未標定的視頻小衛星深空目標凝視控制

宋 超，范才智，王猛猛

(國防科技大學 空天科學學院， 湖南 長沙 410073)

在天文觀測等場景中對深空目標觀測時需要對目標進行穩定持續的高精度凝視。視頻衛星因其能夠對觀測目標實現連續的跟蹤并且獲取視頻信息，使得它在持續目標跟蹤場合有著得天獨厚的優勢。在軌的視頻衛星有諸如國內的吉林1號[1]、天拓2號[2]以及國外的LAPAN-tubsat[3]等。利用視頻小衛星實現目標凝視跟蹤通常可分為基于位置信息和圖像信息的凝視控制兩種方法。

傳統的基于目標位置信息的凝視控制[4-5]，首先根據目標先驗位置信息設計出穩定凝視時衛星的期望姿態，然后通過比例微分(proportion differentiation, PD)控制等方式實現姿態的機動和跟蹤。然而，目標位置信息未知的情況下，基于給定目標位置的傳統凝視控制方法并不適用。

基于相機圖像信息的凝視控制方法不需要目標的位置信息，利用現代圖像識別技術[6-8]提取出觀測目標在像平面中的像素坐標，然后利用該像素坐標與期望坐標之間的誤差進行反饋控制衛星。由于目標在慣性空間中的位置速度并不可知，控制器若要根據目標成像的像素坐標將其控制到期望的圖像中的位置，一般需要根據相機的內外參數，將像素偏差轉換為當前姿態與期望姿態之差，然后設計合適的控制律使得姿態誤差收斂，最后間接實現將目標成像移動到像平面中期望的位置[9-10]。但是該方法需要依賴準確的相機參數才能實現有效跟蹤控制。然而，衛星相機參數在長期的在軌運行過程中不可避免會發生變化，在軌標定相機內外參數十分困難。

基于未標定相機進行視覺伺服控制在機器人[11-14]、無人機[15-20]等領域有許多的研究工作，但目前尚未有針對未標定的視頻衛星跟蹤控制的研究工作發表。

本文針對深空目標位置信息未知條件下的觀測任務，提出了一種基于未標定相機圖像反饋的自適應控制方法。該方法能夠對相機參數和目標位置進行在線估計，使得目標在像平面的成像能控制到期望位置，并通過仿真驗證該方法的有效性。

1 成像模型

1.1 假設條件

視頻衛星針對深空目標進行觀測，這類目標包括遠距離的恒星或在觀測期間可忽略相對運動的行星。因此假設在慣性空間中是靜止的觀測目標。

1.2 相機模型

1.2.1 相機內部模型

相機內部模型描述的是目標入射光線與像平面上的坐標之間的關系。最常用的是小孔成像模型，即入射光線穿過鏡頭中心到達鏡頭后方的傳感器，然后傳感器將光信號轉換為電信號最后成為數字圖像信息，如圖1所示。

圖1 相機內部模型Fig.1 Intrinsic camera model

定義相機坐標系為Oc-XcYcZc，其中：原點Oc位于鏡頭中心，即小孔成像的光線交叉中心；Zc軸由相機內部指向外部并且垂直于像平面；Xc軸和Yc軸與矩形像平面對應的邊平行，并與Zc軸形成右手坐標系。二維像平面O-UV與Zc軸垂直，原點O位于傳感器的頂點，兩條軸分別沿著傳感器相互垂直的兩條邊。設f為焦距，相機坐標系原點Oc到目標點T的矢量為RcT，其在相機坐標系中的坐標表示為cRcT=[xc,yc,zc]T，左上標的c表示其為在相機坐標系的分量，以此類推。而T在像平面的成像坐標為(u,v)，鏡頭中心光軸與像平面的交點為像平面中心(u0,v0)。傳感器由眾多像素組成，假設像素的物理尺寸為dx×dy。根據投影的相似原理，有：

(1)

變換后得到：

(2)

式(2)引入了齊次坐標便于坐標變換的表示，并建立了由相機坐標系向像素坐標的轉換關系，其中定義矩陣：

(3)

1.2.2 相機外部模型

(4)

