基于自適應事件觸發的復雜網絡的非脆性安全同步控制

李楊,潘榮清

(1.江蘇開放大學教育學院,江蘇 南京 210013;2.南京財經大學應用數學學院,江蘇 南京 210023)

1 引言

復雜網絡是由大量節點構成的一類大規模網絡系統,其中不同的節點代表具有某種特定動力學特性的個體,而邊緣則代表了這些個體之間的關系.最近幾十年,由于網絡化信息技術的快速發展,復雜網絡在物理,醫學,生物網絡和食品網絡等領域得到了廣泛的應用[1-4].因此,研究其動態行為以及相關問題是極具理論和實際價值的.

在諸多問題里,同步問題作為復雜網絡研究中十分重要的一個問題,其普遍存在于各個系統之中,與系統能否正常運行有著緊密的聯系.因此,同步一直是各領域學者關注的熱點[5-8].目前,同步控制的定義很多,如完全同步[9-11],牽制同步[12-13],有限時同步[14-16].本文考慮的同步是驅動-響應系統的同步,其基本原理是驅動系統通過向響應系統傳遞系統信號來使響應系統與之達到同步[17].隨著研究的深入,學者們將驅動-響應系統的同步問題與其他控制問題相結合,得到了很多有意義的結果.例如,文獻[18]研究了耦合復變混沌系統驅動響應系統的復數投影同步.文獻[19]研究了具有耦合時變時滯的復雜網絡驅動響應系統的有限時間混合外同步問題.然而,對于具有隨機動態行為以及時變時滯的非線性復雜網絡網絡系統的驅動響應同步控制還沒有得到充分的研究.因此,利用隨機性分析技術研究復雜網絡系統的同步控制問題是第一個動機.

在科學技術高度發展的今天,復雜網絡系統的規模越來越大,網絡通訊信道中的數據傳輸也越來越頻繁,然而,傳輸信道的帶寬是有限的,這就可能會導致網絡負載以及數據傳輸的擁塞,從而降低系統的運行效率,使系統的穩定受到嚴重的干擾.因此,設計出能在保證系統性能的同時有效降低網絡負荷的機制變得很有必要.當前人們普遍引用事件觸發控制方法來解決負荷問題,其基本思想是預設出觸發約束條件,并以此來判斷當前采樣信號是否需要發送到下一個控制終端,從而減少不必要的信號傳遞.

在現有的文獻中,事件觸發機制的應用已經十分普遍[20-22].例如,在文獻[20]中,基于事件觸發機制,具有固定時滯的復雜網絡狀態估計問題被提出并解決.在文獻[21]中,通過引入分布式事件觸發傳輸策略,考慮時變內部耦合,一類復雜動態網絡系統的指數同步問題得到了討論.然而,事件觸發機制的觸發閾值幾乎都被設計成常數,這意味著其無法隨系統狀態變化而動態調整數值,故節約資源的效率是有限的.為了解決這個問題,包含不定閾值的自適應事件觸發機制被設計了出來[23].隨后,又有很多學者進行了研究并得到了許多有意義的成果[24-27].

另外,考慮到數據交互層無線通道的開放性原則,以及感知層傳感器節點部署的隨機性,信號在網絡中傳輸極有可能受到來自外部的威脅.在威脅網絡安全的各個因素之中,網絡攻擊是最常見也是最具威脅的.網絡攻擊會使系統的信息被盜取,破壞或篡改,也會使系統產生嚴重的時滯以及大量的丟包,從而導致系統內部元件無法正常運行甚至會發出錯誤的信號.因此,系統可能會變得不再穩定,最終癱瘓.近年來,隨著研究的深入,以及相關論文的發表,網絡攻擊在控制領域成為了重點問題[28-30].然而,據作者所知,對于復雜網絡系統的安全同步控制幾乎沒有相關的文獻.因此,更一般的復雜網絡在自適應事件觸發和網絡攻擊下的安全同步控制問題仍然具有挑戰性,有待進一步解決,這也是本研究的另一個動機.

