帶摩擦補償?shù)倪\動控制探索型實驗設(shè)計

程國揚， 劉陽陽

(福州大學 電氣工程與自動化學院，福州 350108)

0 引 言

摩擦現(xiàn)象在機械運動系統(tǒng)中普遍存在，它產(chǎn)生于存在相對運動(或趨勢)的兩個接觸表面之間，起到阻礙運動的作用。摩擦力(或力矩)具有復雜的靜態(tài)和動態(tài)特性，這給機電系統(tǒng)的精確運動控制帶來了挑戰(zhàn)。因此，對摩擦現(xiàn)象的數(shù)學建模和補償控制成為機械工程和控制工程領(lǐng)域的共同研究課題[1-3]。

摩擦模型可以分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型兩大類[4]。靜態(tài)模型將摩擦力描述為相對速度的函數(shù)。目前常用的靜態(tài)摩擦模型有庫侖摩擦模型、庫侖摩擦+黏滯模型、Stribeck摩擦模型、Karnopp摩擦模型等。當相對速度為零時，摩擦力依賴于外部作用力，此時稱為靜摩擦力;當外部作用力大于最大靜摩擦力時，系統(tǒng)由靜止開始運動，此時的摩擦力典型地會顯著減小，這也是導致爬行現(xiàn)象和極限環(huán)的主要原因[5-6]。靜態(tài)摩擦模型主要描述宏觀的摩擦特性；而動態(tài)摩擦模型則可以進一步描述摩擦的微觀動態(tài)特性，諸如摩擦記憶、滯環(huán)特性、預滑動位移等現(xiàn)象。目前動態(tài)摩擦模型研究較多的有Dahl模型、鬃毛模型、復位積分模型、LuGre模型[7-8]等。

摩擦的補償控制也分為無模型補償和基于模型的補償。其中無模型補償是把摩擦力當作是一種擾動，通過設(shè)計魯棒控制器來消除或減弱擾動的影響[9]。基于模型的補償則又細分為基于靜態(tài)模型的補償和基于動態(tài)模型的模型，其中前者通過事先或在線辨識一個靜態(tài)模型的參數(shù)，并根據(jù)模型進行補償控制。基于動態(tài)模型的補償方法在理論上可以達到更好的控制效果，但由于動態(tài)模型的復雜性，其參數(shù)辨識比較困難，往往需借助自適應控制的方法來實現(xiàn)補償[10]，而機電系統(tǒng)的動態(tài)特性較快，在其瞬態(tài)過程中難以確保自適應控制的參數(shù)收斂，所以實際應用起來有一定的難度。

本文針對工業(yè)中典型的伺服電動機運動系統(tǒng)，研究其位置跟蹤控制和摩擦補償問題。首先設(shè)計一個復合非線性控制器[11]，實現(xiàn)對給定軌跡的快速且平穩(wěn)的跟蹤；采用Stribeck模型對系統(tǒng)中存在的摩擦力矩進行建模與參數(shù)辨識；在軌跡跟蹤控制器中加入摩擦補償，得到最終的控制方案。接著在MATLAB中建立仿真模型，用于仿真分析；隨后基于TMS320F28335數(shù)字信號處理器進行控制算法編程，在一臺永磁同步電動機上進行實驗研究。整個設(shè)計最終形成一個綜合實驗系統(tǒng)，用于支持本科生和研究生相關(guān)課程的實驗教學[12-15]。

1 軌跡跟蹤運動控制律設(shè)計

機電設(shè)備中伺服運動機構(gòu)通常可用如下的數(shù)學模型來描述：

(1)

式中：y和v分別為被控系統(tǒng)的位置輸出量(可量測)和速度;u為控制信號(轉(zhuǎn)矩電流或輸入電壓);d代表由負載擾動、摩擦力矩和其他不確定因素折合而成的未知擾動;a≤0與b>0為系統(tǒng)參數(shù)。考慮到實際系統(tǒng)的限制，引入飽和限幅函數(shù)sat(·)，定義如下：

sat(u)=sign(u)·min{|>u|,umax}

(2)

