基于方箱的氣浮工作臺控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析＊

朱思達(dá) 盧志偉 劉 波 張君安

（西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021）

隨著現(xiàn)代科技的飛速進(jìn)步，精密與超精密加工技術(shù)在各國科技產(chǎn)品競爭和軍事裝備競爭中扮演著越來越重要的角色。精密與超精密加工技術(shù)既是國家現(xiàn)代高新技術(shù)的重要發(fā)展方向，也對現(xiàn)代基礎(chǔ)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了保障。如今各國對精密及超精密加工設(shè)備的需求量在不斷增加，而這其中精密和超精密運(yùn)動導(dǎo)軌和運(yùn)動工作臺為超精密加工、光學(xué)精密測量及半導(dǎo)體等領(lǐng)域提供了重要的技術(shù)支撐，是眾多高技術(shù)產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)保障。精密二維工作臺是實現(xiàn)精密加工和精密加工的重要功能載體，它的性能直接影響了零部件的加工精度和效率。現(xiàn)如今能實現(xiàn)精密運(yùn)動的高性能二維氣浮工作臺應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，因而對氣浮工作臺的性能提出了更高的要求[1]。

氣浮工作臺是由復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動學(xué)以及伺服控制學(xué)所集成的系統(tǒng)。對于氣浮工作臺而言，最終要實現(xiàn)的目標(biāo)為：能夠按照給定軌跡精密運(yùn)動以及精準(zhǔn)定位。其實現(xiàn)精密運(yùn)動，不僅僅需要依靠精密運(yùn)動導(dǎo)軌以及高精度電機(jī)，還需要擁有穩(wěn)定且精準(zhǔn)的伺服控制系統(tǒng)[2]。由于氣浮工作臺采用氣浮導(dǎo)軌支承技術(shù)，使得整個工作臺阻尼小、慣性力大，易造成控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定，最終可能導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備壽命減少、性能降低，甚至設(shè)備損壞的后果。因此需要對伺服控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析研究，以避免造成嚴(yán)重后果。

安徽大學(xué)王立軍采用離散的李雅普諾夫函數(shù)去選擇滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的自適應(yīng)增益，充分抑制系統(tǒng)擾動，提高系統(tǒng)的魯棒性[3]。西安理工大學(xué)尹忠剛構(gòu)建基于永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型的無差拍電流預(yù)測控制算法，得到了算法的穩(wěn)定域，使控制算法在電機(jī)參數(shù)攝動范圍內(nèi)穩(wěn)定[4]。哈爾濱工業(yè)大學(xué)陳偉通過控制無功電流恒定調(diào)節(jié)輸出電壓來抑制電機(jī)振蕩，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性[5]。西安電子科技大學(xué)蘇玉鑫采用波波夫判據(jù)對閉環(huán)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，確保非線性閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的非線性增益的有效取值范圍[6]。

本文以二維氣浮工作臺伺服控制系統(tǒng)為例，采用伯德圖穩(wěn)定性分析法，建立各環(huán)控制器開環(huán)傳遞函數(shù)，利用Matlab 計算出伯德圖，根據(jù)工程指標(biāo)進(jìn)行穩(wěn)定裕度分析，對于出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行了參數(shù)修正，并建立實驗單元驗證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為各類氣浮工作臺伺服控制系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計和穩(wěn)定性分析打下了基礎(chǔ)。

1 二維氣浮工作臺及驅(qū)動控制系統(tǒng)

課題組研制的一種基于精密計量方箱的精密二維氣浮靜壓平面運(yùn)動平臺主要由機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、氣動系統(tǒng)和驅(qū)動控制系統(tǒng)組成。機(jī)械結(jié)構(gòu)部分主要由精密計量方箱、X軸氣浮導(dǎo)軌、Y軸氣浮導(dǎo)軌、直線電機(jī)、光柵尺位移傳感器以及伺服驅(qū)動器、控制卡所構(gòu)成。二維氣浮工作臺如圖1 所示[7]。