圖2 相機外部模型Fig.2 Extrinsic camera model

由此可以得到cRcT與bRbT的關系為：

(5)

結合式(2)和式(5)，目標在體坐標系的位置到像素坐標的映射關系為：

(6)

式中，N為投影矩陣，N=Π·T。

1.2.3 衛星與目標相對位置模型

(7)

圖3 衛星與目標相對位置模型Fig.3 Relative position model of the satellite and the target

觀測目標在地心慣性坐標系中的位置與其在體坐標系中的表示的關系為：

(8)

結合式(6)和式(8)，可以得到觀測目標在地心慣性坐標系中的位置與其成像的映射關系：

(9)

1.2.4 投影模型

(10)

定義目標在像平面的成像的坐標為y(t)=[u(t)，v(t)]T，則還能得出y(t)和深度zc(t)的表達式分別為：

(11)

(12)

2 運動學與動力學

2.1 衛星姿態運動學與動力學

采用剛體模型描述衛星的姿態。定義姿態四元數q：

q=cos(φ/2)+rsin(φ/2)=q0+qv

(13)

(14)

式中，E3代表3×3的單位矩陣，J為衛星轉動慣量，ω是衛星相對慣性坐標系的轉動角速度在體坐標系下的表示，U是控制力矩，(·)x算子表示的操作如下：

(15)

2.2 相機成像運動學

需要指出的是，觀測目標可視為靜止，即iReT為時不變，利用此特性對式(11)～(12)求導得到：

(16)

假設觀測的目標的距離遠大于衛星的軌道半徑，即：

iReT?iReb(t)

(17)

根據式(17)可簡化矩陣Th和式(11)中的軌道運動相關項，像素坐標和深度的運動學方程相應簡化為：

(18)

3 參數估計

3.1 估計參數定義

從相機模型以及成像運動學方程可以觀察到，存在未知的時不變投影矩陣N和目標位置iReT，其都會對成像的精度產生影響。參數識別的目的在于用估計的參數實現與準確參數值一樣的控制效果。實現方式是設計參數的自更新律，使得依賴于估計參數值的控制器能夠將圖像誤差收斂至零。值得指出的是，圖像誤差收斂于零并不一定意味著參數的估值也收斂于實際值。

(19)

式(19)中的N(3)和iReT是以乘積的形式同時出現的。進一步分析式(11)有：

(20)

與式(19)相比，N矩陣的最后一列元素n14、n24和n34是單獨出現的，并沒有與iReT的元素相乘。所以綜合得出需要估計的參數為：

θ=[nijxk，n14，n24，n34]Ti,j,k=1,2,3

(21)

(22)

θp(t)=[nijxk，n31x1，n31x2，n31x3，n32x1，
n32x2，n32x3，n33x1，n33x2，n14，n24，n34]T
i=1,2，j；k=1,2,3

(23)

3.2 估計投影誤差

(24)

性質2對于投影估計誤差e(t)，可以找到矩陣Wp(t)∈R2×n，使得：

e(t)=Wp(t)Δθp(t)

(25)

根據式(23)給出的參數定義，式(24)中的參數都以線性的形式出現在e(t)表達式中，所以性質2顯然成立，不再給出證明。

3.3 勢函數設計

定義圖像跟蹤誤差Δy(t)：

Δy(t)=y(t)-yd

(26)

式中，yd為目標期望的成像坐標。定義矩陣G(t)∈R3×2：

(27)

(28)

(29)

值得指出的是，即使在式(29)作用下的勢函數收斂于局部極小值，其對應的G(t)的行列式也不為零，所以勢函數的局部極小值問題并不妨礙其起到預期的作用。

3.4 估計參數更新

根據定義的參數估計誤差以及投影誤差，設計如式(30)所示的參數自更新律。

(30)

式中，矩陣Yp(t)的定義將在下一節控制器設計部分給出，Γ∈R29×29，K1∈R2×2和K2∈R29×29為正定對角系數矩陣。

4 自適應控制器設計

設計控制器如式(31)所示。

U(t)=ω(t)×Jω(t)-K3ω(t)-

(31)

