隨機Kuramoto-Sivashinsky格點方程的后向緊隨機吸引子①

喬閃閃， 李揚榮

西南大學 數學與統計學院， 重慶 400715

文獻[1-4]對Kuramoto-Sivashinsky方程的吸引子進行了研究， 并建立了相對完善的理論體系． 文獻[5-9]對非自治動力系統的拉回吸引子的存在性與后向緊性做了研究． 文獻[10-11]研究了非自治格系統吸引子的后向緊性． 本文將研究具有乘性噪音的Kuramoto-Sivashinsky 方程

(1)

(2)

(3)

本文主要研究隨機Kuramoto-Sivashinsky格方程的后向緊隨機吸引子．

1 非自治隨機動力系統

(Bu)i=ui+1-ui(B*u)i=ui-1-ui(Au)i=-ui-1+2ui-ui+1?u∈2

其中涉及的三線性形式為

u=(ui)i∈Z∈2v=(vi)i∈Z∈2ω=(ωi)i∈Z∈2

微分方程(1)可整理為

(4)

下面證明方程(4)能生成隨機動力系統．

dz+zdt=dW(t)

的穩態解． 由文獻[10，12]可知， 對任意ω∈Ω，z(θtω)關于t連續， 且滿足

(5)

因此方程(4)可轉化為關于v的隨機微分方程

(6)

由文獻[1]和Galevkin逼近法， 容易證明對任意T>0，v0∈2，ω∈Ω， 方程(6)存在唯一的解v(·，τ，ω，v0)∈C([τ， +∞)，2)， 且依賴初值v0連續． 因此方程(6)在(Ω， F，P， {θt}t∈R)上能生成一個連續的隨機動力系統{Φ(t)}t≥0， 即對v0∈2，t≥0，τ∈R和ω∈Ω， 有

Φ(t，τ，ω，v0)=v(t+τ，τ，θ-τω，v0)

2 解的估計

在下文中， 設D0是X中所有緩增集構成的集合， D是X中所有后向緩增集構成的集合． 若集合D滿足

(7)

則稱集合D為后向緩增集．

引理1若條件(G)成立， 則對任意后向緩增集D∈D，τ∈R，ω∈Ω， 存在T=T(D，τ，ω)≥1， 使得t≥T且vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 有

(8)

成立， 其中

(9)

證對任意固定的τ∈R，ω∈Ω，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 令

v(r)=v(r，s-t，θ-sω，vs-t)

其中s≤τ．v(r)與方程(6)做內積， 可得

其中

(10)

(11)

利用Young不等式， 有

(12)

由文獻[11]知‖Bv‖≤2‖v‖， 故2‖Bv‖2≤8‖v‖2． 又由(10)，(11)，(12)式以及Young不等式， 整理可得

(13)

對(13)式利用Gronwall不等式， 計算可得

(14)

對(14)式關于s∈(-∞，τ]取上確界， 由于vs-t∈D(s-t，θ-tω)(s≤τ)， 結合(5)，(7)式可知， 存在T=T(s，ω，D)≥1， 使得當t≥T時， 有

(15)

因此可以得到

(16)

即(8)式得證．

命題1若條件(G)成立， 則對?ε>0， (τ，ω，D)∈(R×Ω×D)，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω，D)>0，K(ε，τ，ω，D)≥1， 使得

證構造光滑函數ρ， 滿足0≤ρ≤1， 且當|s|≤1時ρ=0， 當|s|≥2時ρ=1． 假設存在常數c0， 使得對任意s∈R， 有|ρ′(s)|≤c0． 令K是一個固定的整數， 設

ψ與方程(6)做內積， 可得

2βez(θr-sω)(|v|v，ψ)+2e-z(θr-sω)(g，ψ)+2z(θr-sω)(v，ψ)

其中

(17)

(18)

由于|ρ′(s)|≤c0， 因此

(19)

(20)

由Young不等式可知

(21)

由(17)-(21)式可得

(22)

對(22)式運用Gronwall引理， 計算整理可得

(23)

根據(5)式可知， 對?ε>0， 存在C=C(ε，ω)>0， 使得

(24)

(25)

由引理1與條件(G)可知， 存在T>0， 當t>T時有

(26)

(27)

(28)

因此， 結合(26)-(28)式可得， 對?ε>0， (τ，ω，D)∈(R×Ω×D)，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω，D)>0，K(ε，τ，ω，D)≥1， 使得

3 后向緊隨機吸引子

定理1若條件(G)成立， 則方程(1) 生成的動力系統存在后向緊隨機吸引子．

證{Φ(t)}t≥0滿足文獻[13]中定理3.9的拉回吸引子的兩個存在性條件：

(i) 非自治動力系統{Φ(t)}t≥0存在D0-拉回隨機吸收集K0∈D0， 其中

K0(τ，ω)={w∈2： ‖w‖2≤1+R0(τ，ω)} ?τ∈R，ω∈Ω

(ii) 非自治動力系統{Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D， 其中

由文獻[6]可得非自治動力系統{Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向緊的．

又因為隨機吸引子的后向并是預緊的， 則稱該吸引子為后向緊隨機吸引子． 因此方程(6)生成的非自治隨機動力系統Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回吸引子A∈D和唯一的可測D0-拉回吸引子A0∈D0． 再由文獻[12]的定理6.1知A=A0， 故吸引子A也是隨機的， 即Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回隨機吸引子A∈D． 再由文獻[14-15]知方程(1) 與(6)生成的隨機動力系統共軛， 從而可知方程(1)存在后向緊隨機吸引子．