追蹤高考中的函數(shù)性質(zhì)問題

李亞軍

(河南省鄭州市回民高級(jí)中學(xué))

函數(shù)知識(shí)是高中的核心知識(shí),也是高考試題的?？贾R(shí)點(diǎn)之一.高考中不僅會(huì)考查常見的函數(shù)三要素,還會(huì)涉及函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程等.下面以2021年的高考試題為例,追蹤高考中的函數(shù)性質(zhì)問題.

1 比較大小

2 函數(shù)的單調(diào)性

3 函數(shù)的圖像識(shí)別

4 函數(shù)的奇偶性與周期性

例4 (2021新高考Ⅱ卷8)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x＋2)為偶函數(shù),f(2x＋1)為奇函數(shù),則( ).

因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋2)為偶函數(shù),則f(2＋x)＝f(2－x),可得f(x＋3)＝f(1－x).因?yàn)楹瘮?shù)f(2x＋1)為奇函數(shù),則f(1－2x)＝－f(2x＋1),所以f(1－x)＝－f(x＋1),所以

f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1),

即f(x)＝f(x＋4),故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)f(2x＋1)為奇函數(shù),則f(1)＝0,故f(－1)＝－f(1)＝0,故選B.

借助函數(shù)周期性解決求函數(shù)值或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題是常考問題,在未明確給出周期的情況下,可先運(yùn)用對(duì)稱性與周期性的關(guān)系等確定周期,再運(yùn)用函數(shù)的周期性找到解決問題的突破口.

5 函數(shù)的應(yīng)用

6 函數(shù)零點(diǎn)

例6 (2021 年北京卷15)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|－kx－2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

故f(x)在(10－2,10－1)上至少有1個(gè)零點(diǎn).又f(1)＝0,結(jié)合圖像知,f(x)在(0,1]上有2個(gè)零點(diǎn),即y＝|lgx|與y＝－2x＋2有2個(gè)不同的交點(diǎn),故當(dāng)直線過點(diǎn)(0,2)且與函數(shù)y＝|lgx|相切時(shí),此時(shí)f(x)有1個(gè)零點(diǎn),如直線l2,故②正確.

當(dāng)k＜0時(shí),函數(shù)y＝|lgx|與直線y＝kx＋2的圖像至多有2個(gè)交點(diǎn),故③不正確.

當(dāng)k＞0且k足夠小時(shí),函數(shù)y＝|lgx|與直線y＝kx＋2的圖像在(0,1)與(1＋∞)上分別有1個(gè)、2個(gè)交點(diǎn),如直線l3,故④正確.

圖1

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖像關(guān)系的應(yīng)用,同時(shí)考查了命題真假性的判斷、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的應(yīng)用,難度較大.根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)正確畫出函數(shù)y＝|lgx|與直線y＝kx＋2的圖像是解決此題的關(guān)鍵.