“雙減”背景下 讓實(shí)驗(yàn)教學(xué)走進(jìn)中職數(shù)學(xué)課堂
——中職數(shù)學(xué)圓中最值問(wèn)題初探

謝小云

(福建省武平職業(yè)中專(zhuān)學(xué)校 364399)

當(dāng)下，國(guó)家大力發(fā)展職業(yè)教育，教師面對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣普遍不高的中職學(xué)生，遇到了很大挑戰(zhàn)，為了提高課堂效率，提高學(xué)生動(dòng)手能力、思維能力、探究能力，本人用實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì).日常教學(xué)中，我們常常把圓看作是靜態(tài)的，如果把動(dòng)點(diǎn)放在圖形上，靜態(tài)圓就變成動(dòng)態(tài)圓，這樣就構(gòu)成了栩栩如生的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生樂(lè)于探究，教學(xué)方法也由傳統(tǒng)的滿堂灌教學(xué)法變成了研究性學(xué)習(xí).

1 點(diǎn)與圓的最值問(wèn)題探究

實(shí)驗(yàn)一：已知圓C：(x-4)2+(y-2)2=1及點(diǎn)P(-1，0)，在圓C上求一點(diǎn)A，使AP最長(zhǎng)或最短.

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆請(qǐng)A外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值求法，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力.

實(shí)驗(yàn)用到的公式：兩點(diǎn)間距離公式.

實(shí)驗(yàn)教具：細(xì)線、直尺、A4紙、圓規(guī)、圖釘.

實(shí)驗(yàn)方法：讓學(xué)生在A4紙上畫(huà)出圓C及點(diǎn)P位置，用圖釘把細(xì)線的一端固定在P點(diǎn)，拉直直線，讓另一端點(diǎn)A在圓C上移動(dòng)，注意觀察線段PA長(zhǎng)度的變化并測(cè)出PA的長(zhǎng)度.

實(shí)驗(yàn)圖像：動(dòng)點(diǎn)A以線段PC與圓交點(diǎn)D為出發(fā)點(diǎn)順時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)一周，以動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為橫坐標(biāo)，PA長(zhǎng)度為縱坐標(biāo)畫(huà)出圖像.

實(shí)驗(yàn)誤差及分析：所作的圖形不準(zhǔn)確以及肉眼觀察與真實(shí)數(shù)據(jù)差異.

圖1 圖2

實(shí)驗(yàn)結(jié)論及分析：如圖1，連結(jié)線段PC與圓C相交于點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)B是圓上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則PB+BC≥PC=AC+PA，因?yàn)閳A的半徑相等即AC=BC,所以PB≥PA，此時(shí)PA最短；如圖2，延長(zhǎng)線段PC交圓C于點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)D是圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，連結(jié)CD及PD，在△PCD中，PC+CD≥PD，又因?yàn)镃D=CA，所以PC+CA≥PD即PA≥PD，此時(shí)PA最長(zhǎng).

通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)教學(xué)，學(xué)生直觀形象地得出圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值問(wèn)題與圓心和半徑有關(guān)，即PAmax=PC+r，PAmin=PC-r(r為圓C的半徑)，面對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的中職學(xué)生，圓的最值問(wèn)題既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)又往往是會(huì)考考點(diǎn)，教學(xué)時(shí)讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，可起到事半功倍的效果.

2 直線和圓的最值問(wèn)題探究

實(shí)驗(yàn)二：已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=1，直線L：y=x+5,求圓上一點(diǎn)A到直線L的距離最大值和最小值.

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模鹤寣W(xué)生掌握?qǐng)A上一點(diǎn)P(x0,y0) 到直線距離最值求法及轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想.

實(shí)驗(yàn)用到的數(shù)學(xué)公式：點(diǎn)到直線的距離公式.

實(shí)驗(yàn)誤差分析：所作的圖形不準(zhǔn)確以及肉眼觀察與真實(shí)數(shù)據(jù)差異,另外三角板起始刻度不在邊上，要把無(wú)刻度這部分重新計(jì)算也增加誤差.

實(shí)驗(yàn)用具：A4紙、三角板

實(shí)驗(yàn)過(guò)程及方法：讓三角板的一條直角邊緊靠直線L，另一條直角邊與圓C相交于點(diǎn)A，與直線L相交于點(diǎn)P，仔細(xì)觀察PA長(zhǎng)度的變化規(guī)律.

實(shí)驗(yàn)圖像：當(dāng)直角邊過(guò)圓心與圓相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)一周，以動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為橫坐標(biāo)，PA長(zhǎng)度為縱坐標(biāo)畫(huà)出圖像.

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：如圖3，當(dāng)三角板的另一條直角邊過(guò)點(diǎn)C時(shí)，線段PC的延長(zhǎng)線與圓相交于點(diǎn)A，此時(shí)PA最長(zhǎng).如圖4，當(dāng)線段PC與圓相交于點(diǎn)A時(shí).此時(shí)PA最短，即PAmax=|PC|+r,PAmin=|PC|-r(r為圓C的半徑)，圓上一點(diǎn)到直線L的距離的最值仍然與圓心和半徑有關(guān).

圖3 圖4

實(shí)驗(yàn)分析：如圖4，設(shè)點(diǎn)D是圓上異于A、B點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連結(jié)PD、DA、DC，在三角形PCD中PD+DC≥PC，又因?yàn)镻C=PA+AC，DC=AC所以PD≥PA，如圖3，設(shè)點(diǎn)D是圓上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn),在三角形PCD中PC+CD≥PD,又因?yàn)镃A=CD，所以PC+CA≥PD,即PA≥PD,結(jié)論成立.