圖1 二維氣浮工作臺

二維氣浮工作臺各軸向的控制系統(tǒng)均采用全閉環(huán)控制，全閉環(huán)控制系統(tǒng)是由電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)構(gòu)成，其中電流環(huán)為最內(nèi)環(huán)，采用PI 調(diào)節(jié)方式；速度環(huán)為中環(huán)，同樣采用PI 調(diào)節(jié)方式；位置環(huán)為最外環(huán)，采用P 調(diào)節(jié)方式。驅(qū)動控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 驅(qū)動控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 驅(qū)動控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1 直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型

直線電機(jī)的運(yùn)行原理與旋轉(zhuǎn)電機(jī)的運(yùn)行原理相類似。在理想條件下，建立直線電機(jī)在d-q模型下電流模型方程如下。

式中：Ud、Uq分別是直線電機(jī)動子電壓d、q軸分量，V；id、iq分別是直線電機(jī)動子電流d、q軸分量，A；Ld、Lq分別是直線電機(jī)動子電感d、q軸分量，H；R為電樞繞組的電阻，Ω；ω為直線電機(jī)等效轉(zhuǎn)子角速度，rad/s，且 ω=(π/τ)PnV，V為動子運(yùn)動速度，m/s；τ為磁極距，mm；Pn為動子線圈的極對數(shù)，φf為永磁體磁勢，Wb。

在假設(shè)沒有任何干擾的情況下，計算直線電機(jī)的電磁推力如下。

輸出總功率為

電磁推力表達(dá)式為

對于U 型平板式直線電機(jī)，Ld、Lq相等，所以簡化電磁推力方程為

根據(jù)牛頓第二定律，直線電機(jī)機(jī)械運(yùn)動方程為

式中：M為運(yùn)動部件質(zhì)量，kg；x為動子位移量，m；f為工作臺與導(dǎo)軌之間的摩擦系數(shù)；kx為彈性系數(shù)；Fe為 電機(jī)電磁推力，N；FL為負(fù)載干擾力，N。

對于二維氣浮工作臺，可以將摩擦力忽略。在id=0以及電壓確定的條件下，可以推導(dǎo)出直線電機(jī)狀態(tài)平衡方程為[8]

在初始值為零時，將式（7）進(jìn)行拉氏變換，并以電壓作為信號輸入，動子運(yùn)動速度作為信號輸出。

氣浮工作臺直線電機(jī)相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

表1 直線電機(jī)參數(shù)表

2.2 電流環(huán)PI 控制器數(shù)學(xué)模型

在本系統(tǒng)中，電流環(huán)作為控制系統(tǒng)最內(nèi)環(huán)，建立電流環(huán)PI 控制器閉環(huán)函數(shù)GiB(S)以及相應(yīng)的開環(huán)函數(shù)Gi(S)。

式中：Koi為電流反饋濾波放大系數(shù)，V/A；Kpwm為逆變器放大倍數(shù)；τii為 時間積分常數(shù)，s；Toi為濾波時間常數(shù)，s；Tpwm為 逆變器時間常數(shù)，s；Tm為電氣時間常數(shù)，s；Kii為電流積分調(diào)節(jié)系數(shù)，V/A。

由式（9）得，Y軸電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)：

同樣可以得到X軸電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)：

2.3 速度環(huán)PI 控制器數(shù)學(xué)模型

根據(jù)控制系統(tǒng)的設(shè)計原則，速度環(huán)以電流環(huán)為內(nèi)環(huán)，采用PI 控制器調(diào)節(jié)[9]，PI 控制器傳遞函數(shù)為

式中：Kvp為 速度環(huán)控制器比例系數(shù)，As/mm；Tvi為速度環(huán)積分時間系數(shù)，s。

建立速度環(huán) PI 控制開環(huán)傳遞函數(shù)

式中：Kvi=Kvp/Tvi；Kov為速度環(huán)反饋放大系數(shù)；Tov為速度環(huán)濾波時間常數(shù)，s；M為平臺質(zhì)量，kg；Kf為推力常數(shù)。

