基于事件時間間隔的VSI CQC-r控制圖設計

張 瑩，柯楚賢

（武漢理工大學 交通與物流工程學院，湖北 武漢 430063）

0 引言

控制圖是統計過程控制（Statistics Process Control, SPC）的常用工具之一，最初用于監測生產過程的變化。隨著對控制圖研究的推進，學者們不再局限于監控缺陷的數量，而是將缺陷的發生定義為事件，以監控事件時間間隔（Time Between Events, TBE）為目的進行研究。由此TBE控制圖的應用也拓展至物流效率、服務水平、災禍預測等多個領域。

TBE 控制圖主要包括服從指數分布的累積數量控制圖（Cumulative Quantity Control, CQC）和服從幾何分布的累積合格品數控制圖（Cumulative Count of Conforming, CCC），本文研究的是CQC類控制圖。

若將事件的發生視作泊松過程，其時間間隔服從指數分布，因此CQC 控制圖也被稱為指數圖（exponential chart）。很多學者研究了指數圖與經典控制圖的結合和優化，如指數分布Shewhart型控制圖、指數分布累積和（Cumulative Sum, CUSUM）控制圖、指數分布指數加權移動平均（Exponentially Weighted Moving Average,EWMA）控制圖、指數分布Run Rules 控制圖等。Qu，等同時監控事件時間間隔與事件大小，設計了CUSUM統計量，并用于監控供應鏈的訂貨間隔和手足口病的發生。

Xie，等發現，CQC 圖只根據當前檢測情況進行判定而沒有利用歷史信息，在虛發警報概率較小時容易導致控制圖誤報和對過程偏移不敏感，因此以觀察到r 個事件間的時間間隔為統計量，針對Erlang分布設計了t控制圖，也即CQC-r圖。由于Erlang分布是Gamma分布的特殊形式，Zhang，等將指數分布拓展為Gamma分布，設計了更為普遍的Gamma圖，并使用平均報警時間（Average Time to Signal, ATS）作為性能指標，證明基于隨機位移模型的CQC-4圖與改進的指數CUSUM 圖性能相當，但更易于理解和使用。由于Gamma 分布的偏斜導致控制圖的有偏，Yang，等提出了尺度參數已知和未知情況下ATS 無偏的CQC-r圖設計，并使用序貫抽樣使控制圖盡快開始監控。Kumar，等將文獻[6][12]的指數圖運行規則推廣到CQC-r圖，利用馬爾科夫鏈計算平均運行長度（Average Run Length，ARL），并比較了不同運行規則對不同偏移范圍的適用性。CQC-r圖的應用上，Xie，等將CQC-r 圖用于監控故障時間數據，Liu，等將CQC-r圖用于開發管材生產過程的在線監控系統，并說明CQC-r圖比指數CUSUM和指數EWMA控制圖更加通用和靈活。

變采樣間隔（Variable Sampling Intervals，VSI）是改進控制圖常用的方法之一。傳統的固定采樣間隔（Fixed Sampling Intervals，FSI）控制圖中，兩次采樣間的間隔為定值，而VSI控制圖中采樣間隔取決于前一次采樣的結果，因此能夠利用歷史信息縮短控制圖發現異常的時間。VSI 在傳統控制圖中的應用較為常見，如Nguyen，等的VSI Shewhart多元變異系數控制圖、薛麗的不合格品率二項分布VSI CUSUM 控制圖、Tran，等的VSI EWMA中值控制圖、張艷，等的VSSI EWMA預防維修控制圖。萬強研究了雙抽樣調整抽樣間隔型np 控制圖DSVSI np 的經濟性設計。對于TBE數據，Liu，等提出了VSI CCC控制圖，并由Nezhad，等延伸至VSI CCC-r 圖，證明了VSI CCC-r圖總是比FSI CCC-r圖更有效。Zhang，等研究了貝葉斯估計下的VSI CCC 圖性能，根據目標的ATS 及其標準差SDTS（Standard Deviation of Time to Signal，SDTS）給 出 了 所 需 要 的Phase I 樣 本 數。Zhang，等將VSI用于改進指數分布的CQC圖，最優采樣間隔組合下，改進后控制圖的ATS平均約為固定采樣間隔CQC圖的85%。

可見CQC-r圖在多個領域中都能發揮較好的過程監控效果，同時變采樣間隔策略能縮短控制圖的報警時間，提高檢測速度。但目前對動態TBE控制圖的研究主要停留在二項分布的CCC類圖，還未有學者研究變采樣間隔策略對CQC-r圖的影響。因此本文基于TBE數據，將VSI策略應用至Gamma分布CQC-r圖，對VSI CQC-r圖的性能進行研究，并通過監控訂貨間隔的案例驗證VSI CQC-r圖在供應鏈管理中的有效性。

