素養本位下多重表征在小學數學教學中的應用

鄧珍珍 閆 龍

(合肥師范學院 安徽 合肥 230601)

進入新時代，培養什么樣的人，如何培養創造性人才，已成為基礎教育改革的重大課題。“素養本位”正是我們對培養什么樣的人的回答。數學核心素養作為核心素養的重要組成，反映數學學科的本質與及其賴以形成與發展的重要思想。數學思想的表達，離不開多重表征。實施數學多重表征教學,能夠降低學生思維梯度，促進學生有效建構數學知識體系，提升數學思維品質。小學階段是培養學生數學核心素養的起始期和關鍵期，探索素養本位下多重表征在小學數學教學的應用，對促進小學生在數學上的發展和提高數學教學質量有著重要意義。

一、素養本位下的小學數學教學的價值取向

(一)由“知識本位”走向“素養本位”

進入新世紀以來，我國基礎教育學力目標前后經歷了雙基論、三維目標論和核心素養論，即經歷了從“知識本位”到“過程為本”再到“素養本位”的嬗變過程。這三個學力目標并不是后者對前者的否定或推翻，而是一種超越和升華。“知識本位”論強調數學基礎知識、基本技能的教學，長期受到我國基礎教育的重視。基于此，我國數學教學中形成了富有特色的教學方式，如變式教學、精講多練、題組訓練等。國際上一致認為我國中小學生的數學雙基扎實、素養深厚，這也使得我國的數學教育質量在國際上處于領先地位。[1]例如，我國學生對數學概念的掌握清晰準確，邏輯思維和運算能力較強等。三維目標論將課程目標定位于知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀。它在保留雙基論的課程目標基礎上，也注重發展學生以學科為基礎的學習興趣、動機及態度等非智力因素。核心素養論即人適應終身發展和社會發展所必需的品格和關鍵能力，它聚焦于全面發展、全面育人的育人理念，是黨和國家落實立德樹人教育目標的具體體現。[2]

(二)由“能力本位”走向“素養本位”

數學核心素養是核心素養的重要組成，是培養學生核心素養的基石，受到了大家的關注。國內學者史寧中教授把數學核心素養概括為“三會”能力，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。[3]“三會”在小學階段的具體表現為：數學眼光包括符號意識、數感、量感、空間觀念、幾何直觀；數學思維包括推理意識、運算能力；數學語言包括模型意識、數據意識；綜合表現有應用意識和創新意識。[4]數學核心素養在小學階段整體側重的是意識，到中學階段上升為觀念、能力及思想。

最新版《義務教育數學課程標準》充分貫徹數學核心素養，把數學課程目標表述為“三會”“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)[5]、“四能”(發現問題、提出問題、分析問題、解決問題)[6]以及情感態度價值觀。這些都為我國基礎教育指明了育人方向。突出“素養本位”的育人取向能夠克服應試教育中長期存在的“目中無人，分數王道”的弊端，并試圖尋找基礎教育發展學生腦力與體力、認知能力與非認知能力、學科知識與跨學科素養的均衡點。[7]

二、小學數學教學中多重表征的含義

美國學者舒爾曼(1986)指出：學科教學知識(簡稱 PCK)中，最有效的知識教學是對學科知識進行恰當表征。數學表征即數學知識在頭腦中的呈現方式，如列表、圖示、舉例、解釋、符號、式子等。教師必須理解一切有助于內容知識轉化為學生可接受形式的表征途徑。[8]數學不僅是人們生產生活中有用的工具，更是一門培養思維的學科。數學研究的對象去除了任何物質的、具體的特征，僅從形式和關系上對數學對象展開研究。如，數學上的點、線就是一種理想化的對象，所以數學具有高度抽象性，不抽象不數學。我們將抽象的數學轉化為小學生能夠接受的形式就需要依靠數學表征，數學表征即通過某種方式對數學對象進行刻畫。表征的主體和呈現會影響教學質量，更重要的是，單一表征已經不能滿足教學的需求，雖然單一表征各具特點，每塊教學內容也都有自己最合適的表征，但多重表征相對于單一表征更加互補、全面、深刻，[9]小學數學教學中的多重表征更加有助于數學核心素養的培養。故，多重表征的選擇、順序、轉化更應該引起我們的重視。例如，數學上的勾股定理具有多重表征，有圖形表征、列表表征、語言表征(直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方)、符號表征(a2+b2=c2)等。在勾股定理的教學中僅使用單一表征會造成學生的認知出現偏差，如何在教學中處理多重表征的選擇、出現的順序、相應的轉化以及表征由哪個主體(老師、學生、師生合作)提出的，表征是通過何種技術呈現等，顯得尤為重要。

