數(shù)學新課標“三會”素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂教學設(shè)計
——以“數(shù)軸”教學為例

曹嶺紅 (深圳市光明區(qū)玉律學校，廣東 深圳 518106)

2022年5月，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(簡稱“數(shù)學新課標”)發(fā)布.數(shù)學新課標在目標設(shè)定中明確了學科核心素養(yǎng)的導(dǎo)向，提出了數(shù)學學科的三大核心素養(yǎng)，即：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界(簡稱“三會”).在學習理解數(shù)學新課標的過程中，筆者將“三會”素養(yǎng)與日常教學設(shè)計進行聯(lián)系、比較，發(fā)現(xiàn)“三會”素養(yǎng)導(dǎo)向?qū)W生在數(shù)學課堂上的學習深度能夠形成直觀的比照，能夠引導(dǎo)教師進行更有深度的教學設(shè)計.本文是筆者嘗試以初中數(shù)學“數(shù)軸”章節(jié)的教學為例，提供一種基于“三會”核心素養(yǎng)導(dǎo)向進行數(shù)學課堂教學的工作思路.

一、對數(shù)學新課標“三會”核心素養(yǎng)的理解

第一，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》提出“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)，更加關(guān)注數(shù)學的抽象屬性，要求培養(yǎng)學生從數(shù)學抽象的角度來觀察和探究世界的認知立場，包含了數(shù)量關(guān)系、空間形式、數(shù)學概念、數(shù)學結(jié)構(gòu)以及由此帶來的數(shù)學審美、數(shù)學想象、創(chuàng)新意識等；強調(diào)了引導(dǎo)學生充分觀察現(xiàn)實世界中基本數(shù)量關(guān)系與空間形式，進而能夠直觀理解所學的數(shù)學知識及其現(xiàn)實背景；從而在生活實踐和其他學科中發(fā)現(xiàn)數(shù)學內(nèi)涵、數(shù)學聯(lián)系，甚至引發(fā)數(shù)學思考.

在筆者看來，我們的數(shù)學課堂多年來一直缺乏對“數(shù)學眼光”的有效訓(xùn)練.大多數(shù)情況下，數(shù)學教師忙于對教材知識進行灌輸式的教學.學生越是缺乏數(shù)學的眼光，就越難以從生活直觀上升到數(shù)學抽象；越缺乏數(shù)學抽象視角，就越難以將數(shù)學與現(xiàn)實生活掛鉤.而數(shù)學學科與生活的脫節(jié)又進一步導(dǎo)致學生對數(shù)學學科的陌生、誤解、畏難.因此，“新課標”將“數(shù)學眼光”作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的第一項是非常科學而且關(guān)鍵的設(shè)定.由此，也就對數(shù)學教師聯(lián)系生活現(xiàn)實以及日常直觀進行數(shù)學教學的能力提出了更高的要求.這一要求意味著，數(shù)學教師本人應(yīng)該首先是個“數(shù)學觀察者”，善于從數(shù)學的視角看待事物，并善于將自己日常觀察的感悟與數(shù)學教學相融合，在課堂上通過自己的現(xiàn)身說法，讓學生看到生活中的數(shù)學世界，形成數(shù)學觀察的意識和習慣.

第二，“新課標”提出“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)，這是對數(shù)學嚴謹性的關(guān)注，更加強調(diào)數(shù)學的理解，要求教師能夠引導(dǎo)學生構(gòu)建數(shù)學思維與現(xiàn)實世界、研究對象之間的關(guān)聯(lián)，能夠進行有數(shù)學概念參與的邏輯推論，能夠應(yīng)用數(shù)學符號、數(shù)學形式進行數(shù)學化的思維加工與問題解決，同時，在此過程中，讓學生獲得科學思維方法和嚴謹精神的訓(xùn)練.

