機床線軌連接結構精度特性計算與評價方法

趙宏安 吳慧敏

（通用技術集團大連機床有限責任公司，遼寧 大連 116620）

線軌是機床中的一類重要運動連接結構，其對機床整機精度及特性具有重要影響。目前，在機床整機精度分析與評價中，常用的模型有矢量模型[1]、誤差矩陣模型[2]、多項式模型[3]和多體運動學模型[4～6]等。這些模型考慮了支承件幾何誤差與彈性變形、機床熱誤差和運動副誤差等因素，可反映整機誤差與各誤差源之間的關系，但缺少線軌中彈性連接面與運動等對機床整機精度及其特性的影響，連接結構、預緊和載荷等因素仍然沒有涉及，使得上述模型難以在機床設計、裝配以及調控等環節中應用。需要研究線軌連接結構及其精度特性的計算與評價方法，適應機床載荷作用與運動狀態下的多彈性體連接組合的精度特性分析問題。

機床中的線軌連接結構形式多樣且復雜，其精度與性能計算分析相對困難。孫健利[7]等在線軌靜態特性方面進行了理論與試驗研究，建立了線軌副額定靜、動載荷下的靜剛度模型，并應用遺傳算法對線軌在運動過程中的直線度誤差進行了計算與評定[8]。姜大志[9]等建立了線軌靜剛度的有限元模型，分析了結構參數以及載荷等對剛度的影響。祝書龍[10]等基于赫茲接觸理論分析了載荷對滾動導軌結合部剛度特性的影響規律。Gyungho K[11]等建立了帶有形狀誤差及運動誤差的滾動直線導軌誤差預測模型。Majda[12]提出了一種基于有限元法的線軌幾何誤差模型，分析了運動誤差對線軌連接面及機床的幾何誤差的影響。清水茂夫[13]等通過試驗方法對線軌連接面的誤差均化作用進行了分析。機床的線軌連接結構由多組線軌組成，各線軌之間的誤差與剛度等相互作用，形成線軌連接結構的整體精度與特性，其計算與評價尚缺少有效的方法。

本文提出彈性與幾何誤差約束下的線軌連接結構精度等效模型，分析了多滑塊等線軌連接結構的變形特點，以齊次變換矩陣為基礎，融合線軌等效模型，建立面向整機精度特性的線軌連接結構的精度特性計算與評價方法，分析不同影響因素的作用規律，為機床線軌連接結構的設計、裝配與調控等提供依據。

1 機床線軌連接結構及其精度特性

1.1 線軌連接結構特征

按照線軌中滑塊、滾動體和滑軌不同的接觸狀態，線軌可分為四滾道型、兩滾道型、分離型和交叉圓柱滾子V 形直線導軌副4 類。4 類線軌的基本工作原理相同，因此本文以機床中最常見的線軌-滾珠直線導軌為例進行研究，其結構特征如圖1所示。

圖1 滾動直線導軌結構

1.2 線軌連接結構的精度特性

在理想情況下，滑塊會沿滑軌方向作單自由度的移動。由于現實情況下滑軌、滾動體和滑塊存在幾何誤差及裝配誤差等，所以在工作過程中線軌會存在運動誤差。因此，在本文中結合誤差的映射關系及零件的剛度特性，選取3 項因素作為影響線軌連接結構精度的主要因素，具體內容如表1 所示。

表1 主要精度影響因素

2 機床線軌連接結構的變形特征

以某立式機床為例，對其線軌連接結構進行等效，建立線軌等效有限元模型，通過計算得到其位移場數值。

2.1 線軌連接結構的等效模型

2.1.1 線軌幾何結構與模型簡化

為了提高有限元計算的效率，需對機床的幾何結構進行簡化，簡化的原則為：（1）保證線軌上載荷與約束的真實性，僅保留立柱、主軸箱和十字滑臺。（2）減少不必要的輔助結構，例如鑄造倒角等。（3）去除線軌連接結構中的滾動體，滾動體在有限元模型中進行等效。簡化前后的幾何模型如圖2 所示。