目前,雖然已經有一些關于復雜網絡同步控制問題的研究,但是這些成果基本都是基于傳統的控制器取得的,鮮有基于自適應事件觸發的非脆控制器問題.本文基于上述討論,考慮欺騙攻擊以及隨機動態行為的影響,并結合復雜網絡系統的特征,引入分散式自適應事件觸發傳輸機制,建立具有時滯的復雜網絡驅動響應系統的同步誤差模型,使復雜網絡系統達到所需的同步狀態.

本文以下,Rn表示n維歐氏空間.I表示具有適當維數的單位矩陣.‖·‖表示歐幾里德向量范數.diag{·}代表分塊對角矩陣,而diagn{Xi}則表示diag{X1,X2,···,Xn}.col{X}表示將X按列矩陣的形式書寫,coln{Xi}表示符號X|A=B意思是將矩陣X中的A用B替換掉.E{X}表示隨機變量X的期望值.(t)表示函數V(t)的導數.?表示矩陣的Kronecker積.

表示一個對稱矩陣,其中*表示被隱藏的與矩陣B以及對稱矩陣A和C對稱的項.

2 模型概述

首先給出由N個節點組成的復雜網絡的驅動系統模型:

其中xi(t)是第i個節點的狀態變量,Ai,Bi,Ei為已知的系數矩陣.f(·),g(·)為確定網絡節點動態行為的連續可微函數,αi(t)∈{0,1}是服從伯努利分布的隨機變量,且其期望設為

方差設為

τi(t)∈(0,τi]是狀態的時變有界時滯.ci表示耦合強度.M=[mij]N×N是網絡的外部耦合矩陣,mij≥0(i/=j)且不全為0.一般地,假設M是對稱矩陣且滿足

Γ是描述耦合節點狀態變量之間的連接關系的內部耦合矩陣.

注2.1考慮到在不確定的網絡環境下,網絡節點的動態行為可以隨機變化,引入隨機變量αi(t)來描述這種動態行為.在系統(1)中,可以很容易看出非線性函數f(·)和g(·)是根據αi(t)的變化來進行隨機切換的.

考慮對應的響應系統模型如下:

其中Di為已知的系數矩陣,ui(t)是系統的控制輸入.

定義系統的狀態同步誤差εi(t)=yi(t)-xi(t),可以得到如下的驅動響應同步誤差系統模型:

其中

注2.2當(3)式=0時,意味著輸出系統和響應系統的信號達到一致,即整個驅動響應系統達到同步狀態.

目前,信息技術正在飛速發展,復雜網絡系統中傳輸信息越來越龐大,然而網絡帶寬是有限的,因此在保證系統性能的情況下節約有限的網絡資源,本文在每個節點的傳感器和控制器之間引入了一個自適應事件觸發機制.

為了便于描述,對第i個網絡節點在自適應事件觸發時的傳輸數據和傳輸時刻做以下假設

假設2.1假設系統的傳輸時間為(k=0,1,2,···),其中h是采樣周期,(k=0,1,2,···)是非負整數.此外,設傳輸的初始時刻為t0h=0.

自適應事件觸發規則的數學模型如下:

其中0＜λi(t)＜1,θi＞0,γi＞0.

根據不等式(4),假設上一個傳輸時刻為,則下一個傳輸時刻滿足如下條件:

考慮到信號在傳輸的時候會不可避免地產生傳輸時滯,本文用符號來描述這個時滯,并且假設由此,可以傳輸的信號到達控制器的時間t滿足

注2.3相較于傳統的事件觸發機制,本文所采用的自適應事件觸發機制的閾值參數并不是固定的常數.此外,由(5)式,易知λi(t)是根據誤差狀態δi(t)變化而改變的變量,并且其導數(t)→0當且僅當δi(t)→0,這意味著只有當系統不存在使其不穩定的擾動的時候,閾值參數才會收斂到一個常數.