1 FSI CQC-r控制圖

事件的發生是一個泊松過程。若用統計量T表示恰好檢測到一個目標異常事件所經過的時間，則T服從指數分布，其累積分布函數為：

其中為逆尺度參數（inverse scale parameter），為正數，代表了事件的發生率。FSI CQC控制圖監控統計量T，T 落在控制限之外說明事件的發生率超過預先設定的可接受范圍，過程可能出現異常，需要進行檢修。

其中r為Gamma分布的形狀參數（shape parameter），為正整數，表示FSI CQC-r 圖關注的是連續r 個事件；為對應指數分布的逆尺度參數。當r=1 時，Gamma 分布即為指數分布，FSI CQC-1 圖即為FSI CQC圖。

當控制圖使用者想觀察的連續事件數r確定時，事件發生率越高，出現r個事件需要的時間越短，在控制圖上反映為統計量的向下偏移，也即使用者往往對T減小的向下偏移更感興趣。因此本文研究的是檢測TBE減小的下單邊控制圖。給定受控狀態下可接受的虛發警報概率，下單邊FSI CQC-r圖的下控制限（Lower Control Limit，LCL）滿足：

其中F()為Gamma分布的逆函數，為受控狀態下目標事件的發生率，一般可由經驗得出。

2 VSI CQC-r控制圖

FSI策略下，控制圖每次采樣的時間間隔相同，但VSI策略下，第i+1次采樣使用的間隔h取決于第i次采樣的結果T。若過程波動較小、預測過程運行良好，下次采樣使用較大的采樣間隔h，過程發生較大波動則使用較小的采樣間隔h。同時為了在控制圖運行初期提供額外的保護，首個間隔h將使用較短的采樣間隔h。

一般的下單邊FSI控制圖只有一條下控制限，當統計量落入下控制限以下時報警。VSI控制圖中增加了下警戒限LWL（Lower Warning Limit，LWL），本文中還添加了均值線ML（Median Line，ML）。對于本文的下單邊VSI CQC-r圖，設置采樣間隔h=（h，h，h）和控制限（LCL，LWL，ML），且0＜h＜h＜h，0＜LCL＜LWL＜ML，其中ML 取Gamma 分布的期望(T)，h表示與FSI控制圖相同的采樣間隔。

LCL、LWL、ML將控制圖劃分為四個區域。根據每次采樣時統計量T所處的區域，過程可能處于不同的狀態，VSI控制圖將不斷調整采樣間隔。VSI策略中對采樣間隔的選擇可由式（4）表示，每個區域的采樣策略如下：

（1）內部安全區(ML，+∞)：此時事件時間間隔大于對應Gamma分布的期望，過程運行良好。為降低采樣和檢測的成本，下次采樣使用較長的間隔h；

（2）外部安全區(LWL，ML]：此時過程可能保持穩定。為進一步觀察，下次采樣使用適中的間隔h；

（3）警戒區(LCL，LWL]：此時時間間隔有縮短的跡象，事件發生率可能增大，需要盡快采樣確定過程狀態，下次采樣使用較短的間隔h；

（4）失控區(0，LCL]：此時事件時間間隔縮短并超過可接受的范圍，說明過程已經失控，需要立即采取相關措施，及時查明并排除導致異常的原因，保持過程穩定。

記統計量落在不同區域的概率為p，i=1，…，4，則VSI CQC-r 圖的各控制限及統計量落在各區域的概率滿足式（5）-式（9）。

其中(T) 為Gamma 分布() 的期望。VSI CQC-r圖各區域示意圖如圖1所示。

圖1 VSI CQC-r圖各區域示意圖

3 評價標準

平均運行長度ARL是評價控制圖的常用標準，代表了控制圖從開始運行到發出警報時所經過的平均樣本個數。假設失控狀態下過程的事件發生率由偏移至，則統計量T落在LCL之上、即控制圖未發出警報的概率為漏發警報概率，有：

ARL反應了控制圖發出警報時運行過的平均樣本個數，但VSI控制圖還關注報警所需要的時間，因此VSI CQC-r圖應該以平均報警時間作為性能指標。平均報警時間ATS 為ARL 與平均采樣間隔ASI（Average Sampling Interval，ASI）的乘積，表示控制圖從運行開始到報警所需要的平均時間。FSI控制圖的平均采樣間隔ASI為一常數，VSI 控制圖的平均采樣間隔ASI為采樣間隔的隨機變量，表示為采樣間隔的期望值，即：

