再論聯邦濾波在組合導航中的應用可行性

嚴恭敏，戴晨杰，劉 璠

(西北工業大學自動化學院，西安 710072)

0 引言

標準Kalman濾波的計算量與狀態維數的3次方成正比，計算量因狀態維數的增加而急劇變大。一個復雜的大系統往往包含眾多的狀態變量，但大系統通常可以分解成若干子系統，并且在子系統中可能還存在一個關鍵的公共參考系統。針對這類大系統，可以設計一個高維的綜合濾波器，包含所有狀態變量，再進行Kalman濾波，這一處理方式通常稱為集中式濾波(Centralized Kalman Filter, CKF)；也可以采取所謂的聯邦濾波(Federated Kalman Filter, FKF)方法進行分散降階處理，有利于降低各子系統的計算量，還便于各子系統的故障診斷和隔離，避免有故障的子系統影響整個濾波器，從而提高總體性能。在聯邦濾波中，如果所有子濾波器的狀態均為公共狀態，則全局狀態融合精度與集中濾波器精度相同，結果均是最優的；但是當某些濾波器存在私有狀態時，聯邦濾波的精度一般低于集中濾波，這時聯邦濾波是一種次優濾波算法。聯邦濾波最早由N.A.Carlson提出，他在提出聯邦濾波時曾聲稱聯邦濾波器已被美國空軍的容錯導航系統“公共卡爾曼濾波器”計劃選為基本算法，但從目前組合導航系統的發展情況看，歷經30余年實踐該算法并沒有明顯的優勢，未獲得廣泛的實際應用。

對于所有子濾波器的狀態均為公共狀態的聯邦濾波，不具備減小計算量的優勢，分散為幾個濾波器后反而增加了計算量，這種聯邦濾波完全可以被序貫濾波所取代，序貫濾波同樣易于量測故障診斷和隔離。提出聯邦濾波的初衷和優勢應當在于存在大量私有狀態的系統。論文在分析傳統聯邦濾波基本原理的基礎上，首先通過一個簡單隨機系統仿真例子，驗證了聯邦濾波估計結果的不合理性。顯然，若對簡單系統不可行，面對更加復雜的系統將更難獲得好的估計效果。接著，以典型的速度+姿態傳遞對準為例，通過仿真實驗驗證了聯邦濾波的狀態估計效果不好，與集中濾波相比聯邦次優濾波的誤差太大，不能滿足應用需求。最后，給出研究總結：已有文獻普遍認為聯邦濾波是一種有效的狀態估計方法，但本文通過舉反例得到了不同的結論，對其可用性和實用性給出了負面的評價。

1 聯邦濾波基本原理

1.1 集中Kalman濾波

隨機線性系統的狀態空間模型記為

(1)

式(1)中，是×1維的狀態向量；是×1維的量測向量；-1、-1、是已知的系統結構參數，分別為×維的一步狀態轉移矩陣、×維的系統噪聲分配矩陣及×維的量測矩陣；-1是×1維的系統噪聲向量，是×1維的量測噪聲向量，兩者都是零均值的高斯白噪聲向量序列，且它們之間互不相關，即滿足

(2)

其中，是半正定的,是正定的，δ為克羅內克函數。

針對系統式(1)的Kalman濾波公式為

(3)

1.2 傳統聯邦濾波算法

假設式(1)可拆分成+1個子濾波器狀態空間，分別記為

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

傳統的聯邦濾波算法步驟如下。

(8)

(9)

3)Kalman濾波。各子濾波器(含主濾波器)進行Kalman濾波更新，如下

(10)

4)信息融合。綜合所有子濾波器(含主濾波器)的結果，進行信息融合，如下

(11)

(12)

1.3 聯邦濾波公式改進

(13)

2 一個簡單系統舉例

假設有一個含3個狀態分量和2個量測分量的線性隨機系統，記作CS，具體為

(14)

其中，1,、2,均為零均值的單位白噪聲，且兩者之間不相關；為時變元素。容易看出，系統式(14)不含系統噪聲，3個狀態分量為相互獨立的隨機常值，第一量測分量1,是狀態1,、2,與噪聲1,之和；而第二量測2,是狀態1,、3,與噪聲2,之和，1,為兩量測共有的公共狀態。因而，可將式(14)拆分成3個子系統，分別記為子系統S1、S2和主系統SM，具體如下

