基于剛體模型的粉筆落地力學探究

王 悅，方碧綠，孫大鵬，張 鵬，董曉舟，陳世文，劉 宇

基于剛體模型的粉筆落地力學探究

王 悅，方碧綠，孫大鵬，張 鵬，董曉舟，陳世文，劉 宇

（銅陵學院 電氣工程學院，安徽 銅陵 244000）

將粉筆抽象成剛體模型，對粉筆落地情況進行了受力分析，總結了落地斷裂結果的力學規(guī)律，揭示了粉筆斷裂結果的力學原因。

剛體模型；粉筆；受力分析

探究粉筆落地斷裂的規(guī)律，對機械制造[1]、工程建設[2]、醫(yī)療設備[3]等工程實踐都具有啟示作用。Rod Cross[4]教授利用Casio Ex-F1高精度攝像機，對78 mm長、直徑為11 mm的粉筆落地瞬間數據進行了采集，如圖1所示。研究發(fā)現(xiàn)：當粉筆從30 cm高度下落時，粉筆先一頭與地面發(fā)生碰撞，然后發(fā)生旋轉，另一頭以大約兩倍落地速度旋轉，并與地面發(fā)生碰撞后斷裂為兩段；當粉筆從40 cm高度下落時，先著地的一頭速度足夠大，所以直接斷成2段，不發(fā)生旋轉；當粉筆從45 cm高度下落時，先著地的一頭速度很大，所以斷裂處更加靠近與地面接觸的一端，另一端將發(fā)生旋轉，然后斷成兩段，最后一共斷成3段；當粉筆從大于50 cm高度下落時，可能斷成長度不等的3段或者4段。對于以上的實驗結果的內在力學原因，Rod Cross教授并未說明，國內外也未見有相關報道。本文采用剛體模型進行分析，從力學角度揭示粉筆落地后斷裂情形的力學規(guī)律。

圖1 每秒1 200幀拍攝粉筆落地的不同結果

1 力學分析

設粉筆的質量為，長度為，粉筆落地高度為，粉筆落地與地面發(fā)生碰撞前的瞬間速度為1，與地面發(fā)生碰撞后，粉筆受到作用力而斷裂，斷裂瞬間末端的速度記為，粉筆碰前與地面的夾角記為，與地面的作用時間記為Δ，粉筆斷裂瞬間把粉筆仍然當作一個整體分析。以第一種斷裂結果為例進行力學分析，如圖2所示。

圖2 粉筆與地面發(fā)生碰撞的受力分析

當粉筆從高度落地，與地面發(fā)生碰撞前的瞬時速度為1，此過程為自由落體運動，可知

假設落地時，左端先著地，碰撞后左端速度為零，右端速度總速度為v?2，如圖3所示。

碰撞后粉筆斷裂，斷裂瞬間可以認為粉筆還是以點為支點做整體轉動，看成一個剛性桿繞過端點固定軸的轉動來分析，如圖3所示，由角動量定理可以得出

其中，

代入（3）式可得

(4)式化簡可得

由(5)和(2)式可得

(6)式化簡可得

從(7)分析可知，對于角度一樣的情況速度隨高度增大而增大；當高度一定時，角度在0°～90°范圍變化時，角度越大速度越小，當=0°時

2 結果與討論

圖4 h=30 cm高度下落斷裂分析

圖5 h=40 cm高度下落斷裂分析

圖6 h=45 cm高度下落斷裂分析

圖7 h>50 cmcm高度下落斷裂分析

當高度>50 cm之后1>3 m?s-1，開始階段和=45 cm的高度一樣，左右兩段先后與地面發(fā)生碰撞，斷成3段。但由于高度增大了，粉筆落地時速度也增大，這樣右半截粉筆可能在發(fā)生斷裂后，仍然具有比臨界速度大的速度，所以中間小段還會與地面發(fā)生第三次碰撞產生斷裂，最終出現(xiàn)斷成4段的結果（如圖7所示）。

當然，如果剩下的小段粉筆仍然具有比臨界速度大的速度，它就會與地面發(fā)生第四次碰撞。但由于每次與地面發(fā)生碰撞都會有能量損失，且斷裂后的粉筆越來越短，不能視為剛性桿，此時，要更多考慮構成粉筆材料的物質內部產生的剪切力。所以，粉筆從一定高度從靜止水平釋放，一般最多能看到斷裂為4段。

3 結語

將粉筆視為剛體模型，對粉筆落地的力學過程進行了分析，得到不同情形的斷裂規(guī)律。工程實踐中，可以利用上述規(guī)律對物體進行加固：如對于圓柱形物體可以在中點、三分之一點、四分之一點進行加固，這樣可以起到延長材料壽命和節(jié)省材料的效果；對于物體安放如果需要加強承受力，則應該盡量避免讓工件承受垂直軸線方向的壓力[5]；在醫(yī)療方面，石膏定型過程要考慮對關鍵位置進行加固，拆卸時可以先進行關鍵位置刻痕，這樣既省力，又可以得到截面光滑的斷面，避免碎片飛濺。

[1] 李紅娟,冶存良.機器設計中機構的位置誤差與位置度公差分析[J].科技風,2018,31(9):72-73.

[2] 張艷軍,陳巖武,等.鉆孔爆破炮孔堵塞長度分析[J].爆破,2021,38(3):45-49.

[3] 雷東輝.四種超硬石膏模型物理機械性能的比較[D].青島:青島大學,2011:28-30.

[4] Rod Cross. Why chalk breaks into three pieces when dropped[J]. The Physics Teacher, 2015, 53(1): 13-14.

[5] 龍虎.數控車工大賽工件加工難點的工藝改進分析[J].機械管理開發(fā),2019,34(1):57-58.

Research on Chalk Landing Mechanics Based on Rigid Body Model

WANG Yue, FANG Bi-lv, SUN Da-peng, ZHANG Peng, DONG Xiao-zhou, CHEN Shi-wen, LIU Yu

(School of Electrical Engineering, Tongling University, Tongling 244000, China)

Based on the rigid body model the regularity of chalk drop to the ground was explored.The force analysis of chalks can provide a good basis of theoretical analysis for the blasting, the workpiece machining and the medical orthopaedics. The force analysis of the objects of shape like chalkswhen they fall to the ground can be carried out by studying the chalk drop to the ground.

rigid body model; chalk; force analysis

O4-33

A

1009-9115(2022)03-0038-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2022.03.011

安徽高校自然科學基金項目（KJ2020A0695），安徽省教學示范課項目（2020SJJXSFK2400），建筑電氣與智能化專業(yè)卓越工程師培養(yǎng)創(chuàng)新項目（2020zyrc153），安徽省一流教材項目（2020yljc127），銅陵學院大學生創(chuàng)新性訓練計劃項目（tlxy202010381316，tlxy202010381380，tlxy202010381574）

2022-03-10

2022-03-25

王悅（1980-），女，安徽肥東人，碩士，副教授，研究方向為大學物理教學。

（責任編輯、校對：侯 宇）