模糊數列關于序β幾乎理想λr-統計收斂和強幾乎理想λr-收斂①

馮雪

青海民族大學 數學與統計學院， 西寧 810007

文獻[1]提出了統計收斂的概念， 隨后文獻[2-9]對其進行了深入研究． 在實際問題中， 數據和信息往往是不確定的， 而這種不確定性可以用模糊數[10]來表示， 所以對模糊數列收斂問題的研究顯得非常必要． 文獻[11]提出了模糊集合和模糊集合運算的概念， 標志著模糊數學的誕生， 開創了模糊系統與模糊控制理論的研究． 文獻[12]討論了模糊數列的統計收斂， 并將模糊數列的統計收斂用自然密度為0的模糊數列和普通收斂的模糊數列來表示． 文獻[13]給出了理想的定義， 提出并討論了模糊數列的理想收斂． 文獻[14]開始研究Orlicz序列空間， 結果表明任何一個Orlicz序列空間lM包含一個同構于lp(1≤p<∞)的子空間． 之后， 文獻[15-16]分別利用Orlicz函數推廣了Orlicz序列空間lM和強可和序列空間．

1 定義及說明

u為實數集R上的模糊集， 若u是正規的凸模糊集， 隸屬度函數u(x)上半連續， 且支撐集

[u]0=cl{x∈R：u(x)>0}

為緊集， 則稱u為模糊數[17]． 記所有模糊數所組成的集合為E1． 對任意的0≤r≤1， 水平截集[u]r={x：u(x)≥r}是一個閉區間． 對u，v∈E1，k∈R， 加法和數乘分別定義為

[u+v]r=[u]r+[v]r[ku]r=k[u]r

模糊數u，v∈E1之間的距離定義為

記N是全體自然數組成的集合， 集合A?N的自然密度定義為

其中|A|表示A的元素個數[19]．

設λ={λm}是非降數列，M是Orlicz函數，r={rk}是正實數列． 對于ρ>0， 0<β≤1， 模糊數列x={xk}關于序β幾乎λr-統計收斂于模糊數x0， 是指[19]

其中

定義1設λ={λm}是非降數列，M是Orlicz函數，r={rk}是正實數列， 對于ρ>0， 0<β≤1， 模糊數列x={xk}關于序β幾乎理想λr-統計收斂于模糊數x0， 是指

其中

例1設I是自然密度0的自然數集N的理想，A={12， 22， 32， …}， 定義模糊數列

定義模糊數

當m∈A時， 有

即對任意給定的δ， 存在M， 使得對任意k>M，m∈A， 有

當m?A時， 有

即

所以{xk}為幾乎理想λr-統計收斂數列． 由以上討論可知， 當m?A時，

從而數列{xk}非統計收斂．

定義2設λ={λm}是非降數列，M是Orlicz函數，r={rk}是正實數列． 對ρ>0， 0<β≤1， 定義下列關于序β強幾乎理想λr-收斂的模糊數列空間：

其中

2 模糊數列關于序β幾乎理想λr-統計收斂的相關性質

定理1設x={xk}，y={yk}是兩個模糊數列， 則：

證(i) 當C=0時， 結論顯然成立． 設C≠0， 有

對于任意的ε>0， 有

可得

定理2設模糊數列x={xk}與關于序β幾乎理想λr-統計收斂的模糊數列y={yk}幾乎處處相等， 則x={xk}關于序β幾乎理想λr-統計收斂， 而且與y={yk}收斂于同一模糊數．

證因為xk=yk幾乎處處成立， 所以集合{k∈N：xk≠yk}有限， 設為S=S(ε)． 則

所以

因此模糊數列x={xk}關于序β幾乎理想λr-統計收斂．

3 模糊數列關于序β強幾乎理想λr-收斂的相關性質

定理3設λ={λm}是非降數列，M是Orlicz函數，r={rk}有界， 則

證顯然

設

則

其中

存在K=δ， 使得

定理4設M1，M2是Orlicz函數， 則以下結論成立：

證(i) 設

(ii)，(iii)的證明與(i)相似．

則

其中

K=min{[M(ε1)]h， [M(ε1)]H}

證記

因為

所以

5 結論