(15)

顯然，如果為固定常值，系統S1和S2都是不完全可觀的，即狀態1,和2,之間、狀態1,和3,之間相互耦合，無法單獨分離；而若設置為時變的，則狀態1,和3,之間可分離，從而也導致狀態1,和2,之間可分離，最終使得3個狀態分量都變為完全可觀的。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

從圖1(a)、(c)、(e)可以看出，當<100時，由于系統不完全可觀，兩種濾波算法的3個狀態分量均不能被正確估計；當>100時，因元素發生變化使系統變得完全可觀測，集中濾波中的3個狀態立即獲得了正確估計，接近于真值曲線Xtrue。圖1(a)聯邦濾波的公共狀態1,的估計結果雖然也有調整變化，但其估計值并不準確，結果明顯是有偏估計；圖1(c)子濾波器1(或圖1(e)子濾波器2)的私有狀態2,(或3,)的估計也都是有偏的。觀察圖1(b)，在=100后狀態1,的均方差迅速減小，聯邦濾波比集中濾波下降得更多，說明前者的估計精度虛高，致使在狀態1,的估計出現偏差后就難以再往正確方向進行調整了。

3 傳遞對準舉例

在組合導航的聯邦濾波算法應用研究文獻中，比較典型的例子是慣性/衛星/天文組合導航和速度+姿態匹配傳遞對準，兩者都存在角運動和線運動兩類量測量，可以拆分出兩個子濾波器。這里以傳遞對準為例,驗證聯邦濾波的估計效果。

(16)

傳遞對準集中濾波器的狀態空間模型為

(17)

其中

圖2 失準角估計效果對比Fig.2 Misalignment angle comparison

兩種濾波算法的傳遞對準仿真結果曲線較多，這里僅展示子慣導失準角估計結果，如圖2所示。由圖2可見，集中濾波算法的3個失準角估計效果均較好，水平失準角一開始就很快收斂，在10s開始搖翼機動后，方位失準角也快速收斂；然而，聯邦濾波算法的3個失準角始終都存在較大偏差，不能正確收斂。對于其他狀態的估計，聯邦濾波算法的效果也不好，這里就不再一一展示了。

就前面所舉的兩個聯邦濾波仿真例子式(14)和式(17)，讀者可試著選擇其他信息分配因子或除式(13)外的其他Kalman濾波均方差陣放大方式，只要進行了反饋重置，聯邦濾波往往都很難取得理想的估計效果。從理論上不容易證明聯邦濾波的不合理性，眾多文獻介紹聯邦濾波是一種次優濾波方法，但并沒有指出次優濾波會有多“次”；而文獻[2]中“精度下降十分微小”的說法并不合適，本論文僅以舉例仿真的方式驗證了聯邦濾波估計結果的不正確，相較于集中濾波，聯邦濾波的次優估計精度往往是不可接受的。

4 結論

許多文獻對聯邦濾波及其應用進行了研究，甚至提出了信息分配因子優化、自適應聯邦濾波、聯邦濾波結構與容錯性分析等一系列更復雜的改進措施，都聲稱獲得了較好的應用效果，然而其程序代碼實現不公開，他人無法復現效果，目前尚未見聯邦濾波在實際組合導航產品中應用的實例報道。

本文通過兩個例子:一個簡單的3維系統和一個速度+姿態傳遞對準組合導航(詳細程序代碼可參見PSINSdemo est_federated_KF_simple_example3.m和test_align_transfer_fkf.m)，驗證了聯邦濾波是不可行的，難以獲得正確的濾波估計結果。想要從理論上證明聯邦濾波的不合理性，還是比較困難的。傳統聯邦濾波不是普遍成立的，在特定系統中或許可以使用，但是應當證明聯邦次優濾波不至于太次，與集中濾波相比次優估計結果是可接受的，當然這種可用性條件的給出或證明也是比較困難的。因此，對于以精度為主要性能指標的組合導航系統，聯邦濾波的實用性值得商榷。