圖2 簡化前后機床幾何結構

2.1.2 線軌連接結構的模型載荷

對此立式機床，銑削時的銑削力是其工作時的主要外部載荷。本文的銑削力由切削力指數經驗公式計算得到，指數公式為

式中：FC為主切削力；、Z、d0分 別 為每齒進給量、切削深度、切削寬度、齒數和銑刀直徑，其他指數均為與刀具種類、工件材料等有關的修正系數。在得到銑削主切削力FC后，可通過查詢銑削力分配表將其分解為對應方向上的進給抗力Ff、背向抗力Fp和 軸向抗力Fa。

機床不同的工況對應不同的工作載荷，結合實際加工情況，本文選擇機床精銑切削力和最大銑削切削力作為模型的載荷。本文中具體切削參數與切削力計算結果如表2、表3 所示。

表2 切削參數

表3 切削力計算結果

2.1.3 線軌連接結構的模型約束

（1）連接結構約束

在有限元模型中對線軌、絲杠進行了彈簧等效，為了保證模型不發生剛性位移，需要引入局部約束。對絲杠，需將絲杠螺母和軸承座內圈節點耦合到中心點，如圖3 所示。對線軌，需將剛性桿端點的Z向位移耦合到滾道曲率中心上，限制線軌的Z向位移自由度，如圖4 所示。

圖3 絲杠彈簧等效與約束圖

圖4 線軌彈簧等效與約束

（2）幾何誤差等效約束

為了在模型中考慮幾何誤差的影響，在本文中將幾何誤差轉化為載荷加載到滑軌面上。以滑軌的最大變形量作為其幾何誤差，載荷與幾何誤差的關系如圖5 所示。

圖5 載荷與幾何誤差關系

（3）全局約束

根據立式機床簡化幾何模型的結構，在十字滑臺線軌滑塊處施加X、Z向約束，在絲杠螺母端面施加Y向約束，如圖6 所示。

圖6 全局約束

2.2 機床線軌連接結構位移場計算分析

2.2.1 理想情況下線軌連接結構位移場計算分析

建立線軌連接結構等效模型，不施加幾何誤差彈性約束，計算結果如圖7 所示。

圖7 理想情況下線軌模型位移場

從圖7 可知，理想精銑工況下機床立柱X向位移的范圍為-0.005～0.02 mm；Y向位移的范圍為-0.01～0.05 mm。最大載荷工況下機床立柱X向位移的范圍為-0.02～0.06 mm；Y向位移的范圍為-0.07～0.014 mm。

2.2.2 幾何誤差情況下線軌連接結構位移場計算分析

建立線軌連接結構等效模型，施加導軌面幾何誤差0.018 mm，計算結果如圖8 所示。

從圖8 可知，幾何誤差情況下，機床立柱X、Y向位移范圍與理想情況下基本一致。

圖8 幾何誤差情況下線軌模型位移場

3 機床線軌連接結構精度特性分析與評價

3.1 線軌連接結構的彈性運動學模型

建立線軌連接結構（立柱與主軸箱）彈性運動學模型的坐標系，如圖9 所示。圖中O0為固定坐標系；Oi為參考坐標系，表述了線軌連接結構在位移場中的初始位移情況；Oj為特征點坐標系，表述了線軌連接結構在位移場中的最終位移情況。

圖9 線軌連接結構運動學模型

在此基礎上，可以定義線軌連接結構的精度矢量模型，如圖10 所示。圖中Oj′為理想的特征點坐標系。

圖10 精度矢量模型

為了綜合考慮實際情況下特征點的位移與線軌的彈性變形，坐標系之間的坐標變換需要包含位姿特征變換和彈性特征變換兩部分。

位姿特征變換矩陣如式（2）所示。

式中，c 為cos，s 為sin。

坐標系之間的彈性特征為三向彈性位移(δpx,δpy2,δpz)和 三軸彈性轉角 (εpx,bmy,εmz)的耦合情況，其彈性特征變換矩陣如式（3）所示。

彈性變形 (εpx,bmy,εmz)都是很小的角度，由泰勒級數展開可知s in6 ?6、cos6 ?1，可將上式化簡為

位姿變換矩陣參數已知，為了獲得彈性特征變換矩陣參數，需將彈性特征與線軌連接面的真實變形聯系起來，如圖11 所示。具體過程如下：

圖11 主平面擬合

設主、副平面方程為

為求得主、副平面系數，設定以下目標函數

上式為平面線性回歸函數，c為變形后線軌連接面的齊次坐標 (x,y,z,1)，X為平面方程的系數矢量(A,B,C,D)；下式為以應變能最小為基礎的約束，δ為主軸箱子平面上特征點的變形量，K為主軸箱子平面特征點間的剛度矩陣。

