流動性沖擊和信息風險條件下的知情交易策略

馬 丹,房振明,王春峰

(天津大學 管理與經濟學部,天津 300072)

價格發現是資本市場的基本功能,反映了信息通過交易融入資產價格的過程,與投資者的訂單策略和交易行為密切相關。對投資者行為與價格發現效率的研究一直是市場微觀結構領域的重點。近年來,隨著高頻交易和算法交易的發展和應用,訂單策略的制定與優化問題再次引起學術和實業兩界的廣泛關注。面對復雜多變的市場狀態和信息分布,投資者應如何動態調整交易策略以提高信息交易收益? 投資者的信息交易行為又將如何影響市場出清和價格效率? 對這些問題的探究和回答不僅能夠從投資者行為的角度揭示信息傳導和價格發現過程,而且還能夠為投資者訂單策略的制定和優化提供理論依據。

基于期望收益最大化的目標約束,降低訂單執行成本是提高交易收益的有效途徑。在流動性有限的非完美市場中,與固定費率的交易手續費相比,訂單執行過程中伴隨著的價格沖擊已成為交易成本的主要組成部分。尤其是對于交易規模較大的機構訂單而言,急劇上升的價格沖擊甚至會引起訂單出現“執行陷阱”[1-2]。此時,將交易需求進行拆分和延遲以降低由瞬時流動性引起的價格沖擊成本是連續交易市場中常見的訂單策略[3-4]。對于知情交易者而言,拆分訂單還有助于隱藏交易動機,擴大信息交易優勢[5-7]。因此,流動性沖擊的存在促使投資者采取相對保守的訂單策略。但當投資者能夠對市場信息進行學習和競爭時,知情交易者的私有信息存在被提前揭示的可能,延遲交易訂單面臨著失去信息優勢的風險。Foucault等[8]認為知情交易行為可以分為兩類:一類是基于更為精確的私有信息,另一類是基于更快的交易速度。因此,當信息不確定性較高時,知情交易者往往采取更加激進的交易策略,盡快執行訂單以實現其私有信息的價值。可見,在流動性沖擊和信息風險并存的市場中,知情交易者在訂單規模和交易時機的選擇上面臨著兩難選擇:出于控制交易沖擊成本和隱藏私有信息的目的,投資者傾向于拆分訂單,保守交易;但同時,投資者不得不承擔延遲交易訂單的信息風險。因此,在連續交易市場中,如何分配跨期訂單以平衡流動性沖擊成本和信息風險是投資者訂單策略制定和優化的主要目標,也是從交易行為的角度理解價格發現過程的關鍵。

對價格沖擊與訂單規模之間關系的刻畫是研究交易成本與訂單策略優化問題的起點。Kyle[9]認為信息是價格沖擊的主要來源,且決定了資產價格的長期變動方向。基于信息均勻分布的假設,當信息含量是訂單規模的線性函數時,價格沖擊與訂單規模之間的關系也是線性的。但越來越多的實證研究表明,訂單規模與價格沖擊之間的關系表現出明顯的非線性特征,如平方根關系特征[10]、指數函數關系特征[11]以及對數函數關系特征[12]等。這主要是由于除了信息沖擊外,交易對價格的沖擊成分中還包括影響價格短期波動的流動性沖擊部分[13-14]。Berkowitz等[15]認為降低流動性沖擊是投資者控制訂單執行成本的主要途徑,并在最小化交易成本的目標約束下提出了VWAP 交易策略。在此基礎上,學者們進一步豐富了對有限流動性市場中的交易成本控制和訂單策略優化問題的研究[16-21]。綜合來看,現有文獻對沖擊成本控制和訂單策略優化的研究側重于對價格沖擊函數形式的刻畫以及最小化交易成本條件下的訂單拆分方面,鮮有考慮延遲交易訂單所面臨的信息風險問題。而對于信息不確定市場中的訂單策略問題,大多文獻是在忽略交易沖擊成本的前提假設下研究特定信息分布條件下的策略選擇,如訂單類型和激進程度等[22-24],針對流動性沖擊和信息風險條件下的知情交易策略問題還需進一步探索。