式中：sign(·)為標準的符號函數(shù)；min{}表示取集合元素的最小值；umax為控制量的飽和限幅值。

定義誤差信號：

則有:

式中:

(3)

定義狀態(tài)向量

則有:

(4)

式中，

針對模型(4)，設(shè)計一個控制律，使e(t)→0。這里采用復合非線性控制技術(shù)[11]。這種控制技術(shù)可以突破線性控制技術(shù)的性能局限(即在給定帶寬下快速響應與低超調(diào)不能得兼)，實現(xiàn)快速平穩(wěn)且準確的軌跡跟蹤。所設(shè)計的控制律如下：

(5)

設(shè)計非線性反饋控制律，來動態(tài)調(diào)節(jié)閉環(huán)阻尼系數(shù)。選取一個正定對角陣

求解Lyapunov方程

(A+BF)TP+P(A+BF)=-W

得到一個正定矩陣

則非線性反饋增益矩陣為

選取一個平滑的非線性增益函數(shù)

(6)

式中：α、β是非負的可調(diào)參數(shù)。ρ(e1(t))的絕對值隨著跟蹤誤差e1(t)=y(t)-r(t)絕對值的增大而遞減，如圖1所示。這使得非線性反饋控制的強度可以動態(tài)調(diào)整。

圖1 非線性函數(shù)ρ(e)的示意圖

根據(jù)式(3)，可解得系統(tǒng)(1)的跟蹤控制信號(暫時忽略飽和限幅函數(shù))為

(7)

(8)

式中，ζ0∈(0,1]和ω0>0分別是觀測器極點的阻尼系數(shù)與自然頻率。基于觀測器的跟蹤控制律為

(9)

(10)

2 摩擦模型的辨識

針對伺服運動系統(tǒng)進行摩擦力矩的數(shù)學建模，采用如下的Stribeck模型：

Tf(v,Te)=

(11)

式中：

Tg(v)=[Tc+(Ts-Tc)e-(v/vs)2]sign(v)+σv

v為電動機速度(rad/s);Te為外作用力矩;Tc為庫侖摩擦力矩;Ts為最大靜摩擦力矩;vs為Stribeck速度;σ為黏滯摩擦系數(shù)。注意，式(11)中摩擦力矩Tf的表達式帶有負號，是因為摩擦通常是阻礙運動的。

當系統(tǒng)運行穩(wěn)定時，電磁轉(zhuǎn)矩(扣除負載轉(zhuǎn)矩后)與摩擦力矩的值是大小相等,方向相反的。因為電磁轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)矩電流成正比關(guān)系，所以當電動機勻速運動時，轉(zhuǎn)矩電流之值可以表示摩擦力矩的大小。由于模型(1)把摩擦力矩和其他擾動都歸入與控制信號(轉(zhuǎn)矩電流)同一通道中，這里的摩擦力矩折算后成為等效電流，具有與電流相同的量綱，即采用安培(A)作為計量單位(等效值)。

對實驗用的永磁同步電動機伺服系統(tǒng)進行速度閉環(huán)控制，使電動機做勻速運動，通過測量多組電流-速度數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件的非線性擬合函數(shù)lsqcurvefit得到模型參數(shù)值:Tc=52.8 mA,Ts=191.5 mA,vs=8.613 8 rad/s,σ=0.2 mA·s/rad。

圖2給出了擬合后的摩擦模型曲線(數(shù)據(jù)取正值)，其中只擬合了速度為正時的非線性曲線。速度為負時，所測量的數(shù)據(jù)基本與速度為正時的一致，只是符號相反，即曲線關(guān)于原點對稱，故速度反向的擬合曲線在此處不再繪制。

圖2 轉(zhuǎn)矩電流與角速度的擬合曲線

辨識的摩擦模型將用于仿真時的對象模型描述和摩擦補償控制律。當摩擦模型用于描述對象特性時，其速度變量用真實的速度信號；而進行摩擦補償時，只能用觀測器估計的速度信號。

