鐵路路基樁板結構荷載擴散模式及有限元計算方法研究

徐玉龍,曾長賢,郭建湖,陳尚勇

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,武漢 430063)

高速鐵路路基工程工后沉降要求高，一般地段工后沉降要求不小于15 mm[1]，地質條件復雜地段需采用特殊地基加固措施方可滿足要求。樁板結構采用鋼筋混凝土結構，具有優越的剛性特征，在軟土[2]、巖溶、采空區[3]、交叉工程[4]等地質條件復雜地區使用可有效控制工后沉降，取得了良好的效果，尤其在橋隧相接的短路基處，樁板結構擁有和橋、隧結構相媲美的剛度，可使高速列車在橋、隧連接處平順通過。

路基工程設計中，需對樁板結構開展結構設計，反復計算結構內力與變形，以求結構最優。現行《鐵路工程地基處理技術規程》[5]對樁板結構荷載多沿用橋涵結構中荷載類型及規定，但橋涵與路基結構差異大，軌道、列車產生豎向、水平向荷載經由路基基床結構擴散到樁板結構上的模式多未明確，且路基樁板結構屬“上軟下硬”雙層結構體系，當前成熟的“上硬下軟”地層結構擴散角已不再適用，諸此種種均有待研究確定。

樁板結構屬多次超靜定結構，設計計算多借助于ANSYS、SAP2000等國外商業有限元計算軟件。這些軟件功能雖強大，但技術門檻高、使用復雜，一線設計人員使用起來較為困難，難以適應設計院高效的設計節奏。此外，成熟有限元分析軟件多為國外技術壟斷，存在技術壁壘，在國際科技競爭日趨白熱化的今天，過度依賴國外商業軟件容易埋下技術隱患。為改變這一現狀，有必要基于有限元基本原理，自主編制輕便、實用的樁板結構設計軟件，提高設計效率，打破技術壟斷。

通過對路基樁板結構計算模型、荷載類型與擴散模式及有限元計算方法進行研究，采用Java語言和Matlab語言混合編制了樁板結構V1.0計算軟件，計算方法可為結構計算提供借鑒，軟件可服務于工程設計。

1 結構計算模型

樁板結構為三維結構，可簡化為三維框架結構或二維框架結構，已有研究證明，兩種簡化模式計算結果接近，均能滿足軌道控制標準要求[6]。樁板結構V1.0采用輕便的二維梁-桿模型，計算模型如圖1所示，橫向、縱向均取單幅板條設計計算。

圖1 樁板結構二維梁-桿框架模型

樁和板均為鋼筋混凝土結構，屬典型梁構件，土體與樁的相互作用則可借助溫克爾彈性地基理論[7]將土體簡化為桿構件。一般而言，板是直接覆蓋在土體上，土體對板也存在豎向支撐作用，但考慮到樁板混凝土結構與土體的剛度相差甚大，土體發生微量沉降時，就會出現樁體變形和土體變形不協調情況，板底與下部土體之間出現離層脫空，板底土體的支撐作用也就消失，故土體的豎向支撐作用不再考慮。

樁底約束方式一般為簡支或固支，簡支約束水平位移和豎向位移2個自由度，固支約束3個自由度，除位移外，轉動也予以約束。樁底約束條件可根據樁底所在地層形式和施工工藝確定，一般樁底嵌入基巖且樁底清孔條件較好時可采用固支約束，其他情況下樁底容易發生轉動，采用簡支約束更符合實際。

2 設計荷載

作用在樁板結構上的荷載可分為主力和附加力，主力又進一步分為恒載和活載。樁板結構的埋置形式不同，需考慮的荷載種類也有所不同。由于軌道、列車荷載均經由基床擴散到樁板結構，首先對路基樁板結構的荷載擴散模式進行討論，再對各類具體荷載進行研究。