實(shí)驗(yàn)改進(jìn)與啟發(fā)：可以自制三角板，刻度從邊上開(kāi)始計(jì)算.

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模鹤寣W(xué)生掌握過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短弦長(zhǎng)求法及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想.

實(shí)驗(yàn)用具：A4紙、三角板、圖釘、直尺

實(shí)驗(yàn)過(guò)程及方法：讓直尺中某一點(diǎn)緊靠P點(diǎn)，繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)直尺一周，與圓相交于AB，觀察AB長(zhǎng)度的變化規(guī)律.

實(shí)驗(yàn)誤差分析：所作的圖形不準(zhǔn)確以及肉眼觀察與真實(shí)數(shù)據(jù)差異,另外，A、B兩點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，給測(cè)量帶來(lái)難度.

實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新：鼓勵(lì)學(xué)生大膽改進(jìn)實(shí)驗(yàn)，容易測(cè)出AB長(zhǎng)度.

3 圓與圓的最值問(wèn)題探究

實(shí)驗(yàn)四：“將軍飲馬”問(wèn)題，已知點(diǎn)C1(3,4)、C2(-2,2)，在x軸上找一點(diǎn)P，使|PC1|+|PC2|最短.

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模鹤寣W(xué)生掌握直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離最短求法及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想.

實(shí)驗(yàn)用到的公式：兩點(diǎn)間距離公式及對(duì)稱(chēng)數(shù)學(xué)思想.

實(shí)驗(yàn)用具：A4紙、圖釘、細(xì)線、直尺

實(shí)驗(yàn)過(guò)程及方法：在A4紙上畫(huà)出所需圖形，用圖釘把細(xì)線一端固定于C1點(diǎn)，細(xì)線上一動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，另一點(diǎn)C2也在細(xì)線上移動(dòng)，仔細(xì)觀察|PC1|+|PC2|的長(zhǎng)度變化.

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：如圖5，過(guò)點(diǎn)C2作關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C0，連結(jié)C0C1與x軸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).

圖5 圖6

分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果：如圖6，設(shè)點(diǎn)P0是x軸上任意一點(diǎn)，因?yàn)閤軸是C2C0的中垂線，所以C2P0=C0P0,C2P=C0P,即PC2+PC1=PC0+PC1=C0C1，而P0C2+P0C1=P0C0+P0C1≥C0C1,所以P0C2+P0C1≥PC2+PC1，實(shí)驗(yàn)結(jié)論是成立的.

實(shí)驗(yàn)五：如圖7，已知點(diǎn)C2(-2，2)及⊙C1：(x-3)2+(y-4)2=1，點(diǎn)A是⊙C1上動(dòng)點(diǎn)，在x軸上找一點(diǎn)P，使|PA|+|PC2|最小.

實(shí)驗(yàn)用具：硬紙殼兩張，圖釘，膠水，細(xì)線，圓規(guī)，三角板，滑輪，大頭針.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：用硬紙殼制作一個(gè)圓及凹形紙槽.

實(shí)驗(yàn)過(guò)程與方法：如圖7，在硬紙殼上用大頭針固定坐標(biāo)軸及圓位置，紙槽固定在x軸，細(xì)線穿過(guò)滑輪一端固定在⊙C1上，另一點(diǎn)C2也在細(xì)線上，滑輪在紙槽上運(yùn)動(dòng)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圓，仔細(xì)觀察|PC1|+|PC2|的長(zhǎng)度變化.

圖7 圖8

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模鹤寣W(xué)生掌握在直線上找一點(diǎn)到一定點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)距離最短求法及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想.

實(shí)驗(yàn)誤差分析：所作的圖形不準(zhǔn)確以及肉眼觀察與真實(shí)數(shù)據(jù)差異,另外，A、P兩點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，給測(cè)量帶來(lái)難度.

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：如圖8，過(guò)點(diǎn)C2作關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C0，連結(jié)C0C1與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)|PC2|+|PC1|最小，所以|PC2|+|PA|=|PC2|+|PC1|-r.

分析實(shí)驗(yàn)結(jié)論：“以靜制動(dòng)”分析問(wèn)題，首先考慮在x軸上找一點(diǎn)P1使|PC1|+|PC2|最短.此時(shí)A點(diǎn)就是PC1與⊙C1的交點(diǎn)，從而得出(|PC2|+|PA|)min=|PC2|+|PC1|-r.

實(shí)驗(yàn)改進(jìn)：本實(shí)驗(yàn)較復(fù)雜，學(xué)生可以結(jié)合所學(xué)專(zhuān)業(yè)充分發(fā)揮想象空間，做出實(shí)用、精美教具，這樣數(shù)學(xué)與所學(xué)專(zhuān)業(yè)就結(jié)合在一起了.

實(shí)驗(yàn)六：如圖9，已知⊙C1(x-3)2+(y-4)2=1，圓C2：(x+2)2+(y-2)2=1,A、B兩點(diǎn)分別為⊙C1及⊙C2上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上找一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小.

本實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生親自動(dòng)手制作，發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.

圖9 圖10

實(shí)驗(yàn)分析:如圖10，首先考慮在x軸上找一點(diǎn)P，使|PC1|+|PC2|最短,則|PA|+|PB|=|PC1|-r1+|PC2|-r2.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是探究問(wèn)題本質(zhì)非常有效的途徑.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究過(guò)程要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從現(xiàn)象到本質(zhì)，在課堂上我們應(yīng)該勤于動(dòng)手，敢于動(dòng)腦，勇于探究，大膽創(chuàng)新，在減負(fù)的背景下讓實(shí)驗(yàn)教學(xué)走進(jìn)課堂，提高學(xué)生核心素養(yǎng)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān).