成形法加工螺旋錐齒輪切削力模型研究

羅 靜 康先強

（①重慶理工大學機械工程學院，重慶 400054；②重慶理工大學汽車零部件先進制造技術教育部重點實驗室，重慶 400054）

錐齒輪機床銑齒切削力研究一直是切削過程研究的重點問題，同時也是銑齒振動刀具磨損、工藝參數優化等研究的基礎。目前對銑齒切削力建模的方法主要包括3 種：一是根據金屬切削理論，將切削力表達為進給量、主軸轉速和背吃刀量等加工參數的函數，但這種方法需要進行大量的正交實驗，確定加工參數前面的系數；二是機械模型，將刀具切削刃沿軸向進行離散，對離散后的微段切削刃進行求解，對微段切削刃積分即可求解出刀具上的切削力；三是根據簡化切削力模型，將切削力當作切削面積和切削力系數的乘積，其中切削力系數由刀具材料和齒坯材料決定。

對于上述模型，國外Yang Y[1]、Pradeep K B[2]、Korkut I[3]等學者分別對其進行了相應的應用。Andersson C[4]建立了一種適用于多齒加工的切削力模型，對各參數與總切削力之間的影響進行了分析。國內賈新杰[5]通過正交實驗標定銑削力系數，并對瞬時切削面積進行推導，建立了成形法加工螺旋錐齒輪大輪切削力模型，但銑削力系數是通過正交實驗進行標定，應用效率需要進一步提高。王勇[6]采用切入法加工螺旋錐齒輪大輪的原理，推導了齒坯、刀具和機床坐標系的關系模型。石銳[7]等人根據材料Johnson-Cook 本構方程和斜角切削理論，對剪切區的剪切應力進行計算，并結合瞬時切削面積構建展成法粗銑小輪的銑削力模型。Zheng F Y[8]等人對展成法加工螺旋錐齒輪過程中的未變形切屑面積進行了歸納總結，在此基礎上提出了一種高效、準確的面銑切削力預測模型。

本文通過推導成形法銑齒過程中的瞬時未變形切削面積，結合剪切區應力計算結果，構建了成形法加工螺旋錐齒輪大輪的瞬時切削力模型，并設計實驗對理論模型進行了驗證。

1 成形法銑齒加工原理

成形法加工螺旋錐齒輪時，首先需要調整齒坯安裝角和刀具位置，使其保持正確的相對位置。在銑齒加工過程中，齒坯和刀盤的相對位置保持不變，齒坯保持不動，刀盤旋轉并沿著刀盤軸線方向進給，齒輪齒形取決于刀具形狀，其加工原理如圖1 所示。當完成一個齒的加工后，刀具退刀，齒坯旋轉進行分度，并進行下一個齒的加工，循環該切削過程，直至完成所有齒的加工。

圖1 成形法銑齒加工原理圖

2 未變形切屑切削寬度和厚度計算

2.1 刀片產形面方程

在成形法加工螺旋錐齒輪大輪時，內外刀片切削刃繞著刀盤中心旋轉形成兩個圓錐面，建立其刀盤坐標系如圖2 所示。

圖2 成形法加工大輪刀盤坐標系

根據成形法加工大輪的刀盤坐標系，可得到內外刀片的產形面方程為

式中：(μ,θ) 為 刀片產形面上的動點參數；rc為內外刀片刀尖點處半徑，其中rc=r0±0.5W，r0為刀盤名義半徑，W表示刀錯距，外刀取“ +”，內刀取“-”。αm為 內外刀片齒形角，m=(e,i)，其中e表示外刀取“+”，i表示內刀取“-”。

2.2 螺旋錐齒輪大輪面錐方程

螺旋錐齒輪切削加工過程中，刀盤上的外刀片和內刀片首先與大輪面錐接觸，因此首先建立大輪面錐坐標系Sa，并在軸交錯點處建立大輪坐標系S2。當齒坯完成設計后，大輪齒坯各參數值均為已知，如圖3 所示。