注2.4Zeno行為是指事件觸發機制在有限時間內無限觸發的情形,而根據自適應事件觸發條件(4),可以知道本文中的數據采樣是在離散時間(k=0,1,2,···)進行的,這意味著最小事件觸發間隔是采樣周期h,故不存在Zeno行為.

在控制器運行過程中,由于網絡波動等其他不確定因素的影響,控制器很容易產生小的增益變化,為了處理這一問題,本文考慮的是含有不確定項的非脆控制器,其數學模型為ui(t)=(Ki+ΔKi)εi(t),其中ΔKi是在控制器執行過程中產生的不確定增益.由于引入自適應事件觸發機制,實際的控制輸入可以寫成如下形式:

其中Ki是待定的反饋增益矩陣,ΔKi是未知但范數有界的矩陣.設ΔKi=SiF(t)Li,其中Si和Li是已知的常數矩陣,F(t)是時變矩陣函數,且滿足FT(t)F(t)≤I.

考慮網絡通信的開放性,系統所傳輸的控制器信號難免受到惡意的破壞,盜竊或泄漏,這可能會導致控制器無法正常工作或發出錯誤的控制指令,進而使系統變得不穩定,甚至崩潰.在本文中,假設控制器受到的攻擊形式是隨機的欺騙攻擊,并且其攻擊信號用與控制輸入ui(t)有關的非線性函數h(·)來表示.

在網絡攻擊環境中,(8)式可以被改寫成如下形式:

其中βi(t)∈{0,1}是滿足伯努利分布的隨機變量.為了討論的便捷,假設

則攻擊概率的期望為E{βi(t)}=βi,方差為

注2.5根據(9)式,可以知道如果αi(t)=0,則ˉui(t)=ui(t),這意味著當前控制器沒有受到網絡攻擊.而如果αi(t)=1,則有ˉui(t)=ui(t)+h(ui(t)),這意味著控制器攜帶了惡意的攻擊信號.

結合(3)式以及(9)式,將誤差系統模型改寫成如下形式:

通過使用矩陣的Kronecker積,可以寫成緊湊的形式:

其中

為了得到本文所需的結果,給出以下的假設,引理:

假設2.2對每個節點i,攻擊信號函數h(·)和向量值函數f(·)以及g(·)都是連續非線性函數且滿足如下的Lipschitz條件:

其中Λ1i,Λ2i和Λ3i是常數矩陣且分別表示h(·),f(·)和g(·)的上界.

引理2.1[9]給定常數d,若函數d(t)滿足d(t)∈(0,d],則對于˙ε(t):(0,d]→Rn,存在矩陣Q＞0,使得如下矩陣不等式成立:

引理2.2[10]假設T1和T2具有合適維數的實矩陣,F(t)滿足FT(t)F(t)≤I,則對于任何標量ι＞0,如下不等式成立:

引理2.3[21](schur補引理)對于給定矩陣其中如下條件是等價的:

(1)S＜0;

3 主要結果

在本章節中,將會應用Lyapunov泛函方法來給出同步誤差系統(11)漸近穩定的充分條件.另外,通過借助matlab軟件中的LMI工具,可以得到每個節點的控制器增益Ki以及自適應事件觸發的參數矩陣Ωi.

3.1 穩定性分析

定理3.1對于一些給定的正標量參數

以及矩陣Γ＞0,A＞0,B＞0,E＞0,Λi(i=1,2,3),θ,γ,Ω和,誤差系統(11)是漸近穩定的,若存在對稱矩陣P=diagN{Pi}＞0,Ri(i=1,2)＞0,Qi(i=1,2)＞0,使得如下不等式成立:

其中Π11=

證明選取如下形式的Lyapunov泛函:

其中

P＞0,Ri＞0(i=1,2)和Qi＞0(i=1,2)是待定的對稱矩陣.

對V(t)關于t進行求導并取期望,可得

其中

結合(4)式和(23)式,可以知道

B=Bf(ε(t))-Eg(ε(t-τ(t)))和C=h(u(t)).由此,可以得到如下等式:

基于假設2.2,可以得到如下兩個不等式:

結合(20)式-(28)式和引理2.1,可得如下不等式:

其中

3.2 控制器設計

需要指出的是,定理3.1只給出了系統穩定的充分條件.在此基礎上,定理3.2將會給出控制器增益Ki(i=1,2,···,N)以及自適應事件觸發機制的參數矩陣

的設計方法.