筆者認為，數(shù)學課堂并不缺乏對運算以及掌握數(shù)學符號的訓(xùn)練，但大多數(shù)教師在學生的數(shù)學推理能力方面沒有提供充分訓(xùn)練.多數(shù)教師缺乏在數(shù)學規(guī)律與現(xiàn)實現(xiàn)象之間，在數(shù)學基本概念和數(shù)學法則之間搭建橋梁的有效方法，難以真正幫助學生掌握應(yīng)用數(shù)學邏輯解釋或論證現(xiàn)實問題的能力，因而也就難以真正引領(lǐng)學生在日產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學、用數(shù)學的條理與邏輯講道理的意識與習慣.

第三，“新課標”提出“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)，這是對數(shù)學廣泛性的關(guān)注，更加強調(diào)數(shù)學的應(yīng)用，表現(xiàn)出“新課標”以育人為導(dǎo)向的核心理念，是真正實現(xiàn)數(shù)學融入生活，數(shù)學為學生所用的關(guān)鍵一環(huán).數(shù)學表達是學生應(yīng)用數(shù)學解決現(xiàn)實問題的關(guān)鍵能力，人們通過數(shù)學語言，方可簡約且精確地描述現(xiàn)實、傳遞科學知識與經(jīng)驗、分析數(shù)據(jù)與證據(jù)、預(yù)測未來與偶然.

筆者在長期的數(shù)學教學工作中，對這一素養(yǎng)高度關(guān)注，并有意識地在教學中對此加以落實.筆者認為，從生活語言轉(zhuǎn)換到數(shù)學語言，這不是自然而然的結(jié)果，而是長期接受專門化訓(xùn)練才能達成的意識和行為.正如“新課標”對數(shù)學語言的表述——“數(shù)據(jù)意識或數(shù)據(jù)觀念、 模型意識或模型觀念”，數(shù)據(jù)與模型都是經(jīng)過人的理解、歸納、概括之后所形成的要素.訓(xùn)練數(shù)學應(yīng)用，關(guān)鍵在于堅持訓(xùn)練學生貫通數(shù)學的“理解—歸納—概括—解決”全過程，讓學生經(jīng)歷用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的體驗，感悟數(shù)學的表達與交流方式；能夠有意識地運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實問題與學科問題，由此形成對數(shù)學語言簡潔與優(yōu)美的欣賞與親近，逐步養(yǎng)成用數(shù)學語言表達與交流的習慣，形成跨學科的應(yīng)用意識與實踐能力.當然，這個過程在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學中是最為缺乏的，其根本原因一方面在于教師的意識，更重要的是在于課時的制約，導(dǎo)致教學設(shè)計難以達成全程的貫通，抵達學生的完整應(yīng)用經(jīng)驗.

二、“三會”素養(yǎng)有利于加深數(shù)學課堂學習深度

杭州師范大學教育科學研究院張華院長在2020年12月14日第四屆學習共同體全國教育峰會(SSLC 2020)的發(fā)言中提出“深度學習是和核心素養(yǎng)并提的……因為只有通過深度學習才能發(fā)展核心素養(yǎng)”.這句話闡述了學科核心素養(yǎng)與學生深度學習之間的關(guān)系.

在傳統(tǒng)課堂上，教師將“學科事實”原封不動地傳遞給學生，然后學生謙卑地予以接收.這種“事實本位”的知識觀導(dǎo)致學生獲得的是“惰性知識”，學生只是知道了“事實”，但未必理解了“道理”，因而很難融會貫通、活學活用.課堂學習要想達到一定的深度，要求從“事實本位”走向“理解本位”，追求對知識理解而不僅僅是對事實的了解，這就要求課堂教學為學生提供完整的深度學習歷程.數(shù)學新課標對“理解”這個動詞提供了標準解讀，即：描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系.透過新課標對“理解”的定義，可以得見：學生在數(shù)學課堂抵達深度學習的重要表征就是學生能夠?qū)W習對象進行描述、闡述，而這個要求與“三會”中的“會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界”不謀而合.