通過求解上述目標函數，即可獲得主、副平面的方程，進而獲得平面的法矢量，法矢量記為n:(A1,B1,C1)。理想情況下線軌連接面的法矢量可能沿三向坐標軸 (x,y,z)的任一方向。彈性特征參數對應上述法矢量形式。

根據空間角度關系，可根據方程組（7）～（9）任選一組求解，對比3組方程可以看出其區別僅在于(εpx,bmy,εmz)先后求解順序不同，求解結果是一致的。

其中：(xi,yi,zi)為特征點的坐標值。

坐標系三向轉角(εMx,εMp,εMz)可由主平面的法矢量確定兩向轉角，由副平面確定另一向轉角。

3.2 線軌連接結構的靜態精度評價

誤差是精度高低的度量，因此線軌連接結構的靜態精度評價過程就是其靜態誤差的評價過程。根據第2 節的有限元模型，可求得其靜態誤差位移場。再根據圖10 的精度模型，可得到幾何誤差與有限元位移場的關系式如下。

式中：T0i為初試位移狀態矩陣，由前述位置變換矩陣與彈性變換矩陣相乘得到。幾何誤差e的大小受到表1 所示因素的影響。

本文類比形位公差定義與評定方法，建立針對線軌的誤差評價模型，具體如表5 所示，表中k為安全系數，t為幾何誤差的允許值。

3.3 線軌連接結構精度的影響因素分析

求解誤差位移場的模型與誤差評價模型已經建立，接下來具體分析表1 中3 個因素對線軌連接結構精度的影響。

3.3.1 載荷對精度的影響

在主軸的中心施加X向載荷，經過有限元等效模型求得位移場，根據精度評價模型求得其幾何誤差，具體結果如圖12 所示。

表4 評價模型

根據圖12 曲線可知，載荷變化對線軌連接面的幾何誤差影響較大。精銑工況下，各幾何誤差在誤差允許范圍內。

圖12 X 向載荷變化對幾何誤差影響

3.3.2 主軸箱位置對精度的影響

依然在主軸中心分別X向載荷，選取滑塊行程的5 個位置，幾何誤差計算結果如圖13 所示。

圖13 X 向載荷時滑塊位置對幾何誤差的影響

根據上圖曲線可知，主軸中心在Z=0～125 mm時，線軌連接結構的誤差超過允許值，精度保持性差。需要進一步優化。

3.3.3 初始誤差對精度的影響分析

對有限元等效模型施加初始幾何誤差約束，得到初始誤差與幾何誤差之間關系，結果如圖14所示。

根據圖14 中曲線可知，初始誤差會造成幾何誤差，但隨初始誤差變化，幾何誤差變化較小。

圖14 初始誤差變化對幾何誤差的影響

4 結語

（1）針對目前線軌整體精度的分析沒有可靠的分析方法，本文通過建立線軌連接結構的彈性運動學模型，定義一種靜態精度評價指標的計算方法，提出了機床線軌精度的評價模型。可提高有限元計算的效率，為線軌精度分析與評價提供基礎數據。

（2）運用上述方法對某立式機床進行性能分析與精度評價。計算得到機床線軌不同工況下的位移場，分析了載荷、滑塊位置和初始誤差等關鍵因素對機床線軌精度的影響。通過計算，滑塊位置對本機床線軌精度的影響很大，主軸箱中心在0～125 mm 處超過設計要求，需要進一步優化布置。

因此通過驗證，該評價方法可以對機床研發過程中的線軌精度進行有效的預判，為評價機床線軌精度和優化設計提供重要的理論依據。