因式分解教學中數學思想方法的滲透策略

□金龔逸 光楚寒 孟鳳娟 李雨婷

一、引言

因式分解是中學數學中一個重要的概念，也是教學的重難點。稱其為難點，主要是由于因式分解本質上是整式乘法的逆過程，學習的好壞取決于整式乘法的掌握程度。稱其為重點，主要是由于因式分解在代數教學體系中起著舉足輕重的作用。同時，其在某些幾何證明問題中也有著廣泛的應用。正因如此，為了使學生更好地掌握因式分解的技能技巧，“題海”戰術不可避免地成為了解決教學時間短與掌握技能技巧難矛盾的一個處理辦法。這樣的教學策略不僅不利于學生技能技巧的掌握，也不利于學生知識結構的形成。

為了改善這一現狀，知識的歸納、方法的總結和思想的凝練就成了一個值得關注的問題，數學思想方法正是在這樣的背景下提出。隨著《義務教育數學課程標準》的頒布，數學思想方法的研究進入了新階段，并主要集中于數學思想在某個學科分支或章節的教學研究。譬如，陳華忠[1]從列舉法、數形結合法和假設法等角度，解決了“雞兔同籠”問題。其中還指出，分析問題中應有機地滲透數學思想方法，同時還需要注意數學建模思想和數學思想文化的培養問題。李敏[2]等人以函數為例，系統地探討了核心素養視域下的數學思想方法。其工作特別指出數學思想方法是數學學習的靈魂。孫玲[3]以高中不等式教學為切入點，以具體實例的形式探討了不同數學思想方法的應用。此項工作不僅是對高中不等式類型的總結，也為數學思想方法結合具體實例提供了一個范例。

在之前的工作中，研究者通常采用理論分析或例題證明的方式進行論述，但是對于如何一步步地引導學生進行思考，逐步領悟數學思想方法內涵的研究較少。筆者結合自身實習體會寫下本文，旨在回顧因式分解知識的建構過程并探索教學中滲透數學思想方法的策略。

二、從“已知”到“未知”的因式分解概念提出

在因式分解的概念提出之前，學生學習了整式的乘法，具體包括單項式乘單項式、單項式乘多項式和多項式乘多項式。從運算結果來看，單項式乘單項式的結果仍然為單項式，單項式乘多項式與多項式乘多項式的結果為多項式。研究整式乘法的逆過程也隨之產生。如果研究將單項式寫成單項式與單項式的乘積問題，這樣的問題因為分解的不唯一性變得沒有意義。譬如，2x2y3即可以寫成2x2·y3，也可以寫成x2·2y3。那么，研究將多項式寫成若干單項式與多項式的乘積就變成了唯一的問題。

因式分解的概念正是在這個背景下提出的。因式分解研究的對象是多項式，目標就是將多項式寫成整式的乘積。是否所有的多項式都能進行分解這樣的問題就自然而然地提出了。進一步地，如果所有的多項式都能進行分解，那么分解方法的研究就成了一個新的問題。如果不是所有的多項式都能進行分解，那么具有何種特征的多項式能進行分解則是首先要關注的問題，其次再是針對某種特征討論分解方法。另外，還需關注這樣一個問題：針對一個能分解的多項式，其分解結果是否唯一。顯然，并不是所有的多項式都能進行分解，但是能分解的多項式分解方式唯一。這兩個回答便是因式分解問題研究的意義所在。因此，通常的教材中，對于因式分解的描述性定義，即把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種式子的變形叫做多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式,就不難理解了。

這樣一個從已知的整式乘法，通過研究逆過程引出未知的因式分解概念就十分自然。這樣一個過程對于今后逆定理、逆過程的研究提供了一個良好的范例。

三、化歸思想在分解因式中的應用

(一)因式分解的一般方法。在日常的教學中，通常因式分解方法總結為提公因式法、運用公式法、十字相乘法等。提公因式法是學生最先接觸到的方法，要談提公因式法首先要明確公因式的概念。教科書是通過單項式與多項式的乘法引入，即

a(b+c+d)=ab+ac+ad

(1)

把(1)式的兩邊互換位置，得到(2)式

ab+ac+ad=a(b+c+d)

(2)

同時給出如下定義：多項式ab+ac+ad各項都含有因式a，像這樣的因式稱為多項式各項的公因式。緊接著，通過例題，總結出尋找公因式的一般方法為：

1.公因式的系數應取各項系數的最大公約數

2.字母應該取各項相同的字母，而且各字母的指數應取最低。

這一過程是由定義逐步導出方法，需要注意如下幾點。一是公因式的概念是以描述性的語言給出。同時(1)式中僅展現了四項的情況，這里需要提醒學生對于其他項數的情況也滿足。二是對于首項系數為負數的情況，應提醒學生將負號作為公因式一并提出。三是確立起因式分解首先應尋找公因式的觀念。

緊接著，就是運用公式法的學習。運用公式法通常是指運用平方差公式、完全平方公式這兩個公式，具體表現為：

a2-b2=(a+b)(a-b)

(3)

a2±2ab+b2=(a±b)2

(4)

這里的(3)式稱為平方差公式，(4)式稱為完全平方公式。

運用公式法需要有以下幾點注意。一是這里的a,b不一定就是簡單的一個字母，而可能是一個整式。譬如，因式分解x4+6x2+9。這里x4可以視為(x2)2，進而滿足兩項和的完成平方公式。二是運用公式法之前應檢查多項式是否含有公因式。譬如，因式分解x3y+2x2y2+xy3。這里需要先提出公因式xy，然后就可以利用兩項和的平方差公式。三是注意公式的組合應用。因式分解有一個經典的題目，分解如下因式：

x4-2x2+1

(5)