圖3 大輪面錐坐標系及大輪坐標系示意圖

根據大輪面錐坐標系Sa，可得到大輪面錐方程為

式中：(p,β)表 示大輪面錐上的動點參數；B表示大輪齒面寬；δa表示大輪面錐角；M為面錐頂點與軸交錯點之間的距離。

2.3 成形法銑齒機床加工坐標系

圖4 為成形法加工螺旋錐齒輪大輪的機床坐標系，其包含的錐齒輪機床調整參數分別為床位zj，水平刀位H、垂直刀位V、水平輪位X2和錐齒輪機床安裝根錐角 δM2。

圖4 成形法加工螺旋錐齒輪大輪機床坐標系

因此，刀片產形面方程可通過坐標轉換，變換到機床坐標系中，其方程可表達為

式中：Mmt為刀盤坐標系St變換到機床坐標系的轉換矩陣。

同理大輪面錐方程變換到機床坐標系中，其方程為

式中：Mmf、Mf2、Ma2為面錐坐標系變換到機床坐標系的轉換矩陣。

因此，可得到在機床坐標系中，刀片產形面方程和大輪面錐方程的交線方程為

為了得到刀盤上內外刀片的切入切出角度，即內外刀片在切入切出角范圍內對齒坯進行切削。因此，需對內外刀片的切入切出角度進行計算，刀盤切入切出齒坯的相對位置如圖5 所示。

圖5 刀具和齒坯相對位置示意圖

因此，可求得切入角 θst、切出角 θex分別如式（6）、式（7）所示，其中k為刀盤轉過的圈數。

2.4 瞬時未變形切削寬度和厚度計算

在成形法銑齒過程中，為簡化研究對象，假定在銑齒加工過程中，任意時刻只有單個刀齒參與切削，即相鄰刀片刀刃之間的距離大于齒線長度，其滿足任意時刻只有一個刀齒參與切削的條件為：

其中：r0為刀盤名義半徑，ZH為刀盤上的刀齒數，B為齒面寬，βM為大輪中點螺旋角。

螺旋錐齒輪銑齒過程中，刀盤以轉速n旋轉，其切削方向為刀盤的切向，同時刀具沿著刀具軸線方向進給，當刀具處于大輪全齒高Hg位置時，刀具與齒坯進行接觸，切削開始，當移動到床位Zj=0 時，刀片刀尖平面與齒槽底平面相切，完成一個齒的加工，刀具退刀同時齒坯進行分度，進行下一個齒的切削，不斷循環直至完成所有齒的加工，刀盤上刀齒的分布情況如圖6 所示。

圖6 刀片在刀盤上的安裝位置示意圖

其中，相鄰刀片的夾角即節距角 φ1=2π/ZH，每齒進給量fc=f/(nZH)，床位zj(t)=Hg-fct。

則刀片j在任意時刻的轉角為

式中：j取奇數表示外刀片，j取偶數表示內刀，j=1,2,···,ZH。

對于外刀片而言，當軸向進給運動的床位保持在0 ≤zj(t)≤Hg時，且刀片任意時刻轉角保持在2kπ+θst≤θ(t)≤2kπ+θex時（即在切入切出角范圍內），其中k為刀盤旋轉的圈數，將 (θ(t),zj(t))代入機床坐標系里所建立的交線方程中可求得uej(θ(t),zj(t))。

因此，外刀片主切削刃的瞬時未變形切削寬度和厚度分別為

由于在實際加工過程中，螺旋錐齒輪的齒槽是刀具頂刃切削形成，因此在計算中需要考慮頂刃的影響，其瞬時未變形切削寬度和厚度分別為

式中：Sb為刀頂寬，Sb=(0.5-0.75)W，W為刀錯距。

同理可求得內刀片主切削刃的瞬時未變形切削寬度和厚度分別為

內刀片頂刃的瞬時未變形切削寬度和厚度分別為

其中：內外刀齒主切削刃和頂刃切削時的瞬時未變形切削寬度和厚度如圖7 所示。

圖7 瞬時切削寬度和厚度示意圖

3 剪切區應力計算

JC 本構模型是一類描述應變、應變率、溫度影響關系的函數，根據斜角切削理論及材料的JC本構模型可計算得到材料的剪切區應力τ即單位橫截面切削力，其具體公式如下[9]。