定理3.2對于一些給定的正標量參數αi(i=1,2,···,N),βi(i=1,2,···,N),ci(i=1,···,N),?i(i=1,2),,τM=maxN{τi},κ,ι以及矩陣Γ＞0,A＞0,B＞0,E＞0,Λi(i=1,2,3),θ和γ,誤差系統(11)是漸近穩定的,若存在對稱矩陣X＞0,Y＞0,使得如下不等式成立:

其中

此外,本文設計的控制器增益和自適應事件觸發參數矩陣分別如下:

證明基于引理2.3,不等式(17)成立當且僅當如下不等式成立:

其中

對任一標量κ＞0,易知如下不等式成立:

由此推得

由此,易知不等式(31)成立,若如下不等式成立:

利用矩陣的性質,易知

其中

應用引理2.2,可知

因此,欲證不等式(34)成立,只需證

假設不等式(37)成立,根據引理2.3,可得

4 數值仿真

在本章節,提供一個數值例子來證明上述方法的有效性.假設復雜網絡系統的驅動系統(1)以及響應系統(2)均是由三個節點所構成,且每個節點都是二維的,即有系統的外部耦合矩陣及內部耦合矩陣分別為

對于每一節點i(i=1,2,3),選擇非線性函數f(xi(t))和g(xi(t-τi(t)))以及網絡攻擊的信號函數h((ui(t)))分別為

系統的參數矩陣分別取為

不確定參數矩陣分別為

在本例中,確定節點動態行為的切換概率的期望為αi=0.6(i=1,2,3),網絡攻擊的概率的期望是βi=0.5(i=1,2,3),最大時滯為dM=0.15和τM=0.1,自適應事件觸發機制的參數分別為θi=0.3(i=1,2,3)和γi=20(i=1,2,3),耦合強度為c1=0.8,c2=0.9,c3=0.62,其他參數為?1=5.6,?2=4.2,κ=3,ι=5.基于定理3.2,使用matlab軟件里的LMI工具,可以得到控制器增益矩陣以及自適應事件觸發參數矩陣如下:

以及自適應事件觸發的閾值參數分別為λ1(0)=0.26,λ2(0)=0.31,λ3(0)=0.164.對每個節點均考慮網絡攻擊以及自適應觸發,得到的仿真結果如圖1-5所示.圖1-2分別展示的是加控制器和不加控制器時的同步誤差信號的變化.比較這兩幅圖,就能發現當有控制器的時候,驅動響應系統的同步誤差才會最終區域零，即系統達到同步.圖3給出了自適應事件觸發的時刻和時間間隔.從圖4可以看出事件觸發的閾值是變量并最后趨于常數.圖5描述的是網絡攻擊信號的變化情況.以上仿真結果表明,本文所提出的自適應事件觸發及控制器的設計方案是有效的.

圖1 有控制器時的同步誤差εi(t)(i=1,2,3).

圖3 自適應事件觸發時刻以及間隔.

圖4 自適應事件觸發閾值λi(t)(i=1,2,3).

圖5 網絡攻擊信號h(ui(t))(i=1,2,3).

圖2 未加控制器時的同步誤差εi(t)(i=1,2,3).

5 結論

本文利用Lyapunov穩定性方法,借助matlab軟件,研究了隨機網絡攻擊環境下,具有隨機動態行為和時變時滯的復雜網絡驅動響應系統的自適應同步控制問題.在控制器增益變化及網絡攻擊能量有限的情況下,得到了建立的同步誤差系統漸近穩定的充分條件.然后,通過使用線性矩陣不等式的方法,給出了控制器增益及自適應事件觸發參數矩陣的設計方案.最后,提供數值仿真實例,以此驗證本文所提方法的有效性.