基于上述分析,本文立足于連續交易市場理論框架[9],放松對于流動性沖擊和信息風險的假設,對兩者雙重制約下的市場出清和知情交易策略特征進行理論分析和數值模擬,從交易行為的角度揭示市場價格發現過程。在現有文獻中,與本文較為類似的是同時考慮交易沖擊成本和機會成本時的訂單策略制定和優化問題[25-27]。但在沖擊成本函數形式的假設和目標約束條件的設定上有所不同。一方面,本文假設流動性沖擊是訂單規模的非線性函數,這與實證研究的結論較為一致;另一方面,相對于最小化交易成本,本文以最大化期望收益作為知情交易者的目標約束,這與信息風險條件下投資者的決策目標更為符合。

1 模型設定

假設在兩期連續交易市場中存在單一風險資產,初始價格為p0,期末價格為完全信息價值v,且v服從N(p0,Σv)的正態分布。對于市場所有的參與者而言,風險資產的初始價格、當前價格以及信息價值分布都是先驗信息。投資者在每一期初提交交易需求,連續兩次交易之后,市場在第2 期末實現出清。

市場存在3類投資者:知情交易者、噪音交易者和競爭性做市商。當t=0時,知情交易者獲得關于風險資產的價值信息v,并分別在第1期初和第2期初提交交易需求x1和x2。噪音交易者的需求ut隨機,且服從N(0,Σu)的正態分布。Σu是噪音交易波動。在第t期初,做市商觀測到市場的總需求yt=xt+ut,但無法區分來自哪一類交易者。根據總需求yt,做市商調整信念分布并據此進行定價pt,平衡市場需求。在第2期末,市場實現出清,資產價格為完全信息價值v。類比于訂單驅動市場,知情交易者和噪音交易者可以看作是市價訂單交易者,只決定t時刻的訂單規模xt,并不限定訂單的執行價格,是流動性需求者;做市商相當于限價訂單交易者,以價格pt平衡市場需求,是流動性供給者。

知情交易者的交易需求xt不僅是私有信息v的函數,同時也受制于訂單執行過程中的流動性沖擊和信息風險。對于流動性沖擊,假設沖擊成本是訂單規模的函數K(x1,x2),且只與投資者的期望收益有關,不影響資產的期末出清價值。且流動性沖擊函數的分布是已知信息,投資者可以通過策略性地調整訂單規模,拆分交易需求來控制流動性沖擊成本。學者們從理論和實證的角度進行了多種嘗試和探索[10-12]來刻畫流動性沖擊函數的分布。總之,流動性沖擊函數需滿足如下兩個條件:①是訂單規模的非線性單調增函數,即f(x1)≤f(x2),若x1≤x2。②投資者可以通過訂單拆分來降低流動性沖擊成本,即f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)。本文假定流動性沖擊是訂單規模的二次函數,兩期交易的流動性沖擊函數分別為:聯合分布函數為:K(x1,x2)=a(x1+x2)2,a為流動性沖擊系數,反映了市場的流動性沖擊水平,a≥0。

信息風險ρ指的是在投資者在第2期初提交交易需求之前,私有信息被揭示的可能性,且滿足0≤ρ≤1。信息風險越高,延遲交易訂單的信息損失越大,獲利的可能性較低。當ρ=0時,信息不存在被提前揭示的風險,延遲交易訂單的期望收益不受影響;當ρ=1時,信息被提前揭示,市場在第1期末即實現信息價值,第2期初提交的訂單將無法獲利。此外,信息風險ρ還反映了投資者對于信息的學習和競爭,競爭越激烈,信息被提前揭示的可能性越大,信息風險越高。

市場的交易出清規則包括如下兩個方面:一方面,資產價格滿足信息有效性約束,以確保市場的價格發現功能。在上述模型設定中,做市商在觀測到市場總需求yt的基礎上給出成交價格pt,因此,信息有效性要求資產價格是信息價值的條件期望,即:p1=E[v|y1],p2=E[v|y1,y2]。另一方面,基于期望收益最大化的目標約束,在第1期知情交易者交易決策為:x1=X(v,a,ρ),約束于私有信息v、流動性沖擊a和信息風險ρ;在第2期,信息必然在期末揭示,不存在信息風險ρ的約束,交易決策僅受私有信息v和流動性沖擊a的影響,即x2=X(v,a)。

當t=1時,知情交易者的交易收益目標函數為

式中,3項分別為第1期的期望收益、第2期的期望收益以及第1期的流動性沖擊成本。

當t=2 時,知情交易者的交易目標如下式所示:

