兩個移動荷載作用下簡支梁的動力耦合分析

石紅遷SHⅠHong-qian

（廣東盛翔交通工程檢測有限公司，廣州 511400）

0 引言

隨著科技的不斷進步，交通運輸系統也在不斷發展完善。在各種運輸系統（如公路、鐵路）中，車輛行駛速度越來越快、車流密度不斷增加，車輛與橋梁的動力耦合現象也引起了人們的重視[1，2]。一方面，車輛在橋梁上的快速運動，會對橋梁造成動態的作用進而引起橋梁的振動，對橋梁的工作狀態與其使用壽命造成一定的影響；另一方面，橋梁的振動也會對橋上行駛的車輛產生相應的作用，進而威脅到車輛行駛的穩定性與安全性[3，4]。因此，研究車-橋動力耦合問題，對車輛與橋梁在動態過程中的狀態進行分析與研究，可以為需要承擔動態車輛荷載的橋梁的設計提供一定的理論依據與實踐指導。相對于傳統等截面梁橋來說，變截面梁橋具有受力合理、節省材料等優點，應用到了越來越廣泛的工程實踐中[5]。因此研究變截面橋梁與車輛的動力耦合問題有著重要意義。

本文對指數變寬度矩形梁模型在兩端簡支條件下，受到一前一后兩個同向移動常荷載作用時的動力響應進行了相關的分析研究。采用模態迭加法進行分析，通過推導得到了問題的理論解。并在理論解的基礎上，詳細研究分析了非均勻系數與速度兩項參數對振動響應的影響。其結果可以為相關橋梁工程設計提供相關的理論依據與一定的實踐指導。

1 兩端簡支變截面梁的動力響應

1.1 問題簡述

針對實際中在簡支梁上車輛行駛時橋梁的振動響應問題，本文建立了一個兩端簡支矩形梁在受到兩個同向移動常荷載作用下的動力耦合模型，如圖1 所示。其中，假設梁的截面是非均勻的，其變寬度函數為b（x）=b0eax，且b0為初始寬度，梁橫截面的高為常數。

圖1 兩載荷同向移動模型示意圖

在梁上作用有兩個同向動態常荷載，模擬橋梁車輛行駛。兩荷載一前一后，我們認為這兩個力是同時同地出發的，只是在最初的t1時間段內第一個力恒定的速度出發，而第二個力的速度為0，在t1時間過后，第二個力才獲得速度開始移動。

1.2 理論解推導

模型動力學方程形式如下：

式中，E0、I0為初始截面的彈性模量與慣性矩，ρ0和A0為初始截面密度與截面積，K（x）為截面慣性矩的變化函數，m（x）為截面面積的變化函數，v（x，t）為梁變形函數，F為所施加的力的大小，δ（x）是脈沖函數。

式（1）可以寫為以下兩式的和

記

化簡得

令v（x，t）=ΣVi（x）·qi（t）代入式（6）中可得

解為

進一步求解qi（t）：

令v（x，t）=Σi=1Vi（x）·qi（t）代入式（2）中可得

對（9）從0 到1 進行積分

方程式（10）兩邊同時乘以Vi可以得

對于兩邊簡支問題有：

則式（11）化簡為

同理式（3）可轉化為

對式（15）利用杜哈梅積分公式得

故式（17）化簡為

同樣對式（16）利用杜哈梅積分公式，并化簡可得

通過進一步的推導我們可以得到

其中

進而我們可以得到兩端簡支情況下

2 相關參數對動力響應的影響

2.1 非均勻系數δ 對移動荷載響應的影響

應的七條曲線，如圖2 所示。

圖2 不同非均勻系數對簡支梁振動響應的影響

上圖說明，隨著δ 由小變大，相應的跨中處的撓度逐漸減小，圖示不僅給出了定性的趨勢，而且給出了定量的數值。出現這種現象是由于δ 的逐漸增大引起a 的逐漸增大，使得橋梁的寬度的變化量不斷增加進而使得橋梁的重量增加，相應的移動荷載對橋梁的影響就會減小。

2.2 速度對移動荷載響應的影響

眾所周知，橋梁的動力響應與移動荷載的移動速率有密切的聯系，荷載的移動速度達到特定的區間時，還會使橋梁產生共振。而當速度達到一定大小時，橋梁的最大響應將會出現在移動荷載過橋之后。我們通過改變不同的速度值，來分析研究荷載移動速度對本橋梁模型的影響是否符合現實情況。

為使速度有較大的變化范圍，我們取速度從0.1m/s到30m/s 進行畫圖，如圖3 所示。

圖3 不同移動速度對簡支梁振動響應的影響

從上圖我們發現當荷載移動速度為4m/s 附近時，跨中撓度達到最大；而當速度超過10m/s 時，跨中撓度的最大值出現在移動荷載離開的瞬間。

3 結論

本文建立了簡支變截面梁與兩個同向移動常荷載的動力耦合模型，驗證了理論解的準確性，并對相關參數進行分析研究，其結果對指導變截面梁橋的設計與應用存在一定的理論意義與實踐價值。主要結論如下：

①通過模態疊加法推導得到問題的理論解，并將理論解與Maple 數值計算結果進行了比較，二者吻合較好。

②本文深入分析了非均勻系數對振動響應的影響，通過分析相關圖中的結果，我們發現隨著變截面梁橋非均勻系數的增大，其跨中的撓度將不斷減小。這是因為非均勻系數的增大，橋梁的寬度將不斷增大，進而造成橋梁的重量不斷增加，移動荷載對橋梁的影響將不斷減小。

③移動荷載對橋梁的影響與移動荷載的移動速度有著密切的關系，為了進一步了解移動荷載速度與橋梁對移動荷載的動力響應之間的關系，本文對荷載移動速度進行了分析研究。結果表明，當移動荷載的速度達到4m/s 附近時，跨中的撓度將達到最大；當荷載移動速度超過10m/s時，跨中撓度將在移動荷載離開的瞬間達到最大值。這與現實情況有較好的一致性。