式中，K3、B、K4均為正定對角系數矩陣。

為了研究給定控制器的穩定性，首先定義三個函數：

(32)

V1(t)和V3(t)顯然都是非負的。zc(t)由于是目標在相機坐標系Zc軸上的分量，考慮到目標出現在視場內時，其深度zc(t)必然為正數，所以V2(t)也是非負函數。分別對V1(t)、V2(t)、V3(t)求導：

(33)

進一步地，定義李雅普諾夫函數V(t)：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(34)

取更新律(30)的矩陣Yp(t)，使其滿足：

(35)

則代入式(33)后求得V(t)的導數為：

(36)

設k4min為K4的最小特征值，k2max為K2的最大特征值，τmin為Γ的最小特征值。k4min滿足：

(37)

則此時，

(38)

(39)

(40)

在式(27)中定義了矩陣G(t)，并且通過設計的勢函數保證G(t)的秩始終為2。根據式(40)，對任意的G(t)，G(t)BΔy(t)都趨近于零，所以有：

(41)

在參數更新律(30)和式(31)的作用下，成像誤差、凝視時的角速度、估計投影誤差都收斂為零，說明能夠在相機參數以及遠距離靜止目標位置都不確定的情況下，將目標在像平面中的成像坐標保持在期望的位置，實現穩定的凝視跟蹤。

5 仿真分析

仿真中假設目標初始狀態已經處于視野中，然后利用本文的控制算法將目標控制到期望位置。相機參數如表1所示，其中M321(·)表示按照3-2-1轉序轉動對應角度的旋轉矩陣。相機參數的理論值表示仿真中設置的理論相機模型參數，實際值是表示各種因素產生偏差后相機實際的參數，用于仿真中計算觀測到的目標在像平面中的目標y(t)。

表1 相機參數Tab.1 Camera parameters

表2為仿真時控制器中所用到的各個系數值，其中diag{·}表示將其中各個元素依次作為對角線上的元素，其他空置位置均為0的矩陣。

表2 控制參數Tab.2 Control parameters

像平面大小為752像素×582像素，觀測目標為遠距離天體，當識別到的目標出現在視場邊緣時，自適應控制器開始介入并將目標位置控制到期望的視場中心位置(376,291)像素坐標處。

圖4是識別到的觀測目標在視場中的成像軌跡。目標初始在像平面的位置位于視場的邊緣角落，在控制器的作用下沿著圖示軌跡運動到視場中心位置，說明控制器達到期望的效果，這樣的位置有利于獲得更好的凝視觀測圖像。圖5展示了不同時刻下目標實際像素坐標與期望坐標之間的誤差曲線，說明了像素誤差在u、v兩個方向上都逐步實現了收斂，與預期效果一致。圖6則是表征參數識別效果的估計投影誤差e(t)的變化曲線，由于參數的更新從而使得e(t)能夠收斂為零，說明未標定的相機參數對成像的影響降到最小。仿真結果表明控制器能夠達到預期的控制目標，使得目標成像在期望的視場位置。

圖4 目標在像平面的成像軌跡Fig.4 Target track on the image plane

圖5 圖像跟蹤誤差Δy(t)曲線Fig.5 Curve of image tracking errors Δy(t)

圖6 估計投影誤差e(t)曲線Fig.6 Curve of estimated projection errors e(t)

6 結論

本文針對視頻小衛星對深空目標觀測任務中目標位置與相機內外參數都未知的情況，基于深空目標近似作為慣性空間靜止目標的假設條件，設計了一種深空目標凝視自適應姿態控制方法。該方法引入了一個參數相關的勢函數，使得參數矩陣的秩始終滿足圖像誤差收斂的要求；據此采用了參數自更新律對未知參數進行在線更新，使得估計投影誤差收斂；使用估計的參數設計了自適應凝視控制器，將目標投影在像平面的坐標控制到期望位置。利用李亞普諾夫理論和芭芭拉特引理嚴格證明了閉環系統的穩定性。數值仿真結果驗證了設計的控制器的有效性。下一步的研究中，擬將該方法推廣應用到近地空間目標跟蹤場合。