從學習發(fā)生的機制來看，“三會”素養(yǎng)之間存在遞進關(guān)系：觀察—思考—表達，遵循信息的采集、加工、輸出的工作鏈條.從這個角度看，“三會”素養(yǎng)導(dǎo)向能夠有效地引導(dǎo)學生在課堂學習中抵達“應(yīng)用數(shù)學語言進行表達”的學習深度.

東北師范大學史寧中教授在解讀數(shù)學新課標的講話中提出：數(shù)學學習過程從抽象的深度來看，大體上分為三個階段：簡約階段、符號階段、普適階段.簡約階段是指把握事物的本質(zhì)，把復(fù)雜的問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達的階段;符號階段是指去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表達包括已經(jīng)簡化了的事物在內(nèi)的一類事物;普適階段是指通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，能夠在一般意義上解釋具體事物.從史寧中教授所描述的三個階段可以看出數(shù)學學習深度的遞進.這三個階段與“三會”素養(yǎng)之間也是一一對應(yīng)的.

三、基于“三會”素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學教學設(shè)計

筆者在數(shù)學課堂教學中長期推行“深度學習”，強調(diào)課堂學習的“可理解性”，積累了一些與“三會”素養(yǎng)要求不謀而合的教學設(shè)計，下面以“數(shù)軸”一課為例對“三會”素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學設(shè)計做簡要介紹.

(一)充分感知，領(lǐng)悟共性特征

數(shù)軸的生活模型非常豐富，但它們的表象差異明顯：有的已完全顯現(xiàn)出數(shù)軸的要素特征，有的只是部分顯現(xiàn)出數(shù)軸的要素特征，還有的則需要進一步數(shù)學化才能顯現(xiàn)出數(shù)軸的要素特征.這種表象各異的數(shù)軸生活模型，只要感知充分，學生就能領(lǐng)悟到它們的共性特征，即數(shù)軸的要素特征.并且，數(shù)軸生活模型越豐富，感知越充分，對數(shù)軸要素特征的理解就會越深刻.根據(jù)數(shù)軸生活模型特征和學生的認知特征，可以分兩步引導(dǎo)學生感知數(shù)軸生活模型.

1.具備全要素數(shù)軸生活模型的感知

“溫度計”是學生最熟悉的最具備數(shù)軸全要素特征的數(shù)軸生活模型，因此，很多教材都是以溫度計作為引入數(shù)軸的生活模型，它的設(shè)計具有如下特征：一條直的線、有均勻分布的刻度、有表示零上的溫度(正數(shù))，有表示零下的溫度(負數(shù))、有表示零攝氏度的溫度(0)、有從小到大的數(shù)據(jù)排列特征等，這些特征正好是數(shù)軸的特征.因此，課堂上，應(yīng)該引導(dǎo)學生充分感知溫度計的設(shè)計特征，以幫助學生完成從生活模型到數(shù)軸的首次抽象.

2.構(gòu)建全要素數(shù)軸生活模型的感知

學生完成了數(shù)軸的首次抽象后，就會具備兩種能力：尋找數(shù)軸生活模型的能力和構(gòu)建數(shù)軸要素特征的能力.因此，此階段的教學是引導(dǎo)學生盡可能多地尋找數(shù)軸在生活中的模型，它不僅包括類似于溫度計的全要素數(shù)軸生活模型，還包括那些沒有完全顯現(xiàn)出數(shù)軸要素特征的生活模型，如標有刻度的直尺、處于一條直線上均勻分布的路燈等.然后對沒有完全顯現(xiàn)出數(shù)軸要素特征的生活模型進行構(gòu)建，使其符合數(shù)軸的全要素特征，比如在標有刻度的直尺上設(shè)置原點、正方向等.學生尋找數(shù)軸生活模型的過程是對數(shù)軸首次抽象結(jié)果確認的過程，學生構(gòu)建數(shù)軸全要素特征的過程是對數(shù)軸要素特征再理解的過程.