3 仿真分析

在MATLAB中搭建了軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的仿真模型，并進行仿真分析。針對式(1)所描述的伺服系統(tǒng)，采用系統(tǒng)辨識的方法得到其標稱模型的參數(shù)值為：a=-10，b=1 950。根據(jù)設(shè)備的物理參數(shù)，確定umax=1.5 A，擾動d主要包含兩部分：負載dL(等效值0～-0.8 A)，以及摩擦力矩Tf。

選取軌跡跟蹤控制律的參數(shù)如下：ζc=0.3，ωc=30，α=10,β=2,ζ0=0.8，ω0=100。當采用不同的補償控制方案時，系統(tǒng)的最終控制信號根據(jù)下式給出：

u(t)=

上述控制律可以統(tǒng)一表示為

(12)

式中：λ1和λ2為可調(diào)參數(shù)，它們都在區(qū)間[0,1]上取值，通過選取恰當?shù)膮?shù)值，可以實現(xiàn)各種補償控制方案，甚至可以只進行部分補償，從而在控制精度和魯棒性(對噪聲的不敏感度)之間折中。這種參數(shù)化控制律為系統(tǒng)的靈活組態(tài)、編程實現(xiàn)以及性能優(yōu)化帶來了方便。

在給定正弦軌跡信號r(t)=2sin(2πt+π/3)和負載擾動dL=-0.5 A(近似為半載)情況下進行仿真，所得結(jié)果如圖3～6所示。圖中顯示了給定軌跡與輸出軌跡，估計的速度、負載、摩擦力矩，以及控制量(即轉(zhuǎn)矩電流)。由圖3可以看出，若控制律中無任何補償(但仍繼續(xù)對兩種擾動進行估計)，則跟蹤軌跡會產(chǎn)生很大的誤差，并在峰頂和谷底出現(xiàn)了平頂現(xiàn)象(即爬行現(xiàn)象)，跟蹤誤差是由負載和摩擦共同作用造成的，而平頂現(xiàn)象主要是由摩擦導致的。由圖4可以看出，加入負載補償后，系統(tǒng)的跟蹤性能有了很大的提升，但在軌跡的峰頂和谷底依舊存在輕微的平頂現(xiàn)象，這時的控制律把未補償?shù)哪Σ亮禺敵墒秦撦d來進行估計，但由于摩擦力矩是時變的，基于觀測器(假設(shè)擾動為慢變化或定值)的補償并不能完全消除摩擦所帶來的不良影響，這也說明了對摩擦進行建模補償?shù)谋匾浴D5表明在對摩擦進行補償之后，系統(tǒng)的輸出軌跡比較平滑，不會出現(xiàn)平頂，但由于未補償負載，軌跡跟蹤出現(xiàn)了明顯的誤差。從圖6可以看到，當控制律同時對負載和摩擦加以補償時，軌跡跟蹤非常準確，平頂現(xiàn)象已經(jīng)消失，說明加入摩擦補償起到了很好的補償效果。這驗證了在摩擦模型參數(shù)辨識足夠精確的情況下，采用基于Stribeck摩擦模型反饋補償?shù)膹秃戏蔷€性控制方案可以在帶有摩擦的伺服機構(gòu)中實現(xiàn)準確的位置軌跡控制。

圖3 無補償時的仿真結(jié)果

圖4 僅補償負載時的仿真結(jié)果

圖5 僅補償摩擦時的仿真結(jié)果

圖6 同時補償負載與摩擦時的仿真結(jié)果

4 實驗測試

采用TMS320F28335為主控芯片，利用Code Composer Studio(CCS)軟件，在一臺永磁同步電動機(PMSM)試驗臺上進行了實時控制實驗，如圖7所示。電動機型號為60CB020C，其額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，額定轉(zhuǎn)矩為0.64 N·m；帶有2 500線的雙路正交光電碼盤，利用一個磁粉制動器來提供負載。電動機的電流內(nèi)環(huán)已先行實現(xiàn)了閉環(huán)控制，電流環(huán)和脈寬調(diào)制的采樣頻率是20 kHz，位置環(huán)采用本文設(shè)計的控制律進行軌跡跟蹤，其采樣周期為Ts=2 ms。