許多學生會得到這樣一個錯誤的結果：

I=(x2-1)2

(6)

究其原因，還是對常見公式的不熟悉。顯然(6)式還可以繼續利用平方差公式繼續分解，然后通過冪的運算性質得到如下的正確結果：

I=(x+1)2(x-1)2

(7)

式(5)到式(7)的過程就是一個綜合利用平方差公式和完全平方公式很好的例子。總的來說，運用公因式法應該讓學生理解平方差公式是針對兩項的一種方法，完全平方公式是針對三項的一種方法；理解平方的內涵不僅是指某一個整式的平方；確立起因式分解首先考慮公因式的觀念。

雖然十字相乘法在教科書上只以介紹的形式出現，但鑒于其在后續一元二次方程組等方面的廣泛應用，因為在教學中也會涉及。十字相乘法是針對三項式的一種方法，運用公式法中的完全平方公式可以視為其的一個特例。通常教學中，教師會列舉整式乘法的結果，通過類似于(1)式到(2)式的過程，總結出如下等式：

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(8)

基于(8)式，引導出針對二次項系數為1的一般形式：

x2+mx+n=(x+p)(x+q)

(9)

需要滿足：

p+q=m,pq=n

(10)

(9)式到(10)式過程由于常數項n的分解種類較少，因此采用分解常數項檢查一次項的方法。在(9)式的基礎上，會提出二次項系數不為1的因式分解方法如下：

ax2+bx+c=(mx+n)(px+q),(a≠0)

(11)

需要滿足：

mp=a,mq+np=b,np=c

(12)

類似的，通過分解二次項a和常數項c,檢查一次項b來進行因式分解。(12)式建立的過程，就是如圖1所示的經典“十字”構建，這也是十字相乘法名稱的由來。

圖1 十字相乘法示意圖

十字相乘法是一種不斷試誤的過程，這不僅需要學生敢于嘗試，也需要學生有良好的數感。通常，這類題目也會伴隨著平方差公式與完全平方公式一同出現，這就需要同學檢查能否再進行因式分解的問題。

(二)因式分解的分組分解法。上文詳細地討論了提公因式法、運用公式法和十字相乘法。但是這些方法，尤其是運用公式法和十字相乘法存在著一定的局限性。譬如，平方差公式要求為兩項能寫成某個整式的平方的差形式，完全平方公式則需要滿足多項式由三部分組成，并且三項需要滿足一定的條件。雖然十字相乘法是對完全平方公式的推廣，但是其仍然是針對二次三項式的一種方法。顯然，這幾種方法只是針對二項式和三項式的一些方法，如果對于四項或者更多項的整式就無法適用。正是在這樣的背景下，分組分解法應運而生。分組分解法是通過將某些具有公因式的項或者能運用公式的項組合在一起的方法。這一過程與十字相乘法一樣是一種試誤的方法，并且隨著項數的增多難度而增加。

需要注意的是，分組分解法就是化歸思想的集中體現。化歸思想就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題[4～5]。分組分解法就是將一個項數大于等于4的多項式轉化為項數為2和3的組合，進而應用提公因式法、運用公式法、十字相乘法變為一個能處理的問題。

四、圖像直觀與數學抽象下的十字相乘法

上文已經從代數角度探討了十字相乘法的一般步驟，但是這一方法在幾何上也有著經典對應。正因如此，十字相乘法是一個經典的數形結合的案例。

教師們以兩項和的完全平方公式為例回顧整式乘法數形結合的案例。為推導(a+b)2的展開式，需要以a為邊長的正方形若干個，以b為邊長的正方形若干個和以a,b為長寬的長方形若干個。通過數形結合，旨在尋找a2,ab,b2的系數。

(a+b)2=a2+2ab+b2

(13)

圖2 (a+b)2的幾何直觀圖

則(13)式所示的公式可以經典地對應于圖2。在圖2中，(a+b)2對應于邊長a+b的正方形面積，繼而通過幾何直觀，不難得出(13)式。

在這基礎上，進行十字相乘法的研究，這里以a2+4ab+3b2為例談一下圖形直觀在十字相乘法中的應用。由系數可知，有以a為邊長的正方形1個，以b為邊長的正方形4個和以a,b為長寬的長方形3個，目標就是將這些圖形拼接成一個大矩形。通過面積相等，就可以得到因式分解的結果。通過嘗試，得到如圖3所示的矩形，并順利得到其結果為：

a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b)

(14)

圖3 a2+4ab+3b2的幾何直觀圖

通過(14)式的例子，我們發現十字相乘法也與幾何圖形的面積存在著經典的對應。至此，我們就構建起了代數抽象與幾何直觀的橋梁，也提供了檢驗因式分解的另一種方法。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的[6～7]。上述過程就是數形結合的典型案例。

五、結語

綜上所述，本文從因式分解概念提出著手，詳細分析了從整式乘法概念引出因式分解概念需要思考解決的若干問題。然后，通過常見的提公因式法、運用公式法和十字相乘法，引入分組分解法的概念，并指出這一過程是化歸思想的集中體現。最后，對于十字相乘法的幾何直觀進行了探討，指出代數抽象與幾何直觀存在著密切的關系。通過回顧因式分解的知識建構過程，分析其中的數學思想方法，為因式分解教學的數學思想方法滲透提供了參考。