外力作用下板塊模型運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題分析

趙清鋒

（武漢市卓刀泉中學(xué)建和分校，湖北 武漢 430065）

板塊模型是物理學(xué)中的基本模型.木板與物塊的運(yùn)動(dòng)情況受其質(zhì)量、板塊之間動(dòng)摩擦因數(shù)、木板與地面之間動(dòng)摩擦因數(shù)、外力的作用對(duì)象、外力大小、外力方向等多個(gè)因素的影響.條件不同，板塊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同，給出不同條件運(yùn)動(dòng)狀態(tài)結(jié)果不同.這也是中學(xué)物理常考的重點(diǎn)內(nèi)容.相關(guān)文獻(xiàn)多研究水平外力作用在物塊或木板上從而分析板塊運(yùn)動(dòng)情況，［1-5］本文從不同外力沿不同方向的角度對(duì)板塊模型運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)討論，為相關(guān)研究提供思路.

1 基本模型及物塊和木板運(yùn)動(dòng)的臨界條件

水平地面上有一質(zhì)量為m1的長(zhǎng)木板，木板的左端上有一質(zhì)量為m2的物塊，用與水平方向成θ角的拉力F 作用在物塊上，考慮外力F 不同，物塊和木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同，設(shè)F 隨時(shí)間t 變化關(guān)系為F=k·t（k為常量）.木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2.假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動(dòng)摩擦力相等，重力加速度大小為g，如圖1所示.

圖1 板塊模型

當(dāng)外力很小時(shí)，物塊和木板均不運(yùn)動(dòng)，隨著外力F 增大到一定程度，物塊開始運(yùn)動(dòng)，而此時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況可能出現(xiàn)兩種情況：（1）物塊運(yùn)動(dòng)，木板靜止；（2）物塊和木板一起向右運(yùn)動(dòng).對(duì)m2和m1分別進(jìn)行受力分析如圖2、圖3所示.其中F12為木板對(duì)物塊的支持力，f12為木板對(duì)物塊的摩擦力，F(xiàn)21為物塊對(duì)木板的壓力，f21物塊對(duì)木板的摩擦力，F(xiàn)地為地面對(duì)木板的支持力，f地為地面對(duì)木板的摩擦力，m1g和m2g分別為木板和物塊所受的重力.

圖2 對(duì)物塊m2進(jìn)行受力分析

圖3 對(duì)木板m 1進(jìn)行受力分析

隨著拉力F 增加，物塊與木板之間最大靜摩擦力f12m和木板與地面之間對(duì)應(yīng)的最大靜摩擦力f地m也隨之變化，即

從（1）（2）兩式均可以看出，f12m和f地m均為拉力F 的一次函數(shù)，隨著F 的變化，當(dāng)f12m和f地m相等，且等于拉力F 在水平方向的分力F cosθ時(shí)，此時(shí)達(dá)到物塊與木板之間、木板與地面之間剛要運(yùn)動(dòng)的臨界條件，令f12m=F cosθ，此時(shí)可得

根據(jù)以上分析，取m1=2 kg、m2=1 kg、μ2=0.5、g=10 m／s2，μ1滿足（4）式，分別取θ=30°、θ=-30°、θ=0°，數(shù)值計(jì)算并作圖分析.圖4（a）（b）（c）為f12m、f地m、F cosθ隨F 的變化關(guān)系圖像.從圖中可以看出，當(dāng)μ1滿足（4）式時(shí)，與上文分析一致.

圖4 θ取不同值時(shí)，f 12m、f地m、F cosθ隨F 的變化關(guān)系

當(dāng)F 滿足（3）式時(shí)，對(duì)應(yīng)的臨界力F cosθ隨θ的變化關(guān)系如圖5所示.

圖5 F cosθ隨θ 變化關(guān)系

2 θ＞0，物塊和木板運(yùn)動(dòng)的情況分析

2.1 物塊運(yùn)動(dòng)，木板靜止

圖6 f 12m、f地m、F cosθ隨拉力F 的變化關(guān)系

圖6（a）-（d）中μ1取值分別為μ1=0.15，μ1=0.1667，μ1=0.3，μ1=0.6.圖像分析結(jié)果與上文討論結(jié)果一致，且θ＞0時(shí)，若開始木板未動(dòng)，則一直滿足f12m＜f地m，即木板將一直不動(dòng).數(shù)值計(jì)算結(jié)果可得，當(dāng)拉力F=4.480 N 時(shí)，物塊開始做加速度增加的加速運(yùn)動(dòng)，直到物塊脫離木板，如圖7所示.

圖7 加速度a隨F 的變化關(guān)系

2.2 物塊和木板先一起向右運(yùn)動(dòng)，再相對(duì)運(yùn)動(dòng)

根據(jù)上述數(shù)值計(jì)算結(jié)果得到F1=3.2750 N、F2=4.9341 N、F3=10 N、F4=15.8370 N、F5=20 N.當(dāng)拉力F≤F1時(shí)，物塊和木板均處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)拉力F1＜F≤F2時(shí)，物塊和木板一起做加速度增加的加速運(yùn)動(dòng)，在拉力F=F2時(shí)，木板加速度達(dá)到最大，為a2max=0.5066 m／s2；當(dāng)F＞F2時(shí)，物塊和木板相對(duì)運(yùn)動(dòng)，物塊做加速度增加的加速運(yùn)動(dòng)，直到F=F5時(shí)，物塊離開木板不再水平運(yùn)動(dòng)，而木板先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F=F3時(shí)，木板的加速度減小為0，然后繼續(xù)減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力F=F4時(shí)，木板速度減小為0，加速度達(dá)到最小a4min=-0.5837 m／s2，之后靜止不動(dòng).

圖8

本文討論的拉力F 隨時(shí)間t 均勻變化，若拉力為某一固定值，對(duì)物塊的運(yùn)動(dòng)的加速度沒(méi)有影響，僅僅是拉力F≥F3時(shí)，木板由于沒(méi)有初始速度而不再減速，處于靜止不動(dòng).對(duì)于拉力F 為其他函數(shù)，也可以用類似的方法進(jìn)行分析.

3 θ＜0，物塊和木板運(yùn)動(dòng)的情況分析

3.1 物塊運(yùn)動(dòng)，木板靜止

按照上圖取值，通過(guò)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拉力F=8.1165 N 時(shí)F·cosθ=f12m，物塊開始運(yùn)動(dòng).當(dāng)F=F6=40 N 時(shí)f12m=f地m，木板開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)根據(jù)圖形分析可得，物塊與木板均做加速度增加的加速運(yùn)動(dòng)，物塊加速度增加得更快.

從數(shù)值計(jì)算結(jié)果及圖像分析可得，當(dāng)μ1＞μ2時(shí)，圖10（b）中物塊加速度變化與圖9（b）中一樣，只是木板此時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài).

圖9

圖10

3.2 物塊和木板先一起向右運(yùn)動(dòng)，再相對(duì)運(yùn)動(dòng)

圖11

根據(jù)上述數(shù)值計(jì)算結(jié)果得到，F(xiàn)1=6.3883 N、F2=9.3863 N.當(dāng)拉力F≤F1時(shí)，物塊和木板均處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)拉力F1＜F≤F2時(shí)，物塊和木板一起做加速度增加的加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)F＞F2時(shí)，物塊和木板相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且均做加速度增加的加速運(yùn)動(dòng)，物塊加速度增加得更快.