一堂新授課的教學設計探究
——直線與圓的位置關系

徐紅峰

(江蘇省揚州市寶應中學 225899)

在我們學校的“成才杯”教學大賽中，通過課題《直線與圓的位置關系》第一課時，兩位骨干教師展示了自己的教學風采.教學設計各有自身的特點，但也存在一些差異.教學設計的優劣對教學質量的提高、學生思維能力的培養、學生積極性的調動具有重要意義.在新課程標準實施的今天，如何進行教學設計？本文主要從教學設計的角度進行了一些探索.

1 本課內容解讀及教學目標制定

由于我們學校是江蘇省重點中學，是全縣最好的生源，學生基本具有處理簡單數形結合問題的能力.本節課的核心內容是如何借助直線方程和圓的方程判斷直線和圓之間的位置關系，如何考慮由形變到數？事實上，這也是本節課的難點.直線與圓的位置關系的內容也包含了豐富的數學思想，使學生能夠感受分析研究的一般過程，反映坐標思維，深刻理解代數的重要性，進一步體驗數形結合的思想，從數與形的角度分析解題的思維過程.依據上面的解讀制定如下教學目標和教學重難點.

(1)知識目標：理解直線與圓的三種位置關系；掌握用圓心到直線的距離d與圓的半徑r比較，以及通過方程組解的個數判斷直線與圓的位置關系的方法.

(2)能力目標：通過對直線與圓的位置關系的探究活動，經歷知識的建構過程，培養學生獨立思考、自主探究、手動實踐、合作交流的學習方式；強化學生用坐標法解決幾何問題的意識，培養學生分析問題和靈活解決問題的能力.

(3)素養目標：通過對本節課知識的探究活動，加深學生對坐標法解決幾何問題的認識，從而領悟其中所蘊含的數學思想，體驗探索中成功的喜悅，激發學習熱情，養成良好的學習習慣和品質，培養學生的創新意識和科學精神.

(4)教學重點：直線與圓的三種位置關系及其判定方法.

(5)教學難點：用代數方法探求直線與圓的位置關系的過程.

2 教學環節

2.1 方案一

2.1.1 創設情境

【情景導入】(展示日出的動圖)白居易在詩中描寫道：“日出江花紅勝火，春來江水綠如藍”，它生動地描繪了日出的絢麗景象.大家有沒有想過，在日出的過程中，其實也蘊含了有趣的數學知識.

問題1 如果我們把太陽近似看作一個圓，海天交線看做一條直線，請大家觀察一下，在日出的過程中，體現了直線與圓的哪些位置關系？

2.1.2 知識回顧

問題2 (呈現直線與圓的三種位置關系的圖象)對于這三種位置關系，圖象呈現出什么樣的幾何特征呢？在初中，我們是怎么判斷直線與圓的位置關系的？

問題3 除了公共點個數的不同，我們還能直觀地看到，從相交到相離，圓和直線的“距離”在“變遠”，如何從這個角度來刻畫直線與圓的位置關系呢？

問題4 這兩種判定方法都是從幾何特征來認識直線與圓的位置關系，前面我們學習了直線和圓的方程，已知直線和圓的方程，如何判斷直線與圓的位置關系呢？下面，我們將通過具體例子來進行研究.

2.1.3 探究典例

例1 已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓:x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.

方法總結直線與圓位置關系的判定：

位置關系相交相切相離公共點個數2個1個0個判斷方法幾何法:設圓心到直線的距離為d=|Aa+Bb+C|A2+B2dr代數法:由Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2,{消元得到一元二次方程,可得方程的判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0

求直線與圓相交時弦長的兩種方法：

圖1 圖2

例2 過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l，求切線l的方程.

2.1.4 課堂練習

已知圓C：(x-2)2+(y-3)2=4外有一點P(4，-1)，過點P作直線l.