在等效平面上對非等分剪切區模型進行應用，可得到材料JC 本構方程中剪切區的剪切應變 ξ、剪切應變率計算公式為

由于在成形法銑齒過程中，刀具的切削刃方向和切削速度方向并不垂直，成一夾角，因此滿足斜角切削理論，因此可根據斜角切削理論對剪切流動角 ηs、等效平面角 ηe進行計算。

同理需要對法向剪切角 φn、法向前角 αn、流屑角 ηc的值進行計算。根據斜角切削理論，法向前角的計算公式如下。

在斜角切削中，法向前角 αn、法向剪切角 φn、摩擦角 β滿足Merchant 公式[10]。

根據Schulz 公式[11]，刀屑面上的平均摩擦系數和摩擦角的關系為

式中：f為平均摩擦系數，f0、p為常數值，取其典型值f0=0.704，p=-0.2048。

切屑速度Vc可根據斜角切削的理論公式計算得到

式中：根據Stabler 法則[12]，當刃傾角較小時(λs≤15。)，流屑角 ηc和刃傾角近似相等。本文所采用的刀具刃傾角為5°，滿足條件，因此有

對于剪切區速度分布特性參數q，在進行塑性材料加工時，低速切削取q=3，高速切削取q=7[13];本文采用的齒坯材料為42CrMo4 結構鋼，其本構模型常數為[14]A=595 MPa，B=580 MPa，C=0.023，m=1.03，n=0.133，=0.0011 s-1，Tr=1 793 K，Tm=293 K。

4 刀齒切削力建模

成形法銑齒過程中，刀片上所受到瞬時切削力的大小由齒輪齒坯材料的單位橫截面切削力和瞬時切削面積決定，瞬時切削面積的計算取決于瞬時未變形切削寬度和厚度。因此，任意時刻t，刀片j上的瞬時切向切削力FTqj由主切削刃切向切削力FTqm和頂刃切向切削力FTqv合成；刀片j上的瞬時徑向切削力FNqj由主切削刃徑向切削力FNqm和頂刃徑向切削力FNqv合成；刀片j上的瞬時軸向切削力FZqj由主切削刃軸向切削力FZqm和頂刃軸向切削力FZqv合成，其結果分別為

如圖8 所示，將刀片j主切削刃和頂刃的切向、徑向、軸向切削力分解到刀盤坐標系下的x、y、z這3 個方向，則第j個刀片沿坐標軸在3 個方向的瞬時切削力為

圖8 刀片j 受力分布情況圖

5 切削力程序編制及試驗驗證

5.1 切削力計算程序編制

為了得到成形法銑齒過程中，任意時刻t的切削力，使用Matlab 編程，對刀具上的切削力進行求解。其求解思想為，將齒槽沿著齒高方向進行分層，刀盤從第一圈開始進行循環，依次判斷刀盤上每個刀齒是否參與切削。如果參與切削，則計算參與切削刀片主切削刃和頂刃的切削寬度和厚度，如果未參與切削，則進入下一個刀齒的計算，當刀盤上所有刀齒都判斷完成后，跳出該層循環，刀盤進入下一圈，重新開始上述循環，直至完成一個齒槽的加工。

最后根據斜角切削理論和材料本構方程計算剪切應力τ，結合上述求解的瞬時切削面積，叢而對銑齒過程中3 個方向的瞬時切削力進行求解，其求解流程如圖9 所示。

圖9 切削力計算流程圖

5.2 切削力試驗驗證

（1）切削力測量設備

本次實驗由于測力儀裝上后，導致機床限位，無法對標準大輪齒坯進行切削，選擇在小齒坯上進行一次切削。使用小齒坯進行切削，只是對大輪齒坯幾何參數、機床調整參數的數值進行了改變，但使用成形法加工所需的參數及加工原理并未發生變化，因此仍然可以使用該方法對成形法加工螺旋錐齒輪大輪的理論切削力模型進行驗證。根據成形法加工原理，將刀具調整到切齒位置，保持齒坯位置和刀具的相對位置不變，進行一次切削。