將2 個時間常數(shù)Tov和Ti’的合并，則式（13）簡化為

在Y軸中，M=59.4 kg，Kf=23.7 N/A。故，Kvp=23.467 As/mm，Kvi=4 084.73。Y軸速度環(huán)開環(huán)C傳遞函數(shù)為

在X軸中，M=121 kg，Kf=35.6 N/A。故，Kvp=31.82 As/mm，Kvi=5 680.78。X軸速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為

2.4 位置環(huán)P 控制器數(shù)學(xué)模型

位置環(huán)是以速度環(huán)為內(nèi)環(huán)的，本系統(tǒng)位置環(huán)采用P 控制。建立位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)

式中：KPP為位置環(huán)比例系數(shù)；GvB(S)為速度環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)。

式中：Gv(S)為速度環(huán)開環(huán)函數(shù)。

由式（15）與（16）可推導(dǎo)出Y、X軸速度環(huán)閉環(huán)函數(shù)

在位置伺服系統(tǒng)中，為了提高系統(tǒng)的抗干擾性應(yīng)盡量使比例增益取大值。可以將位置環(huán)比例增益作適當(dāng)修正。取KPPx=40，KPPy=200。由式（17）可推導(dǎo)出Y、X軸位置環(huán)開函數(shù)

3 驅(qū)動控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 電流環(huán)穩(wěn)定性分析

Matlab 的工具箱中提供了Bode()命令，使得求解過程變得簡便。由式（10）與（11）可知Y軸與X軸電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)所推導(dǎo)的傳遞函數(shù)繪制伯德圖，控制系統(tǒng)電流環(huán)伯德圖如圖3 所示。

對控制系統(tǒng)電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定裕度分析，從圖3 中可以得知：X軸與Y軸軸相角裕度均為63.5°＞60°，幅值裕度均為18.5 dB＞10 dB，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕要求，系統(tǒng)電流環(huán)是穩(wěn)定的。

圖3 電流環(huán)伯德圖

3.2 速度環(huán)穩(wěn)定性分析

由式（15）與（16）可知，Y軸與X軸速度環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)所推導(dǎo)的傳遞函數(shù)繪制伯德圖，控制系統(tǒng)速度環(huán)伯德圖如圖4 所示。

對控制系統(tǒng)速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定裕度分析，從圖4 可以得到：X軸與Y軸速度環(huán)相角裕度都小于60°，不能滿足穩(wěn)定裕度要求。

圖4 速度環(huán)伯德圖

修正后Y軸：Kvp=15，Kvi=2 713.45。

修正后X軸：Kvp=26.74，Kvi=4 853。

修正前分析造成不滿足穩(wěn)定裕度的原因：工作臺用氣浮導(dǎo)軌支撐使得工作臺阻尼很小，直線電機(jī)直接驅(qū)動無緩沖，這些因素都可能造成系統(tǒng)穩(wěn)定裕度不能這到要求。

對修正后速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定裕度分析，由圖5 可以得到：修正后Y軸速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度為63.3°＞60°，幅值裕度為30.4 dB＞10 dB；X軸速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度為62°＞60°，幅值裕度為28.2 dB＞10 dB，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，系統(tǒng)速度環(huán)為穩(wěn)定的[10]。

圖5 修正后速度環(huán)伯德圖

3.3 位置環(huán)穩(wěn)定性分析

由式（21）與（22）可知，Y軸與X軸位置環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)所推導(dǎo)的傳遞函數(shù)繪制伯德圖，控制系統(tǒng)速度環(huán)伯德圖如圖6 所示。

對控制系統(tǒng)位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定裕度分析，從圖6 可以得到：Y軸直線電機(jī)位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度為85.1°＞60°，幅值裕度為26 dB＞10 dB；X軸直線電機(jī)位置環(huán)開環(huán)傳速函數(shù)伯德圖如b 圖所示，其相角裕度為63.1°＞60°，幅值裕度為12.8 dB＞10 dB。滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，系統(tǒng)位置環(huán)為穩(wěn)定的。