數學多重表征不僅是教學過程，更是教學結果，是一種數學關鍵能力。當作為教學過程的多重表征內化為多重表征能力時，學生的多重表征能力表現為表達交流、操作轉化、建模應用三個不同水平。[10]波利亞的“怎樣解題”表中提出了很多啟發性的問題，如“你能不能用不同的方式重新敘述這個問題”“畫張圖，引入適當的符號”“你能不能想出一個類比的問題”“你能用別的方法得出這個結果嗎”“你能不能把這個結果或方法用于其它問題”等。[11]這些都是在啟發我們聯想其它形式的數學表征，以更好地理解題意，操作模型，解決問題，建立模型。

三、素養本位下小學數學教學中多重表征的含義與價值

(一)素養本位下小學數學教學中多重表征的含義

許多國家在其官方的課程標準或相關文獻中把數學表征列為學生應該發展的關鍵能力之一。例如，德國在其數學課程標準中把數學表征能力論述為能夠在數學情境中運用、識別和解釋多重表征，能夠區分多重表征之間的聯系，能夠在不同的情境中根據需求選擇、運用多重表征。[12]全美數學教師聯合會(簡稱NCTM)認為，在數學教學中應該發展每位學生在情境中創造、運用多重表征去記錄、組織、思考和表達數學，在多重表征中恰當選擇、靈活轉化、熟練應用，進而解決數學問題，利用表征建立一般模型，解釋自然科學、社會科學等領域中出現的現象。[13]美國各州一般也都在其課程標準中強調多重表征的價值。[14]我國《課標(實驗稿)》和《課標(2011年版)》均未出現“表征”兩字，但《課標(2011年版)》提出的十大核心概念中的符號意識、幾何直觀、數感、運算能力、模型思想等均體現了對表征的要求。“最新版”課標把數學核心素養概括為“三會”，而“三會”在小學階段表現了11個方面，這里面也體現了對多重表征的要求。

基于以上論述，素養本位下小學數學教學中多重表征的含義是指以發展小學生的數學核心素養為目標，基于數學概念、數學規則、問題解決等不同知識類型的教學，采用多種方式刻畫研究對象，以更好地適應小學生的接受水平的教學。

(二)素養本位下小學數學教學中多重表征的價值

1.多重表征促進數學概念的掌握

數學概念是客觀事物在數、量、關系和空間形式方面的本質屬性在人腦中的反映，[15]是數學知識和思維的基礎。學生表示“聽不懂數學”或者解題錯誤，主要原因是學生不能正確理解數學概念。如何幫助學生掌握數學概念呢？需要先了解兒童的認知規律。

布魯納認為兒童的認知發展程序是“動作-表象-符號”，同時這也是學生學習過程的認知順序。根據學生的這一認知特點，我們在教學過程中讓學生經歷“具體-表象-抽象”的過程，讓學生在學習“數學化”的過程中發展數學核心素養。數學表征按照該認知序列可分為動作式表征、表象式表征、符號式表征。動作式表征包括實物展示、圖文結合、音視頻、語言描述、散裝圖等；表象式表征包括線段圖、幾何圖形、圖表等；符號式表征包括等式、不等式、含有符號的式子等。在教學中一般按照這一順序進行多重表征，幫助學生更好地掌握數學概念。