實驗所采用的機床為YKH2235 數控螺旋錐齒輪銑齒機。設備安裝時，測力儀的一端與主軸連接，刀盤固定在測力儀的另一端，并在機床工裝上安裝相應的定子部分，如圖10。當進行切削加工時，由于切削力的作用，測力儀內部的石英晶體（轉子）會產生電信號，電信號通過定子與轉子間的電磁感應，將信號傳輸給定子（如表1）。定子與電荷放大器相連，將傳輸來的電荷信號進行放大，再傳輸給數據采集系統，數據采集系統與計算機進行連接，在DynoWare 軟件界面上實時顯示被測切削力。

表1 切削力測量儀器

圖10 切削力測量設備

（2）實驗過程

為了保證實驗結果的準確性，在刀盤安裝在測力儀上面后，需要采用百分表檢查主軸、測力儀和刀盤的同軸度，保證跳動誤差小于0.01 mm。將測力儀外定子的信號傳輸線與電荷放大器連接，同時將電荷放大器與數據采集器相連，再通過USB 連接線與計算機進行連接。連接完成后，在測量前需要在DynoWare 采集軟件中對數據采集過程進行相關參數設定。完成設定后，3 個方向銑削力采集量程為1 500 N；采集頻率為 1 000 Hz；在機床主軸開始旋轉時，點擊開始記錄，切削完成后點擊結束。

（3）實驗結果

實驗中所選用的齒坯參數和銑刀盤主要參數如表2 所示。

表2 成形法加工齒坯幾何參數和銑刀盤參數

主軸轉速為n=120 r/min，進給速度為20 mm/min的加工參數下，進行銑齒切削力的測量。其測量結果可在DynoWare 切削力采集軟件中實時顯示，其結果如圖11 所示。

圖11 銑齒切削力實測結果

從圖11 中，可以發現在前段切削力平穩變化時，為主軸空轉，其切削力數值依然在上下波動，其原因為測力儀和刀盤自重引起的，此時刀齒未切入工件。當切削力有一個變大趨勢段，刀齒開始切入齒坯。在后期進行實驗切削力數據處理時，會將測力儀和刀盤自重產生的切削力進行相應的減法運算，其中扭矩參數Mz不在單獨考慮，因扭矩參數可轉換為切削力數據。為了進一步對切削力數據進行分析，分別對X、Y、Z這3 個方向切削力數據導出，并截取其穩定切削時刻22.16～22.43 s 內的切削力數據。將其3 個方向切削力的實測數據與理論計算結果在同一圖中進行繪制，如圖12～14 所示。

圖12 X 方向切削力

圖13 Y 向切削力

從圖14 中可以看出切削力理論計算結果與實驗結果變化趨勢基本一致，X、Y、Z方向刀齒切削力變化都是先增大后降低，即每個刀齒切入齒坯時，切削寬度先增大后減小；Y向切削力是隨著方向交錯變化的；Z向切削力中，力的幅值最小。統計每個波峰的實驗和理論計算切削力最大值差值的絕對平均值，可以得出X方向切削力的相對誤差為9.24%，Y方向切削力的相對誤差為13.18%，Z方向切削力的相對誤差為13.25%，各方向切削力的相對誤差均在0～14% 的誤差范圍內，因此所建立的模型具有一定的精度。

圖14 Z 向切削力

6 結語

（1）通過推導成形法加工螺旋錐齒輪過程中的瞬時未變形切削面積，結合齒坯材料剪切區應力計算結果，構建了成形法加工螺旋的切削力模型，并使用Matlab 編寫了仿真計算程序。

（2）設計銑齒實驗，對理論模型進行驗證，經驗證后發現，在X、Y、Z這3 個方向上切削力的理論計算結果和實驗結果相對誤差分別為9.24%、13.18%，13.25%。理論切削力模型計算結果和實驗結果誤差在14% 范圍內，說明所建立的切削力模型具有較好的精度，為錐齒輪機床的設計，銑齒振動、刀具磨損研究等奠定了理論基礎。