圖6 位置環(huán)伯德圖

4 試驗研究

4.1 試驗裝置

以上章節(jié)已經(jīng)通過伯德圖穩(wěn)定分析法仿真分析了二維氣浮工作臺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本節(jié)將通過定位精度實驗從側(cè)面對穩(wěn)定性分析結(jié)果進(jìn)行試驗驗證。定位精度反映了目標(biāo)位置與實際位置的誤差，其最能反映氣浮工作臺的實際工況[11]。若控制系統(tǒng)穩(wěn)定性較差，氣浮工作臺出現(xiàn)抖動以及振蕩等現(xiàn)象，由其帶來的誤差會逐步疊加，從而導(dǎo)致定位精度較差。

定位精度試驗步驟：（1）在氣浮工作臺各軸向先后安裝固定干涉鏡和反光鏡。（2）調(diào)整光路使測量軸線與直線電機(jī)移動方向平行或者重合，并調(diào)整實驗環(huán)境，靜置24 h。（3）預(yù)熱激光干涉儀，輸入環(huán)境變量參數(shù)。（4）設(shè)置運(yùn)動程序使氣浮工作臺按測量要求運(yùn)動。（5）運(yùn)行激光干涉儀軟件，采集數(shù)據(jù)分析結(jié)果。圖7 為二維氣浮試驗平臺。

圖7 二維氣浮試驗平臺

4.2 試驗結(jié)果及分析

根據(jù)國標(biāo)GB/T 17421.2-2016 的規(guī)定，在X與Y軸100 mm 的行程之中選取5 個數(shù)據(jù)測量點（20 mm、40 mm、60 mm、80 mm 以及100 mm）。規(guī)劃5 次往返運(yùn)動程序并記錄數(shù)據(jù)。目標(biāo)位置軸線雙向定位精度計算公式如式(25)所示。

其試驗結(jié)果如圖8 所示。從圖8 中可以看出：X軸定位精度為4.671 μm/100 mm；Y軸定位精度為2.137 μm/100 mm。試驗結(jié)果表明：氣浮工作臺各軸向定位精度良好且在整個定位過程中，氣浮工作臺未出現(xiàn)震蕩、抖動等不穩(wěn)定現(xiàn)象。因此說明，氣浮工作臺擁有良好的穩(wěn)定性，與仿真分析結(jié)果具有較好的一致性。

圖8 定位精度實驗結(jié)果

5 結(jié)語

（1）對二維氣浮精密運(yùn)動平臺控制系統(tǒng)進(jìn)行分析，建立了電流環(huán)為內(nèi)環(huán)、速度環(huán)為中環(huán)和位置環(huán)為外環(huán)的控制模型，并推導(dǎo)計算各環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型。

（2）利用Matlab 繪制伯德圖進(jìn)行仿真分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。Y軸與X軸電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度、幅值裕度滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，具有足夠的穩(wěn)定性。速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)修正前，由于工作臺的支撐方式導(dǎo)致系統(tǒng)的阻尼小，相角裕度及幅值裕度未達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，適當(dāng)修改控制參數(shù)；修正后，相角裕度、幅值裕度能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求。位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度、幅值裕度同樣滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求。控制系統(tǒng)由內(nèi)向外，依次分析了控制系統(tǒng)為穩(wěn)定的，且有足夠的穩(wěn)定裕度。

（3）實驗結(jié)果從側(cè)面反映了仿真分析的正確性，二維精密氣浮運(yùn)動平臺能夠穩(wěn)定運(yùn)行，在運(yùn)行過程中并未出現(xiàn)抖動、震蕩等現(xiàn)象。從而驗證了驅(qū)動控制系統(tǒng)設(shè)計的合理性，為精密氣浮工作臺的研制提供了研究基礎(chǔ)。