式中,兩項分別為第2期的期望收益和流動性沖擊成本。

2 價格發現與市場出清

基于經典的連續交易市場出清模型[9],本文拓展了對市場流動性供給水平和信息時效性的假設,研究流動性沖擊成本和信息風險條件下的知情交易決策和價格發現過程。在兩期連續交易市場的初始設定中,本文假設流動性沖擊成本是訂單規模的函數,只影響知情交易者的預期收益,并不影響資產的出清價值。信息風險反映的是在第1期末信息被揭示的可能性,與第2期訂單的期望收益有關,影響投資者在交易期初的延遲訂單決策。而在第2期末,市場實現出清,信息得以揭示,資產價格等于完全信息價值。因此,流動性沖擊和信息風險只影響投資者的交易量和跨期訂單分配,并不決定資產的定價規則。當兩者外生給定時,模型所呈現的市場出清過程與Kyle[9]的兩期交易模型基本一致,市場存在線性均衡,由此提出定理1。

定理1已知p0、Σv、Σu、a和ρ時,存在滿足如下約束的一組常數α1、β1、α2、β2、λ1和λ2,使得市場存在線性均衡,即

證明假設存在一組常數α1、β1、α2、β2、λ1和λ2,滿足線性均衡條件:

首先,將期望收益的約束條件代入式(2),知情交易者在第2期的期望收益可以變形為如下形式,此時使得式(9)取最大值的x2即為式(2)的解,

V2(x2)是x2的一元二次函數,存在最大一階導數的條件為:

二階導數條件為:λ2+a>0,第2期的最大期望收益為

式中,γt=λt+a。V1(x1)存在最大一階導數的條件為

二階導數條件為:γ1>(1-ρ)(γ1+a)2/(4γ2)。由x1=α1+β1v可知,

同時,結合x2=α2+β2v可知:

其次,基于價格的信息有效性約束,第1期的價格偏離可以表示為

第2期的價格偏離可以表示為

因此,已知p0、Σv、Σu、a和ρ,且滿足

的條件下,市場均衡滿足由式(11)～(16)組成的方程組,定理1得證。

這是一種遞歸線性均衡,當參數p0、Σv、Σu、a和ρ外生給定時,α1、β1、α2、β2、λ1和λ2存在唯一數值解。上述市場均衡的經濟含義是,在同時考慮流動性沖擊和信息風險的連續交易市場中,知情交易者在最大化期望收益約束下的最優訂單策略是一種均衡策略。其中,β1和β2可以理解為知情交易者的信息交易強度。根據式(6),當a>0時,β2是β1的函數,兩者之間存在相關性。這說明,在考慮流動性沖擊的情況下,知情交易者將策略性的跨期分配交易需求,這從理論上解釋了連續交易市場中知情交易者的拆分行為。λ1和λ2可以理解為交易的信息沖擊系數,反映的是價格對信息交易的揭示,直接決定價格的動態變化過程。γt=λt+a反映的是知情交易沖擊的總成本,包含信息沖擊λt和流動性沖擊a兩部分,相對于信息沖擊而言,流動性沖擊成本可以通過策略性跨期交易來控制,只影響知情交易者的跨期訂單分配,不影響資產的線性定價規則。

3 知情交易策略特征

資本市場的價格發現過程是信息通過交易融入資產價格的過程,因此,價格發現效率與知情交易者的訂單策略和行為特征密切相關。對于連續交易市場中的市價訂單而言,交易策略主要體現在交易規模和交易時機兩個方面。在流動性沖擊和信息風險不可忽略的市場條件下,如何分配跨期訂單是投資者訂單策略制定和優化的核心問題。對此,參考文獻[28]中對跨期訂單策略的研究,從平均交易量、訂單拆分的均勻程度以及交易延遲3個角度,對特定市場狀態下的知情交易策略特征進行理論分析。

首先,定義知情交易者的平均交易量為兩期交易規模的平均值,即

定理2知情交易者的平均交易量與信息風險正相關,與流動性沖擊成本負相關。

定理2的經濟含義是,當信息風險不可忽略時,知情交易者通常會提高期初的交易量,以盡可能地利用其信息優勢進行交易。信息風險越高,知情交易訂單越激進,平均交易量越高。但同時,由于流動性沖擊成本是訂單規模的函數,因而較高的沖擊成本會抑制投資者的交易需求,進而降低平均交易量。另外,定理2還反映出知情交易者的兩難選擇:一方面,為應對可能發生的信息風險,知情交易者需提高交易期初的交易量;另一方面,大量的交易伴隨著較高的流動性沖擊成本,因而知情交易者需降低交易期初的交易量,將部分訂單推遲交易,以降低交易沖擊。因此,知情交易者的訂單策略是同時考慮流動性沖擊和信息風險的條件下最優化策略。

