方陣可對角化的應用研究

白昊月

(吉林建筑科技學院，長春 130000)

1 反求矩陣

反求矩陣問題是矩陣相似對角化的一個延伸問題，教學過程中應適當滲透此方法。

例1：設三階實對稱矩陣A的特征值分別為λ1=-7,λ2=λ3=2,該矩陣屬于λ1的特征向量為α1=(1,2，-2)T.求矩陣A。

于是令Q=(η1,η2,η3),Λ=diag(-7,2,2),則Q為正交矩陣，且Q-1AQ=QTAQ=Λ.則有

2 求解方陣的n次冪

在線性代數(shù)中，求解方陣的冪是一種特殊的矩陣乘法問題，利用矩陣可對角化的性質，以比較簡單明了的方法解決了以下問題。

求得兩個特征值對應的特征向量分別為

故

3 實對稱陣的正交對角化

除了上述比較常見的兩個例子之外，還有一些有意義的結論提出，對于一個實對稱陣，在正交化的過程中存在的正交矩陣是不唯一的，那么是否能夠找到與同一個實對稱陣相似的不同對角陣之間的關系，或者用另一個矩陣建立起聯(lián)系？這個矩陣該如何求解？通過下述例題來進行簡單說明。

定理1[1]對于n階實對稱陣A，若存在正交矩陣P、Q，使得PTAP=Λ、QTAQ=Λ1均為對角陣，則存在正交陣X，使得XT(QTAQ)X=Λ，那么還存在一個正交陣設為R使其建立起聯(lián)系，QX=PR。

R=P-1T=P-1QX=PTQX

4 求解數(shù)列通項公式

定理2[3]若n階方陣有n個不同的特征值，則該方陣可對角化。

例4：已知數(shù)列{xn},{yn}滿足xn=xn-1+3yn-1，yn=2xn-1+2yn-1，且y0=2x0=10，求x100,y100。

5 求解數(shù)列極限

求解數(shù)列極限可分為兩種情況：具有線性遞推關系的數(shù)列、可化為具有線性遞推關系的數(shù)列。通過例題分別對兩種情況加以說明。

解：將已知條件的遞推關系組寫為矩陣形式：

6 結 語

方陣的對角化在解決實際問題中具有廣泛的應用，在高等數(shù)學中也具有重要價值和意義。