圖7 電動機運動控制實驗臺

實驗中采用的控制參數(shù)值與仿真時相同。給定目標軌跡為正弦信號r(t)=π·sin(2πt+π/6)，該軌跡的周期為1 s。程序中使用4通道DLOG模塊來采集數(shù)據(jù)，每個通道保存1 024個采樣點。為了看到完整的正弦波以及軌跡跟蹤的瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程，在程序中設(shè)置一個方波信號，即當方波處于高電平時，讓電動機跟蹤目標軌跡；當方波處于低電平時，使電動機位置回零。設(shè)置高電平持續(xù)時間為750個采樣周期，低電平為274個采樣周期，則可以保證在1 024個采樣點中，可以看到一個半周期的正弦波軌跡。

首先在20%負載的條件下進行實驗，所得結(jié)果如圖8～10所示。圖8是控制律中無補償時的實驗結(jié)果，系統(tǒng)輸出軌跡不但在峰頂和谷底有明顯平頂現(xiàn)象，而且出現(xiàn)較大的誤差；當控制律中加入負載補償后，軌跡跟蹤性能明顯改善(見圖9)，除了在峰頂和谷底時有較輕的平頂現(xiàn)象外，基本實現(xiàn)了準確的軌跡跟蹤；如圖10所示，當同時進行負載和摩擦補償時，輸出軌跡的峰頂和谷底變得更加平滑，能夠較好地跟蹤目標軌跡，說明摩擦補償起到較好的補償效果。圖11是在60%負載下同時進行負載和摩擦補償?shù)能壽E跟蹤實驗結(jié)果，可以看到系統(tǒng)基本能平滑地跟蹤目標軌跡，但在靠近峰頂和谷底的位置，仍有肉眼可見的跟蹤誤差。這可能是因為摩擦模型辨識得不夠準確，以及系統(tǒng)中帶有時變不確定性，無法完全通過觀測器準確估計出來用于補償。圖12給出了在60%負載下對定點目標π的跟蹤控制結(jié)果，系統(tǒng)實現(xiàn)了快速且低超調(diào)的跟蹤性能，穩(wěn)態(tài)誤差可忽略。實驗中也發(fā)現(xiàn)，在定點跟蹤控制時，采用負載補償已經(jīng)可達到較理想的性能，再加入摩擦補償后性能改善并不明顯，這一點與曲線軌跡跟蹤時的情形有所不同，這是因為曲線軌跡跟蹤時系統(tǒng)會周期性地出現(xiàn)速度過零的位置，而在低速區(qū)域摩擦力矩的影響較大，所以相應地摩擦補償?shù)男Ч草^為明顯。

圖8 負載20%下無任何補償?shù)膶嶒灲Y(jié)果

圖9 負載20%下僅補償負載時的實驗結(jié)果

圖10 負載20%下同時補償負載與摩擦時的實驗結(jié)果

圖11 負載60%下同時補償負載與摩擦時的軌跡跟蹤實驗結(jié)果

圖12 負載60%下同時補償負載與摩擦的定點跟蹤實驗結(jié)果

5 結(jié) 語

針對伺服運動機構(gòu)設(shè)計了一種軌跡跟蹤控制器，采用基于擴展狀態(tài)觀測器的線性與非線性控制相結(jié)合的方案，消除負載擾動和其他不確定性帶來的影響；通過對摩擦力矩的數(shù)學建模，在軌跡控制律中加入摩擦補償作用，最終實現(xiàn)準確的軌跡跟蹤。進行MATLAB數(shù)值仿真和基于DSC芯片的實時控制，測試比較了各種補償控制方案的性能。實驗應用到本科生的運動控制系統(tǒng)實訓和研究生的伺服工程科研實踐環(huán)節(jié)，幫助學生掌握軌跡跟蹤控制方法和摩擦建模與補償技術(shù)。今后，我們還將融入?yún)?shù)自校正、學習控制、性能預測等手段，實現(xiàn)高精度伺服控制，并推廣應用于工業(yè)領(lǐng)域。