在連續交易市場中,將訂單進行拆分,平滑交易規模是常見的交易策略,這不僅可以利用市場的流動性降低交易沖擊,還有助于知情交易者隱藏其信息交易行為,以保留信息優勢。因此,訂單拆分的均勻程度也是知情交易者訂單策略的重要特征。對此,本文定義衡量跨期訂單規模差異性的指標

值域為[0,1]。若投資者不拆分訂單,交易集中于其中一期完成,則Split=0;若平均拆分訂單,則Split=1;Split越大,訂單被拆分得越均勻。將Split對a求偏導,并將附錄A 的結論代入,化簡可知,流動性沖擊成本越高,知情交易者的訂單拆分得越均勻。定義代入并化簡可知:Yρ=0<0,Yρ=1>0。結合,因此,存在最小值,即隨著ρ的增加,與之間的差距先變小后變大,跨期訂單拆分的均勻程度先提高后降低。于是,有定理3。

定理3當不考慮信息風險時,流動性沖擊成本越高,知情交易訂單拆分得越均勻;當不考慮流動性沖擊成本時,隨著信息風險的提升,知情交易訂單拆分的均勻程度先提高后降低。

定理3的經濟含義是,在連續交易市場中,為降低成交時的流動性沖擊成本,投資者會策略性地拆分訂單跨期交易,以平滑訂單規模。且單位交易量的流動性沖擊成本越高,跨期訂單被拆分得越均勻。但當信息風險不可忽略時,投資者在進行跨期訂單分配時,還需考慮延遲交易的可獲利性。較高的流動性沖擊成本會使得Split向更大的方向移動,而當信息風險高于某一臨界值時,投資者往往將更多的交易需求在第1期完成,進而擴大兩期訂單規模的差異性,使得Split向更小的方向移動。因此,當同時考慮流動性沖擊和信息風險時,兩者對Split的相反方向作用,使得存在一組最優的參數(a*,ρ*),由此使得訂單拆分的均勻程度最大。

交易延遲是與訂單拆分相伴而來的問題。在信息完全壟斷的市場中,知情交易的期望收益只與信息交易規模有關,不受交易時機的影響。然而,當投資者具有信息學習和競爭能力時,跨期訂單策略的制定不得不考慮延遲交易所面臨的信息風險。對此,本文從延遲訂單規模占比的角度定義交易延遲指標,

Delay是處于[1,2]之間的數,Delay越接近1,訂單越集中于第1期,交易延遲越小;Delay越接近2,訂單越集中于第2期,交易延遲越大。結合

因此,有定理4。

定理4信息風險越高,知情交易者的交易延遲越小。

定理4表明,隨著信息風險ρ的提高,投資者更傾向于將訂單集中于交易初期完成,以降低交易延遲,控制信息風險。

綜合上述分析,知情交易者的訂單策略是考慮流動性沖擊成本和信息風險條件下的均衡策略,隨著流動性沖擊大小和信息風險水平的變化,平均交易量、訂單拆分的均勻程度以及延遲交易占比表現出不同的特征。但值得特別指出的是,在投資實踐中,根據私有信息的性質以及交易機制的不同,知情交易者的行為約束和策略特征也會存在差異。例如在賣空交易受到限制的市場中,當私有信息是利好消息時,知情交易者策略性地提交買入需求,既想拆分訂單以降低沖擊并隱藏信息,又想盡快交易以控制信息風險,其行為特征與上述理論分析基本一致。然而,面對利空的私有信息,知情交易者傾向于盡可能快地執行賣出訂單,此時信息風險是主要考慮的因素,流動性沖擊成本可以忽略不計,即0≤ρ≤1,且a=0。這可以看作是上述理論模型的一種特例情況。就交易量而言,在資產價格波動和噪音交易水平給定的情況下,知情交易者的交易規模只與信息風險有關,同時結合可知,考慮信息風險時(ρ>0)知情交易者的交易量高于無信息風險時(ρ=0)的交易量,且信息風險越高,交易初期的交易量越大。就訂單延遲程度而言,