大家認為數學中最簡單的幾何圖形是一維的點、線(以下簡稱“三線”)，然而它們也是非常抽象的數學概念。不僅有小學生認為投影儀射向屏幕的光線是“射線”等錯誤認知，成年人中也有認為角的兩條邊是“直線”的認知偏差。角的兩條邊確實是直直的線，但直直的線并不等同于直線。具有“直直的”這一特點的線就有線段、射線和直線三種。顯然這位成年人對“三線”概念的表征是不全面的。另外一種錯誤的出現也是對射線概念的非精準化表征造成的。下面以蘇教版小學數學四年級上冊“認識射線、直線和角”為例，進行多重表征的教學處理，以供大家探討交流。

活動1：欣賞城堡夜景燈光秀表演視頻，請同學們描述視頻中燈光特征。

交流后總結：這些燈(發光點)向天空射出直直的光線看作射線。如，圖1：

圖1 視頻表征

活動2：通過激光筆演示:①把激光筆射向距離較近的黑板，并用噴壺向激光筆射出的方向噴水，讓學生看到紅色的光線。問這相當于什么線？并指出它的端點。②老師和學生面對面站，老師把激光筆射向學生胸前的書本上，不再噴水，問此時是什么線？接著讓該生不斷往后退，再問線段發生了什么變化？你能測量它的長度嗎？③直到該生即將退到教室外面，讓該生回到座位上。老師把激光筆射向無邊無際、毫無遮擋的天空，問此時是什么線？你能測量它的長度嗎？

以上兩個活動屬于動作式表征，視頻欣賞和激光筆演示都盡可能地讓學生具體感知射線。再通過老師不斷地提問，使得學生的思考逐漸深層化。激光筆演示又分為三個步驟。首先，通過噴水讓學生感知“有形的”線段；然后，讓老師對面的學生不斷后退，學生感受到“半有形的”(只能看到兩端的小紅點)線段在變長；最后，把激光筆射向天空，讓學生感受“半有形的”(只能看到激光筆端的小紅點)無限長射線。通過這兩個動作式表征的轉化，學生經歷了從“有形”到“半有形”的射線，實際上已經開始內化射線的概念了。

活動3：讓學生自己在紙上畫射線。

學生自己動手畫圖，發現紙張畫不下射線。

全班共同探討，試圖解決問題。即使在黑板上畫射線，射線會沖出黑板，沖出教室(讓學生閉眼想象)……，沖出合肥，沖出安徽，沖出中國，沖出地球，沖向宇宙……

引出射線的正確畫法，先畫一個小圓點或小豎線表示發光點(端點)，接著畫有限長的直直的線，我們畫射線的一部分表示無限長的射線。最后，學生修改自己原先畫的射線。

活動4：讓學生自己動手畫一畫，一條線段怎么變成射線或直線。

學生通過動手畫來感受線段和射線、線段和直線的關系。

活動5：通過列表比較“三線”的相同點和不同點。

以上三個活動屬于表象式表征，全部去掉了具體物支撐，并非直接講授射線的正確畫法，而是讓學生根據自己此時的心象動手畫射線。然后，發現有限的紙張和黑板畫不下無限長的射線，于是老師讓學生閉眼想象能夠把長長的射線畫到哪里了。此時“無形的”射線已經清晰地內化在學生心中。接著規范射線的畫法，并指出發光點-端點、光線-所畫出的線的對應關系，實現動作式表征向表象式表征的轉化。而直線的概念只需在表象式表征的層面上直接類比生成即可。最后，用圖表表征的方式把“三線”的特點簡潔明了地概括出來,如表1所示。

