀察、思考，抽象出相應的函數模型，發展數學抽象素養；通過對圖表以及數據的分析、推理、計算、比較，發展邏輯推理、數學運算等素養；經歷討論、交流、表達的過程，發展數學建模素養。最終，讓學生明白數學建模可以用來解決實際問題，指導生產生活，數學源于生活但又高于生活，體會數學的應用價值，從而獲得綜合運用知識和經驗解決實際問題的能力。

【設計意圖】在問題分析的過程中重在發展學生的閱讀理解、信息處理、語言轉譯和表達等關鍵能力。

追求三：學會用數學的語言表達世界。

本環節主要體現在三個方面。

（一）學生以小組合作的形式展開討論，在解決問題的過程中，養成與人交流的習慣，并獲得良好的情感體驗。

（二）學生上臺匯報本小組的研究成果。

生1：通過觀察情境一的圖象可以得知本題應該建立二次函數的模型，利用待定系數法可求出二次函數表達式，進而可求出當加工時間大約為7.5 小時，紅腸口感率最好。這個數據可以為商家制作符合大眾口感率的產品提供依據，提高銷售量。

生2：依題意可知情境二是分段函數的模型，先在0≤x≤20 上，求得一次函數的模型，車流量函數為增函數，得最大值為 v(20)=1200，然后在 20≤x≤200 上，車流量函數為二次函數，然后根據二次函數的最大值問題解答。最終可以得出當車流密度為100 輛/千米時，車流量達到最大值，最大值約為3333 輛/小時。

以上的數據可以為游客出行提供指導，游客可以提前調查當地的車流密度與車流量，從而知道何時出行不堵車，減少等待的時間。

生3：情境三也是一個分段函數的模型，分別求出一次函數和二次函數的最值，但需要與實際情況相結合，取整數解，最終得出當每輛自行車的日租金定在11元時，凈收入達到最大值。以上的分析可以為商家提供制定費用的標準，從而使利潤達到最大化。

（三）學生進行知識總結，談本節課的收獲。

生4：只要我們留心觀察，善于思考，其實生活中處處有數學，旅行中處處有數學，比如還有類似租房、購物等問題等待著我們去挖掘。

生5：生活中許多最優化問題都能依靠數學知識來解決，我們應該不斷吸收數學文化知識，提升數學素養，以適應日益增長的物質文化的需要。

生6：數學與我們的生活息息相關，數學可以用來解決實際問題，它源于生活但又高于生活，并且可以用來指導生產生活。

【設計意圖】數學課堂不應該只是枯燥的學習和計算，讓學生進行發言，一方面，可以提高學生的語言組織能力，提升學習數學的信心；另一方面，學生通過發言和總結可以進行數學方法和解題經驗的交流，實現靈魂與靈魂的交流。

上面的教學流程，教師注重知識的探究與形成過程，注重在教學過程中發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學素養，這是我們所期待的，也是新課程改革所需要的。

四、教學反思

1.本節課的亮點。

（1）情境創設有新意。

本節課以學生的研究性學習作為引入，提出“旅行中的數學問題”這一主題。一方面，由于跟學生現階段的研究相吻合，更容易激發學生的興趣和探究欲望；另一方面，學生可以體驗到數學與生活的息息相關，感受數學的應用價值，學生仿佛也進行了一場數學之旅。

（2）新課程的“三會”理念貫穿始終。

新課程提出立德樹人的總目標，而立德樹人基本內涵中提出：要提升學生的數學素養，學會用數學的眼光觀察世界，學會用數學的思維分析世界，學會用數學的語言表達世界。本節課全程始終貫穿著這個理念。

首先，本節課以旅行中的數學問題展開，讓學生感受到只要我們用數學的眼光去觀察世界，那么生活中處處有數學；接著，通過求模、解模等一系列抽象和推理的過程，讓學生學會用數學的思維去分析世界；最后，通過建模、交流、表達等過程，讓學生學會用數學的語言去表達世界。

（3）落實以“學生為主體”的教學理念。

本節課采用小組合作的教學模式，探究韻味濃厚。從問題的提出到問題的解決都是學生自主完成的，教師起著引導者、合作者、參與者的作用；為學生創造了表達交流的機會，讓學生上臺暢所欲言，把研究的過程與方法發表出來與同學共享，教師適時的進行分析與總結。

2.本節課的思考。

（1）動手操作的機會少。

本節情境創設雖然新鮮有趣，但是所有的題目和數據都是學生利用網絡或者教材直接獲取的，缺乏自主創新的的機會。建議可以選擇一些跟學生生活更貼近的例子，讓學生通過實驗或者實地測量獲取數據。

（2）關于建模能力的培養。

由于課時的原因，本節課的重點更多的是放在解題，離真正意義上的建模還有一段距離。真正的建模需要學生參與數據的收集、整理、分析、計算、優化的過程，一節課是無法完成的。

結束語

數學建模是數學教學的目標之一，也是解決實際問題的重要途徑。真正的建模靠學生一個人是無法完成的，其所運用的知識不僅是數學本身，更是對學生綜合能力的考驗。數學建模的最終目的不是為了完成任務，而是通過建模來改變以往的教學方式和學習方式，讓學生發揮所長，凸顯自我價值。教師要優化課堂教學設計，不斷引導學生進行有效的探究，并針對學生的模仿建模進行有效指導，使其在探究過程中培養初步建模能力，提升數學核心素養，進而真正理解建模思想方法的價值。