(二)語言表達，抽象數(shù)軸形式

數(shù)學學習實質(zhì)上是數(shù)學的思維活動，其中，數(shù)學語言是數(shù)學思維活動的載體，因此，可以說學習數(shù)學就是學習數(shù)學語言，數(shù)學語言包括抽象性語言和直觀性語言，表現(xiàn)形式包括圖形語言、符號語言和文字語言等.將生活場景語言化是高級思維的表現(xiàn)，也是學生形成抽象思維的過程，將數(shù)軸生活模型共性特征數(shù)學語言化，就是數(shù)軸抽象的過程，其語言形式是數(shù)軸的表達形式.

根據(jù)認知規(guī)律，學生的思維發(fā)展路徑通常具有先直觀后抽象的特征，而圖形語言具有典型的數(shù)學直觀屬性，因此，數(shù)軸的語言化學習往往從圖形語言表達開始，對于數(shù)軸而言，就是將數(shù)軸生活模型的共性特征以圖形語言的形式進行表述.如：

學生將數(shù)軸生活模型進行數(shù)軸圖形表達很可能不準確，但這是學生圖形表達能力方面的學情顯現(xiàn)，是學生體驗數(shù)軸形成、理解數(shù)軸含義和進行抽象能力培養(yǎng)的寶貴素材，因此，學生進行圖形表達是教學所必需，對圖形表達的學情素材進行加工和完善亦是圖形表達教學環(huán)節(jié)的重要內(nèi)容.

這種不準確有兩個層次內(nèi)容：第一個層次是共性特征的圖形表達不準確，第二個層次是數(shù)軸圖形表達不準確.其中，共性特征的圖形表達不準確源自學生對所感知的共性特征和圖形表達沒有建立起準確的對應(yīng)關(guān)系.因此，通過圖形和感知內(nèi)容的一一比對就可以找出問題，以此完善圖形表達和提升學生進行圖形表達的能力.如將學生自己的圖形表達與第一階段感知的共性特征進行對比，可以發(fā)現(xiàn)部分圖形不符合要求，比如，圖6上的刻度不均勻，圖3不能表示出所有有理數(shù).數(shù)軸圖形表達不準確源自生活模型共性特征的圖形表達僅僅強調(diào)共性特征的圖形表達，而不一定是真正意義上的數(shù)軸圖形表達.因此，需要從數(shù)軸屬性出發(fā)，將生活模型共性特征的圖形表達完善成為數(shù)軸圖形表達.如從數(shù)軸的工具屬性進行理解，學生容易明白需要對圖形做一些規(guī)定：直線上從左到右或從下到上表示的數(shù)是依次增大的，并且在直線上用“→”表示較大數(shù)的方向，從而形成數(shù)軸圖形表達的準確形式.

一般情況下，學生會對圖9持有不同意見，此時，可以讓學生進行相互辨析，通過辨析理解數(shù)軸本質(zhì)，體驗數(shù)軸運用時的合適性特征.

直觀的圖形語言是數(shù)軸的圖形表達形式，數(shù)學思維活動是一種交流活動，更為抽象的符號或文字語言是進行數(shù)學交流的最便捷工具，也是進行數(shù)學抽象思考的最合適語言形式，因此，將圖形語言轉(zhuǎn)換為符號或文字語言是進一步進行數(shù)學抽象的必經(jīng)過程.如標識“→”的方向叫正方向，標識正負數(shù)分界線的點叫原點，用“0”表示，這個均勻分布的刻度叫單位長度，具備這些所有要素的直線叫數(shù)軸等.

