排除法巧解2022年高考全國(guó)理綜乙卷第16題

吳藎萱 朱建廉

（1.南京市第一中學(xué)，江蘇 南京 210001；2.南京市金陵中學(xué)，江蘇 南京 210005）

基于物理習(xí)題的解答，通常有兩種不同的目標(biāo)訴求：一是在考場(chǎng)環(huán)境下以“得分”為訴求的所謂“應(yīng)試解答”，二是在教學(xué)情境中以“明理”為目標(biāo)的所謂“教學(xué)解答”.而考場(chǎng)上針對(duì)業(yè)已被明示為單項(xiàng)選擇題的試題進(jìn)行解答時(shí)，如能敏銳地抓住某些“特殊數(shù)值”而切入所謂“排除法”的簡(jiǎn)單邏輯梳理，往往就可以巧妙地避開繁瑣的一般性理論推演，從而達(dá)成迅捷完成試題解答過(guò)程而輕松“得分”之目標(biāo).

本文以2022年高考全國(guó)理綜乙卷第16題的解答分析為例而明之.

例題.如圖1所示，固定于豎直平面內(nèi)的光滑大圓環(huán)上套著一個(gè)小環(huán).小環(huán)從大圓環(huán)頂端P 點(diǎn)由靜止開始自由下滑，在下滑過(guò)程中，小環(huán)的速率正比于

圖1

（A）它滑過(guò)的弧長(zhǎng).

（B）它下降的高度.

（C）它到P 點(diǎn)的距離.

（D）它與P 點(diǎn)連線掃過(guò)的面積.

針對(duì)上述試題，本文給出的所謂“從某種‘特殊數(shù)值’而切入，采用‘排除法’的定性或半定量的分析”之方法，可以確保在幾秒鐘內(nèi)便能夠迅速完成試題的解答運(yùn)作.相應(yīng)的分析過(guò)程如下所述.

解析：如圖2所示，設(shè)質(zhì)量為m 的小環(huán)從大圓環(huán)的頂端P 點(diǎn)處由靜止開始自由下滑了h 高度時(shí)獲得的速率為v，于是不難根據(jù)

圖2

表明，小環(huán)速率與它下落高度的算術(shù)平方根成正比而并非與下落高度成正比，選項(xiàng)（B）被排除.

如圖3 所示，設(shè)大環(huán)半徑為R，環(huán)心為O 點(diǎn)，質(zhì)量為m 的小環(huán)下滑到與O點(diǎn)等高處時(shí)的速率為v1、下滑到大圓環(huán)底端時(shí)的速率為v2，由

圖3

小環(huán)從P 點(diǎn)開始下滑，在獲得速率v1和v2的過(guò)程中滑過(guò)的弧長(zhǎng)分別為

表明，小環(huán)速率與滑過(guò)的弧長(zhǎng)并不成正比，選項(xiàng)（A）被排除.

如圖4所示，仍設(shè)大環(huán)半徑為R，環(huán)心為O 點(diǎn)，質(zhì)量為m 的小環(huán)下滑到與O點(diǎn)等高處時(shí)的速率為v1、下滑到大圓環(huán)底端時(shí)的速率為v2，則依然可得到v1與v2的比值仍如（1）式所給出.

圖4

但是，小環(huán)與大圓環(huán)頂點(diǎn)P 的連線在小環(huán)下滑過(guò)程中所掃過(guò)的面積卻分別為

上式表明，小環(huán)速率和小環(huán)與P 點(diǎn)連線掃過(guò)面積不成正比，選項(xiàng)（D）被排除.

既然上述分析理由極其充分地依次排除了選項(xiàng)（A）、（B）、（D），那么我們便可以在所謂“試題命制無(wú)誤”的前提下自信而做出如是之判斷，即此題應(yīng)選（C）.

照理說(shuō)，建立在上述分析基礎(chǔ)上而給出的解答已經(jīng)是基于試題“應(yīng)試解答”過(guò)程的終極性判斷.但是，考慮到許多教師對(duì)該試題涉及到的理論推演眾說(shuō)紛紜，所以本文擬把針對(duì)該試題以“得分”為訴求的“應(yīng)試解答”進(jìn)一步推進(jìn)到以“明理”為目標(biāo)的“教學(xué)解答”之中而對(duì)試題每一個(gè)選項(xiàng)均從不失一般性的角度切入進(jìn)行理性的推演，如斯之工作在達(dá)成所謂“明理”目標(biāo)的同時(shí)，還可以反襯“排除法”解答之巧妙，其具體的分析如下.

解析.如圖5 所示，設(shè)大圓環(huán)半徑為R，大圓環(huán)圓心為O 點(diǎn)，質(zhì)量為m 的小環(huán)下滑了h 高度時(shí)滑過(guò)的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)、與P 點(diǎn)相距為d、與P 點(diǎn)連線掃過(guò)的面積為S、與O 點(diǎn)連線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，在如是之“不失一般性”的假設(shè)前提下，讓我們理性推演而導(dǎo)出試題4個(gè)選項(xiàng)分別提及的下述關(guān)系，即速率v 與弧長(zhǎng)L 間的函數(shù)關(guān)系v=f1（L），速率v與高度h 間的函數(shù)關(guān)系v=f2（h），速率v與距離d 間的函數(shù)關(guān)系：v=f3（d），速率v 與面積S 間的函數(shù)關(guān)系v=f4（S）.

圖5

解析：由機(jī)械能守恒和圖5 所示的幾何關(guān)系可得

看上去，由（4）式給出的“S 表示為θ 的函數(shù)”而獲取其反函數(shù)后代入（3）式便可完成所謂“速率v與面積S 間函數(shù)關(guān)系”的構(gòu)建，但是形如（4）式所示之超越函數(shù)的反函數(shù)無(wú)法給出顯性表達(dá)，所以我們只能做出如下判斷.

小環(huán)下滑獲得的速率與小環(huán)和P 的連線掃過(guò)面積間的一般性函數(shù)關(guān)系只能隱性存在而不能給出顯性表達(dá)，而這種隱性存在的函數(shù)顯然不可能是正比例函數(shù).

在結(jié)束本文之際想強(qiáng)調(diào)指出：針對(duì)被明示為單項(xiàng)選擇題型的試題在考場(chǎng)的環(huán)境中作所謂以“得分”為目標(biāo)訴求的“應(yīng)試解答”時(shí)，從某種“特殊數(shù)值”切入到“排除法”所對(duì)應(yīng)的邏輯梳理過(guò)程，從而避開不失一般性的繁雜理性推演，顯然是一種上佳的選擇.