訂單的延遲程度能夠反映出交易初期與交易末期的交易量占比,信息風險對交易延遲的影響通過反映出來,信息風險越大,越大,Delay越接近1,交易越集中于交易初期。因此,持有利空信息的知情交易者會在交易初期迅速、大量地提交賣出交易需求,這與Barbon等[29]的實證研究結論相一致,能夠為投資者的恐慌性賣出行為提供理論解釋依據。

4 數值分析

為便于直觀理解,對前文中所描述的市場均衡狀態和知情交易策略特征進行數值模擬,并進一步闡述研究結論。參數的取值范圍如表1所示。

表1 參數的取值范圍

(1)市場均衡狀態特征。根據定理1,當外生變量給定時,市場存在均衡解,且與均衡狀態有關的參數有外生變量決定。結合外生變量的經濟含義,設定資產價值波動為:Σv=50,噪音交易波動為:Σu=3 000,風險資產的初始價格p0=10。通過動態調整流動性沖擊a和信息風險ρ,模擬兩者對知情交易強度(β1,β2)和價格動態規則(λ1,λ2)的影響。數值模擬結果如圖1所示。其中:圖1(a)和圖1(b)呈現了給定a=0.001時市場均衡狀態特征與信息風險之間的關系;圖1(c)和圖1(d)呈現了給定ρ=0.2時市場均衡狀態特征與流動性沖擊之間的關系。

圖1 市場均衡狀態特征與流動性沖擊和信息風險的關系

由圖1(a)和圖1(c)可以看出,流動性沖擊對知情交易者的交易強度有負向作用,信息風險對知情交易者的交易強度有正向作用,兩者具有相反方向的作用力。這與前文的分析一致,即較高的信息風險要求知情交易者采取更加激進的訂單策略,而較高的流動性沖擊成本則要求知情交易者的訂單策略趨向于保守,知情交易者的最優策略是在流動性沖擊和信息風險雙重約束下的均衡策略。由圖1還可以看出,知情交易強度(β1,β2)和價格動態規則(λ1,λ2)是外生變量a和ρ的映射,這也能夠說明在特定的市場狀態下,知情交易者具有最優訂單策略,同時市場存在均衡解。

(2)知情交易策略特征。為描述不同市場狀態下的知情交易策略特征,從平均交易量、訂單拆分的均勻程度和交易延遲3個角度分別進行數值模擬。設定資產價格波動為:Σv=50,噪音交易波動為:Σu=3 000。平均交易量與流動性沖擊和信息風險之間的關系如圖2所示。

圖2 平均交易量與流動性沖擊和信息風險的關系

圖2(a)模擬了當ρ=0,0.5,1時平均交易量與流動性沖擊之間的關系,可以看出,知情交易者的平均交易量隨著流動性沖擊成本的提高而降低。圖2(b)模擬了當a=0,0.001,0.002時平均交易量與信息風險之間的關系,可以看出,平均交易量隨著信息風險的提高而提高。這與定理2相一致,即知情交易者的平均交易量與信息風險正相關,與流動性沖擊成本負相關。

訂單拆分的均勻程度與流動性沖擊和信息風險之間的關系如圖3所示。

圖3 訂單拆分的均勻程度與流動性沖擊和信息風險的關系

圖3(a)模擬了當ρ=0,0.25,0.6時訂單拆分的均勻程度與流動性沖擊之間的關系,可以看出,兩者之間關系的單調性受信息風險ρ的影響。當ρ=0時,訂單拆分的均勻程度隨著流動性沖擊的提高而提高;當ρ=0.25時,隨著流動性沖擊的提高,訂單拆分的均勻程度先上升后下降;當ρ=0.6時,隨著流動性沖擊的提高,訂單拆分的均勻程度隨著流動性沖擊的提高而降低。圖3(b)模擬了當a=0,0.001,0.002時訂單拆分的均勻程度與信息風險之間的關系,可以看出,當a=0時,隨著信息風險的提高,訂單拆分的均勻程度先上升后下降,且隨著a的增加,信息風險對訂單拆分的均勻程度負向作用更加明顯。圖3的數值模擬結果與定理3基本一致,即當不考慮信息風險時,流動性沖擊成本越高,知情交易訂單拆分得越均勻;當不考慮流動性沖擊成本時,隨著信息風險的提升,知情交易訂單拆分的均勻程度先提高后降低。

