注重方法比較 善于變式拓展
——以一道向量模擬題的深度探究為例

貴州 李 寒

(作者單位：貴州省貴陽市第一中學(xué))

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有著豐富的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.它具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，能將數(shù)形融于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，成為“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的良好載體.下面對一道向量線性運算與基本不等式交匯問題的解法進行探究，以體會方法優(yōu)化的重要性，通過對問題的變式擴展，以揭示這類問題的本質(zhì)和規(guī)律.

一、試題呈現(xiàn)

該題是平面向量與基本不等式應(yīng)用相結(jié)合的一道填空壓軸題，將直線過重心G轉(zhuǎn)化為向量表示，再結(jié)合已知的向量關(guān)系，推導(dǎo)出關(guān)于m，n的式子，最后利用基本不等式求解得到答案.

二、解題探究

1.解法賞析

解法2(向量坐標(biāo)法)：連接AG并作AG的延長線交BC于點D.

所以x1=(1-m)p，y1=(1-m)q，所以E((1-m)p，(1-m)q).

所以x2=na+(1-n)p，y2=(1-n)q，所以F(na+(1-n)p，(1-n)q).

點評：解法2通過建立直角坐標(biāo)系，將問題用向量坐標(biāo)表示，通過向量的坐標(biāo)運算，使問題程序化，其目標(biāo)明確，思路清晰，思維難度小，但向量坐標(biāo)法的運算量較大，對數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)要求較高.

解法3(幾何法)：如圖，連接AG并作AG的延長線交BC于點D.

因為點G是△ABC的重心，所以點D是BC的中點，即BD=DC.

點評：解法3利用了平行線分線段成比例定理，得到線段的比例關(guān)系后，將已知條件的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系求解.幾何法別出心裁，過程簡潔、條理清晰，對邏輯推理核心素養(yǎng)要求較高.

2.方法比較

向量所具有的“數(shù)”與“形”的雙重特征，為數(shù)形結(jié)合提供了良好的載體.求解向量有關(guān)問題通常有兩種思路：一是“形化”，即從向量基底法的角度思考，基底法是解決向量問題的通性通法；二是“數(shù)化”，即從坐標(biāo)法的角度思考，坐標(biāo)法是解決向量問題的常用方法.根據(jù)上述給出的三種方法，比較得到如下結(jié)論：

方法知識方法優(yōu)勢不足向量基底法(解法1)三角形重心性質(zhì),三點共線定理通性通法線性運算要求高向量坐標(biāo)法(解法2)坐標(biāo)化思想、圖形一般化建系設(shè)點、直線方程思維量小、易于入手運算量大幾何法(解法3)平行線分線段成比例定理直觀性強,運算減少作圖、分析能力要求高

上述思路方法體現(xiàn)的均是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想和方法.雖然在高考復(fù)習(xí)備考的臨考階段時間緊、任務(wù)重，但對典型試題的解答要主動歸納總結(jié)各種不同的方法，并熟練掌握處理問題的通性通法，在掌握基本方法的同時，要學(xué)會分析、比較、優(yōu)化解題方法，唯有如此，當(dāng)學(xué)生遇到不同問題時，才會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ忸}時少走彎路.

3.延伸結(jié)論

上面解題過程中，其實蘊含著直線過三角形重心的一個充要條件的結(jié)論，即

三、變式探究

探究1：若上述問題中直線EF不過重心G，會有怎樣的關(guān)系呢？探究如下：

其實，若將變式1中向量關(guān)系做一下變動，可得到：

若進一步將向量關(guān)系變?yōu)榫€段比值關(guān)系，可得到：

根據(jù)推論1，也可以得到：

推論1、2將三角形中的某些線段的長度之比統(tǒng)一到一個公式中，其結(jié)構(gòu)、形式與解析幾何中的定比分點坐標(biāo)公式一致，簡潔、整齊、易記，故稱為幾何“分點坐標(biāo)公式”，利用該定理可以解決平面幾何中，三角形被直線所截得的線段比的一類問題.

探究2：若將變式1研究的方向改為求向量的數(shù)量積，又會是怎樣的情形呢？探究如下：

由此，我們可以得到一般性結(jié)論：

特別地，若D為△ABC的BC邊的中點，即λ=1，則有：

相比較而言，命題2的推論具有更廣泛的應(yīng)用.

四、應(yīng)用舉例

解析：如圖，連接BE交AC于點H，設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為1，則由正六邊形的性質(zhì)可得BE=2.

在Rt△CHB中，因為∠BCA=30°，

解析：設(shè)△BCF的面積為S，

整理得17S2-26S-295=0，

所以(S-5)(17S+59)=0，

故△BCF的面積為5.

A.-6B.-3

C.3 D.6

五、教學(xué)啟示

在高考復(fù)習(xí)備考的臨考沖刺階段，想要打造精準(zhǔn)、高效的教學(xué)課堂，需要從根本上改變教與學(xué)的方式，發(fā)展學(xué)生解決問題的意識和能力.數(shù)學(xué)解題是鞏固基礎(chǔ)知識、落實基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動，數(shù)學(xué)教學(xué)研究的過程主要就是解決問題的過程，掌握數(shù)學(xué)知識的一個重要標(biāo)志就是善于解題.特別是在講評課中，對典型問題的一題多解、同型歸類是不錯的選擇.與此同時，要從已經(jīng)解決的問題入手，對問題延伸、挖掘，進行變式探究，尋找到處理此類問題有效的規(guī)律和方法，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和解題能力.總之，對典型試題適宜地進行對解法、變式及拓展等方面的教學(xué)與訓(xùn)練，既能梳理解決這類問題的一般方法，尋求解答此類問題的通性通法，揭示問題的本質(zhì)和一般規(guī)律，又能拓寬學(xué)生的知識面，權(quán)衡解法優(yōu)劣，積累解題經(jīng)驗，讓學(xué)生走出“題海”，提高復(fù)習(xí)時的解題效率，力爭在2022年高考中取得優(yōu)異的成績.