表1 圖表表征

活動6：在直線上有兩個點，如圖2所示。找出下圖中有多少條直線，多少條射線，多少條線段，并分別記錄下你找到的線。

圖2 符號式表征

該活動是符號式表征，學生在這一活動中經歷了二次思維沖突。其一，在非標準情境下不重復不遺漏地有序找出所有“三線”；其二，“三線”的表示方法。學生能否在非標準情境下，排除干擾信息，抓住關鍵特征，將“三線”的圖表表征精準轉化為圖形表征是平衡第一次沖突的關鍵。“三線”的表示方法是學生從語言表征轉化為符號表征的體現，學生的表示方法雖然不是那么規范、嚴謹，卻是學生抽象思維的體現。

2.多重表征促進數學規則的理解

數學規則是以經過嚴格論證的數學命題形式出現，揭示兩個或多個概念之間的固有關系的判斷,是數學技能形成的基礎。[16]學生掌握數學規則的一般論證方法，在解決其它問題時可以發生遷移，幫助探明思路。

加減法在小學階段是基礎技能。在學習小數加減法之前，學生一定學習了整數的加減法。可是部分學生深受整數加減法的影響，把小數加減法的筆算也處理成末尾對齊，如圖3所示。究其原因，是數表征與式表征的關聯性沒有處理到位。

“0.7+3.16”的筆算為什么不能像之前的加減運算一樣，把末尾對齊呢？無論是末尾對齊還是小數點對齊，都是豎式表征的表層操作方法，即算法。豎式表征背后的數表征才是真正的算理。我們只有理清這兩種表征的關系，才能促進深度學習，減輕學習負擔。整數和小數都是十進制數，都有數位、數值及計數單位。而加減法的豎式表征有一個限制條件“相同計數單位上的數值才能直接相加減”。無論是末尾對齊還是小數點對齊，都是為了保證相同數位對齊，都是為了讓加減更加方便，也體現了數學符號的合理、簡潔性。如果是0.7元+3.16元，末尾對齊即7和6對齊就是“7角+6分”，肯定不能直接等于13角或13分，這顯然是不對的，如圖3所示。

在教學中根據數學學科的前后邏輯、學生的認知規律和非認知狀況，注重多重表征的關聯和選擇可以幫助學生抓住數學規則的本質。

3.多重表征發展數學問題解決能力

“問題解決”不僅是過程和結果，更是一種能力。所有的問題都具有三個要素，即初始狀態、過程、目標狀態。以往的數學問題會清晰地給出已知條件和結論狀態，但生活中很多問題沒有貼上數學的標簽，就需要學生用數學的眼光觀察、發現問題的初始狀態、過程、目標狀態。[17]過程固然重要，但許多學生解題錯誤的原因是：不能對初始狀態和目標狀態進行恰當的多重表征。能否在非標準情境下，正確理解概念和規則、排除干擾、聯系相關信息、靈活轉譯表征是成功解題的關鍵。而這些都需要學生有較高的多重表征能力。

我國傳統數學題“雞兔同籠”問題：今有雉(雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？[18]該問題的情境學生是比較熟悉的，也無干擾信息。學生首先需要將該問題轉化為自己的語言表征，然后聯想雞兔的具體圖像表征，找到兩種動物腿與頭數量的關系表征。接著有學生用列表格逐一嘗試的方法去表征，如表2所示；有的學生用假設列算式的方法去表征，如4×35=140(只)，140-94=46(只)，46÷2=23(只)，35-23=12(只)；還有的學生用設未知數列方程的方法去表征，例如，假設雞有x只，2x+4(35-x)=94。最后執行過程，表達結論，拓展為一般模型。整個過程充滿多重表征的精準選擇、優化排序、對應轉化、多主體構建、多樣表達、模型建構等。這一系列多重表征的合理應用是發展數學核心素養的基礎。

表2 圖表表征

基于以上論述，小學數學教學中的多重表征有助于學生數學核心素養的發展。我國現行《課標(2011年版)》雖未涉及多重表征的內涵、類別、影響因素、行為表現等，但在其提出的核心概念中對多重表征作出了具體要求。故在小學數學教學中，我們應該加強對多重表征的重視。