圖4描述了交易延遲與流動性沖擊和信息風險之間的關系。圖4(a)呈現了當ρ=0,0.5,1時交易延遲與流動性沖擊之間的數值關系,可以看出,交易延遲程度隨著流動性沖擊的提高而降低,且高信息風險能夠加速兩者之間的負向關系,并進一步降低交易延遲。圖4(b)是當a=0,0.001,0.002時交易延遲與信息風險之間的數值關系,可以看出,兩者之間存在接近于線性的負向關系,交易延遲程度隨著信息風險的提高而降低,與定理4一致。

此外,本文還給定流動性沖擊為a=0.01、信息風險為ρ=0.2的條件下,數值模擬了知情交易策略特征與資產價格波動Σv和噪音交易Σu之間的關系(見圖5)。其中:圖5(a)和圖5(b)分別描述了平均交易量隨資產價格波動Σv和噪音交易Σu的變化關系,可以看出,兩者均對平均交易量有正向作用,即較高的資產價格波動以及較高的噪音交易都會促進知情交易者提高交易規模。圖5(c)和圖5(d)分別描述了訂單拆分均勻程度與資產價格波動Σv和噪音交易Σu之間的關系,可以看出,訂單拆分均勻程度隨資產價格波動的提高而降低,隨噪音交易波動的提高而提高。這說明,資產價格波動越高,知情交易者的跨期訂單拆分得越不均勻,訂單規模的差異性越大;市場的噪音交易越高,知情交易者的跨期訂單拆分得越均勻,訂單規模的差異性越小。圖5(e)和圖5(f)分別描述了資產價格波動Σv和噪音交易Σu對交易延遲的影響,可以看出,資產價格波動越高,知情交易訂單的延遲程度也越高,而噪音交易波動越高,知情交易訂單的延遲程度越低。

5 結語

本文基于連續交易市場出清模型,對流動性沖擊和信息風險條件下的市場均衡與訂單策略特征進行了理論分析和數值模擬。研究表明,在特定的市場狀態下,兩期連續交易市場存在均衡解,知情交易者的最優訂單策略對應市場條件下的均衡策略。此外,本文從平均交易量,訂單拆分的均勻程度和交易延遲3個方面刻畫了知情交易者的訂單策略特征。結果顯示,知情交易者的平均交易量隨著信息風險的提升而提高,隨著流動性沖擊成本的提升而降低。訂單拆分的均勻程度與流動性沖擊成本和信息風險之間關系的單調性受兩者之間相對大小的影響,當不考慮信息風險時,流動性沖擊成本越高,知情交易訂單拆分得越均勻;當不考慮流動性沖擊成本時,隨著信息風險的提升,知情交易訂單拆分的均勻程度先提高后降低。信息風險是影響交易延遲的主要因素,信息風險越高,知情交易訂單的延遲越小。研究結論揭示了“市場環境-投資者行為-價格發現”中的信息傳導過程,能夠為通過引導投資者交易行為來改善價格效率提供理論依據,為投資者優化交易決策提供參考。

附錄A

基于定理1所示的市場均衡關系,本部分理論推導市場均衡系數與知情交易約束之間的關系,分析信息風險約束和流動性沖擊約束對各階段期望交易量的影響。

以信息風險約束為例,式(11)中所示β1的表達式可以變形為

令A=2γ2-(1-ρ)(γ1+a),B=4γ1γ2-(1-ρ)(γ1+a)2。

結合市場均衡約束條件,

可知:A>0,B>0,將β1 對ρ求偏導數,并化簡可得

在第1期,α1=-p0β1,知情交易者的交易量為:其中,v服從N(p0,Σv)的正態分布,根據正態分布的性質,若x～N(μ,σ2),則知情交易者在第1期的交易量對信息風險ρ的偏導關系為

可見,知情交易者在第1期的期望交易量與信息風險正相關。

在第2期,市場存在均衡的條件下,

x2服從正態分布,且有:結合模型初始設定,在兩期連續交易模型,信息必然在第2期期末揭示。因此,投資者在第2期的交易決策不存在信息風險ρ的約束,知情交易者在第2期的交易需求x2受私有信息v和流動性沖擊a的影響,即x2=X(v,a)。x2與ρ無關,有:是μx2和σx2的表達式,因此,有

可見,知情交易者在第2期的期望交易量與信息風險無關。