則VSI CQC-r圖的平均報警時間可表示為：

當h=h=h時，控制圖使用的是FSI策略，有：

與ARL的比較類似，受控ATS相等的前提下，失控ATS越小，控制圖越能更快地檢測到異常的發生。

4 性能分析

4.1 VSI CQC-r控制圖的求解

為方便表述，令ATS和ATS分別表示不同形狀參數r 對應的FSI 和VSI 策略下CQC-r 圖的受控ATS，同理將失控ATS表示為ATS和ATS，受控ASI表示為ASI和ASI。

控制圖的設計、求解和比較要求在受控ATS相等的前提下盡量減小失控ATS。為了比較VSI和FSI策略對過程失控的檢出效果，求解時需要控制ATS=ATS。同時VSI控制圖為避免采樣頻率對結果的影響，還要求受控狀態下VSI 和FSI 控制圖的平均采樣間隔相等，即ASI=ASI。此時VSI CQC-r圖的求解可以轉化為一個非線性方程組求解問題：

即在受控ATS和ASI相等的條件下，求解使失控ATS最小的控制限。

為了方便比較不同控制圖的性能，本文與其他論文類似，取0002 7 。不失一般性，取ASI=ASI=h=1。同時為簡化求解過程，本文參照文獻[22]給其他參數設置了一定的取值范圍：形狀參數r ∈{1,2,3,4}，受控逆尺度參數0000 5 ，過程偏移∈{1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，3.0｝，采樣間隔h ∈｛（0.8，1.0，1.2），（0.7，1.0，1.3），（0.5，1.0，1.5），（0.3，1.0，1.7），（0.1，1.0，1.9）｝。

4.2 變采樣間隔對CQC-r圖的影響

改進因子表示了過程發生偏移時VSI與FSI策略對CQC-r 圖性能的影響，改進因子越小，VSI 策略對CQC-r圖的提升越大。特殊的，當r=1時，恰好檢測到一個目標異常事件所經過的平均時間服從指數分布，即表示VSI CQC圖對FSI CQC圖的改進因子。

根據式(16)，求解不同形狀參數、過程偏移、采樣間隔下VSI CQC-r圖對FSI CQC-r圖的改進因子如圖2所示。

圖2 VSI CQC-r圖對FSI CQC-r圖的改進因子(r=1,2,3,4)

由于改進因子越小，改進后的圖表對原圖表的提升越大，可見VSI策略對CQC-r圖有一定的改進。形狀參數r固定時，對于相同的過程偏移，采樣間隔的差值(h-h)越大，VSI對CQC-r圖的改進效果越好，采樣間隔的差值最大時圖表效果達到最優。對于相同的形狀參數和采樣間隔，過程偏移越大，VSI對CQC-r圖的改進越大，如=19 時，h=(0.1,1.0,1.9)的VSI CQC-4圖的平均報警時間僅為FSI CQC-4圖的25%，控制圖檢測出失控的速度明顯提高。

在實際應用中，采樣間隔的設置受過程流暢性要求、控制圖使用者偏好、可接受的最長最短采樣間隔等多種因素的影響，不能簡單地使間隔的差值越大越好。通過使用不同的r值可以幫助設置采樣間隔。如=19 時，h=（0.1，1.0，1.9）的VSI CQC-2圖有ATS=97 047，而h=（0.3，1.0，1.7）時有ATS=97 028、h=（0.5，1.0，1.5）時有ATS=104 510，即增大r值能超過或接近r較小時VSI CQC-r圖的最優效果，且可選的采樣間隔組合增多。因此在期望的檢測速度下可以更靈活地選擇不同參數組合，在保證檢測效果的前提下方便實際操作。結果見表1。

表1 不同采樣間隔組合和偏移下VSI CQC-r圖和FSI CQC-r圖的ATS(r=3)

4.3 形狀參數對VSI CQC-r圖的影響

為更直觀地分析形狀參數取值對VSI CQC-r 圖性能的影響，不同r值對應的ATS值如圖3所示，見表2。由上節可知，形狀參數與過程偏移相同時，采樣間隔的差值越大，VSI CQC-r圖的性能越好，因此僅分析性能最優的采樣間隔為(0.1，1.0，1.9)時的情況。為方便觀察，縱坐標取自然對數ln(ATS)。

表2 不同形狀參數和偏移下VSI CQC-r圖的ATSV1,r(h=(0.1，1.0，1.9))

圖3 形狀參數對VSI CQC-r圖的影響（h=（0.1，1.0，1.9))

由圖可知，無論形狀參數如何取值，隨著過程偏移增大ATS都逐漸減小，控制圖的性能提升。隨著偏移增大，VSI CQC-r圖檢測大偏移的性能提升，且r越大檢出速度越快。虛發警報概率和過程偏移一定時，由式（3）和式（10）可知，r越大，VSI CQC-r圖的LCL越大、漏發警報概率越小，符合控制圖固定可接受的虛發警報概率、并使漏發警報概率盡量小的優化方向。

但形狀參數越大，VSI CQC-r圖對小偏移越不敏感。由ATS的定義可知，較小時，ATS受r的影響變化較劇烈。雖然增大形狀參數能提升對大偏移的檢測效果，但在偏移足夠大時，各VSI CQC-r圖的差距已經不大。由于過大的r值可能會掩蓋過程已經發生偏移的問題、延長發現事件的時間，實際應用中可以事先根據經驗和應用環境，預估可能產生的偏移范圍，綜合考慮檢測效果和計算速度選擇合適的形狀參數。

5 實例分析

孟玥，等指出，統計過程控制在供應鏈風險管理中能發揮相當的作用。本節使用VSI CQC-r 圖監控TBE數據，說明VSI CQC-r圖的運行過程和在供應鏈管理中的應用。

根據文獻[7]，存在一個由批發商、貿易公司、零售商組成的農產品供應鏈，其中貿易公司使用統計過程控制監控下游零售商的大米訂貨間隔。當下游訂貨間隔縮短、對大米的需求超出預期時，貿易公司向上游批發商發出追加訂單，以保證供應的穩定性。根據過往記錄，受控狀態下下游兩次訂貨的間隔服從0495 的指數分布，即平均每2.02小時有一大米訂貨需求。自第31次訂貨起，零售商的需求增加，訂貨間隔服從198 的指數分布，即平均每0.51小時有一大米訂貨需求。

由于采樣間隔的差值越大、VSI CQC-r圖的檢測效果越好，取h=(0.1,1.0,1.9)。設置誤報率T=0.002 7，形狀參數r=3，使用VSI CQC-3圖對訂貨間隔進行監控，由式（16）可計算VSI CQC-3 圖的控制限LCL=0.55，LWL=4.81，ML=6.06。每三個訂貨間隔的數據見表3，其中前10 個為受控狀態，后10 個為失控狀態。使用VSI CQC-3圖監控的結果如圖4所示。

表3 大米供應鏈中零售商的訂貨間隔Tr

圖4 VSI CQC-3圖監控大米訂貨間隔（h=（0.1，1.0，1.9））

VSI CQC-3 圖的運行中，根據變采樣間隔策略，首次采樣使用了較小的間隔h，且此時統計量位于警戒區，下次采樣也使用h；在第4次采樣使用了h、第3次采樣使用了h。從第10個樣本點之后，訂貨過程發生了偏移，FSI CQC-3圖和VSI CQC-3圖都在第14個樣本點檢測出過程異常。但從過程發生偏移到控制圖報警，FSI CQC-r圖運行了4個小時，VSI CQC-3圖僅運行了3.1小時，檢測出異常的時間縮短了22.5%。檢出下游需求增加時間縮短使貿易公司能更快做出響應，通過增加上游訂貨量、調整物流策略等方式維持供應鏈的正常運行。

6 結語

本文主要描述了Gamma 分布下變采樣間隔的VSI CQC-r圖的設計，并利用平均報警時間ATS分析了VSI CQC-r圖的性能。研究發現，過程偏移相同時采樣間隔的差值(h-h)越大，或形狀參數和采樣間隔相同時過程偏移越大，變采樣間隔策略對CQC-r圖的改進越大。同時發現調節參數組合可以使不同參數的圖表達到相近的效果，提高使用靈活性。通過進一步分析發現，r 的增大使VSI CQC-r 圖能更快檢測出大偏移，但對小偏移的檢測速度下降。

由于VSI CQC-r圖的性能受形狀參數、過程偏移和采樣間隔的共同影響，實際應用中對偏移范圍的估計對圖表參數的選擇有指導作用。如何估計過程參數，將VSI CQC-r圖應用于參數未知或分布未知的過程也可進一步研究。同時本文的控制圖設計僅考慮了統計性能，可以考慮設備故障的經濟性設計能提高控制圖的綜合效益。