(三)場景運用，感悟數(shù)形結(jié)合思想

學生因感受到學習的價值而樂此不疲，且越學越勇，數(shù)軸學習的價值既體現(xiàn)在數(shù)軸形成的過程中，還體現(xiàn)在數(shù)軸的各種場景運用中，學生通過數(shù)軸解決一系列數(shù)學問題，還能深度理解數(shù)軸本身，更能感悟數(shù)軸知識所蘊含的數(shù)學思想——數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

1.利用數(shù)軸理解數(shù)學概念，感悟數(shù)形結(jié)合思想

學生掌握數(shù)軸后，為相反數(shù)和絕對值等數(shù)學概念的學習提供了圖形理解途徑，如圖10所示，a，b互為相反數(shù)，通過圖形觀察，很容易獲得如下結(jié)論：

(1)a，b兩數(shù)符號相反；

(2)a，b兩數(shù)在數(shù)軸上到原點的距離相等；

(3)a，b兩數(shù)在數(shù)軸上的點關(guān)于原點對稱.

根據(jù)以上結(jié)論，可以水到渠成地獲得如下概念內(nèi)涵：

由(1)和(2)可以得出相反數(shù)的內(nèi)涵；由(2)可以引出絕對值的概念；由相反數(shù)的內(nèi)涵和絕對值的概念，又可以進一步規(guī)范相反數(shù)的概念(符號不同，絕對值相等的兩數(shù)互為相反數(shù))等.

2.利用數(shù)軸上理解文字語言，感悟數(shù)形結(jié)合思想

文字語言表述的數(shù)學問題，抽象且不直觀，對理解和解決問題造成障礙，如果將其表示在數(shù)軸上，結(jié)果就一目了然.如學校前面有一條東西走向的筆直綠道，小穎周末從校門口出發(fā)在綠道上散步，她先向東走了300步，再向西走了500步，又向東走了600步，再繼續(xù)往東走了200步，然后向西走了400步，此時，小穎是否在校門口位置？如果不在，怎樣走可以再回到校門口？

在閱讀這段數(shù)學問題的表述時，一東一西的很容易導(dǎo)致思緒混亂，如果將其轉(zhuǎn)換成數(shù)軸圖形就很容易理解，即將此場景構(gòu)建成以校門口為原點、向東為正方向、單位長度為100步的數(shù)軸，然后采用動點的方式，問題就很容易獲得解決.

3.利用數(shù)軸理解數(shù)學表達式，感悟數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學表達式也是高度抽象的產(chǎn)物，有些以表達式呈現(xiàn)的數(shù)學問題使用代數(shù)方法很難入手，如果將其轉(zhuǎn)換成圖形問題，即數(shù)軸問題，就很容易獲得解決.

如求代數(shù)式|x-2|+|x+3|的最小值.將這個數(shù)學問題按照如圖11所示表示在數(shù)軸上，其中，點A表示-3，點B表示2，點P為數(shù)軸上任意點，用x表示.我們知道兩數(shù)差的絕對值在數(shù)軸上對應(yīng)為這兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)兩點的距離，因此，|x-2|+|x+3|=AP+PB.從圖形可知，當點P在線段AB上時，AP與PB的和最小，最小值為AP+PB=AB.

將這些數(shù)學問題設(shè)置在數(shù)軸上進行思考，問題分析變得直觀，問題解答變得易懂，這就是數(shù)軸的價值，這樣的方法就是數(shù)形結(jié)合思想的運用.數(shù)軸在運用場景中的價值顯現(xiàn)，是學生對數(shù)軸的理解，更是對數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想的理解與感悟.

四、小 結(jié)

在本教學設(shè)計案例中，從學生熟悉的數(shù)軸生活模型出發(fā)，引導(dǎo)學生對這些數(shù)軸生活模型進行充分感知，領(lǐng)悟共性特征，從而形成對數(shù)軸抽象概念的理解，然后依次通過圖形、符號、文字等數(shù)學語言形式進行抽象表達，最后再回歸于生活場景，基于深入的理解進行問題的解決.

學生在經(jīng)歷數(shù)軸的抽象過程中積累抽象方法、培養(yǎng)抽象思維、理解數(shù)學概念，在分析抽象后的數(shù)學概念過程中，深度理解數(shù)學概念和數(shù)學抽象的方法價值，這個過程貫穿了“數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達”的完整學習鏈條，學生在這樣的全鏈條中取得了更有深度的學習收獲.