(1)當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；

(2)當直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．

2.1.5 課堂小結

(1)判斷直線與圓的位置關系.(幾何法、代數法)

(2)求直線與圓相交時的弦長.(幾何法、代數法)

(3)求過某一點的圓的切線方程.(點在圓上、點在圓外)

2.2 方案二

2.2.1 創設情境

問題1一艘輪船正沿著南偏西30°的方向直線航行時，接到氣象預報：就在此刻位于輪船的正南方100m處有個旋渦，它的影響范圍是半徑為20m的圓形區域，問如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到旋渦的影響？(假設旋渦沒有移動)

2.2.2 概念深化

問題2請你回憶初中平面幾何知識，直線與圓的位置關系有哪些？

(課件)

2.2.3 小試牛刀

例1試確定下列直線與圓的位置關系：

(1)直線m:x=2; 圓C:x2+y2=4;

(2)直線m:x=-1; 圓C:x2+y2=4;

(3)直線m:y=4; 圓C:x2+y2=4.

問題3怎樣判斷直線與圓的位置關系？這個過程中蘊含著哪些數學思想方法？

問題4回到剛上課時的例題，解決引例提出的問題.

2.2.4 變式引申

例3已知直線l：y=x+b與圓C：x2+y2=4，求當b為何值時，圓與直線有兩個公共點？只有一個公共點？沒有公共點？

變式1：將圓C：x2+y2=4加條件x≥0；

變式2：將圓C：x2+y2=4加條件y≤0；

變式3：將變式2中的直線l改為y=b(x+4)；

變式4：將變式3中的直線l改為y=b(x+4)+4

2.2.5 方法鞏固

例4已知直線l：3x+y-6=0，圓C：x2+y2-2y-4=0.

(1)判斷直線l與圓C的位置關系；若相交，求出交點坐標.

(2)如果直線l與圓C相交，試求出弦長.

問題5上述例題每個問題能找到幾種方法求解？每種方法的依據是什么？體現了什么數學思想方法？

2.2.6 總結歸納

問題6請梳理一下本節課的內容，可以從知識、技能、數學方法、數學經驗等方面進行？此外你從其他同學那里又學到了什么，以后的學習過程中需要注意什么？

2.2.7 拓展思考

直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的相交弦長公式？

3 方案的對比研究

方案一中問題1的設計主要讓學生知道，直線與圓的位置關系在現實生活中有非常多的實例，通過日出的圖象來引入本節課的內容，直觀且自然，讓學生體會到數學是源于實際生活的.通過回顧初中時判定直線與圓位置關系的方法，調動學生原有的知識經驗，在定性描述的基礎上，讓學生思考如何定量刻畫，從而引出本節課的主要內容.通過對例2的探究，掌握求過圓外一點的圓的切線方程的兩種方法，再通過變式將問題進行拓展，總結出點在圓外、點在圓上和點在圓內的情況.通過課堂練習，運用本節課所學知識來解決一些簡單的與直線與圓位置關系相關的問題(求切線方程、求弦長)，檢測學生對知識的理解，鞏固所學內容.總結本節課所學內容，數形結合，讓學生形成自己的知識框架和結構.方案二的情境創設，說明數學源于生活，可以建模轉化為數學問題來解，引出今天所學知識解決這個問題的必要性.問題2使學生回憶初中的數學知識，培養抽象概括能力.例題1訓練意圖是在形成方法前，先讓學生初步體會如何判斷直線與圓位置關系，為形成方法做準備.例題2從“形”和“方程”的角度，類比求交點坐標和點到直線距離公式.例題3讓學生體會兩種解決直線與圓的位置關系方法的利弊，在做題中進行適當的選擇.通過變式再一次感受數形結合的解題技巧和魅力所在，進一步深化“數形結合”的數學思想.例題4體會判斷直線與圓的位置關系的思想方法，關注量與量之間的關系.使學生再一次熟悉判斷直線與圓的位置關系的基本步驟.提高對數學思想方法的理解和運用.最后回顧、反思、總結形成知識體系.

學校通過教學大賽，主要讓教師要明確，教學的設計要充分體現教學目標分層設計、教學環節要分步遞進.基于新的課程標準，新教材內容、新的學情基礎上精準設計教學目標，并用問題串的形式層層遞進，讓所有學生積極參與到課堂中來，師生一同勾勒出有靈魂的知識體系.大賽落下帷幕，大賽引發思考還在繼續，只有不斷反思和總結并改進，才能真正把優秀的教學設計落實到實處，學生在課堂有真收獲，教師在教學中有真長進，師生共同提高.