2.1 “上軟下硬”地層結構荷載擴散模式

路基樁板結構由路基結構和樁板結構兩部分組成，兩者組合后可視為雙層結構體系。雙層結構理論研究歷史較長，從20世紀40年代已有相關研究[8]，到20世紀60年代發展出“雙層體系理論”，由于應用層面較少，發展較慢，且雙層結構一般只有在軸對稱下才有可能獲取理論解，研究多側重于圓形荷載下的雙層結構體系[9]。對于條形荷載下的平面應變問題，國內文獻多引用捷克的K.E.葉戈羅夫的雙層體系研究成果[10-12]，包括軟弱下臥層承載力計算涉及到的雙層地基條形荷載下，應力擴散所涉及的擴散角，也采用該理論解加以實驗驗證、簡化處理后確定[13]，此后換填墊層地基處理也沿用該擴散角模式[14]。

目前，國內外應用較成熟的附加應力擴散模式主要針對“上硬下軟”地層結構體系，如軟弱下臥層或換填墊層設計，只規定了上下兩層壓縮模量比≥3的情況(Es1/Es2≥3)，雖然有研究將其擴展至上下兩層壓縮模量一致(Es1/Es2=1)的情況[15]，但仍局限于“上硬下軟”地層結構體系。

而由于樁板結構剛性大，遠大于路基基床結構，路基樁板結構屬于典型“上軟下硬”結構。“上軟下硬”結構在條形荷載下呈現出完全不同的變化規律，壓縮土層厚度h小于荷載面寬度一半(b/2)時會出現“應力集中”(圖2)，即條形荷載下“上軟下硬”結構界面應力峰值σz大于均質地層中界面深度的應力峰值。而“上硬下軟”結構體系主要表現為“應力擴散”，即條形荷載下“上硬下軟”結構界面應力峰值小于均質地層中界面深度的應力峰值。這就要求路基樁板結構的條形荷載擴散模式需重新定義。

圖2 “上軟下硬”地層結構在地層界面上的應力集中現象[12]

在K.E.葉戈羅夫“上軟下硬”雙層結構體系中，層面中點的附加應力系數主要取決于下臥層埋藏深度h與荷載跨度b之間的關系

σz=αDp

(1)

式中，σz為層面荷載中點的應力；αD為層面中點的附加應力系數；p為分布荷載。

進一步根據GB 50007—2011《建筑地基基礎設計規范》所采用的附加應力系數換算擴散角方法，可換算得到不同深寬比下的擴散角。考慮樁板結構并非完全剛性，仍會發生一定變形，應力集中程度會削弱，對擴散角進一步修正，如表1所示。

表1 “上軟下硬”地層界面中點附加應力系數及擴散角

通過表1可以發現，“上軟下硬”地層擴散角與“上硬下軟”地層的擴散角遠不相同。對于淺埋式樁板結構，板結構上方僅有路基表層，厚度一般不大于0.6 m，小于荷載寬度的0.5倍，荷載擴散角度可直接取0，即荷載不發生擴散。對于深埋式板，可根據具體情況采用表1中計算擴散角，h/b介于兩值之間的情況，可插值確定擴散角。h/b>2.5情況，根據K.E.葉戈羅夫研究，基本接近于均質地層的值，可根據條形荷載下均質體應力解進行計算，但建議最大不超過30°。

2.2 恒載

恒載包括結構自重、混凝土收縮和徐變影響、基礎變位影響、基床表層自重、路基本體及基床底層自重和軌道結構自重。

結構自重包括樁與板的自重，為均布荷載，按均布力施加即可；混凝土收縮和徐變影響可轉化為溫度變化進行考慮[5]，后文再探討溫度應力問題；基礎變位影響在設計中少有考慮，暫不納入計算；基床表層自重、路基本體及基床底層自重均直接作用于板上，按板上均布力進行考慮。

軌道結構自重荷載并非直接作用在板上，而是經由基床結構傳遞到板上。這就涉及到條形荷載引起的附加應力問題，可采用“上軟下硬”雙層結構確定擴散角進行計算，如圖3所示，其中，q0為線間荷載，q1為軌道荷載，線間荷載主要針對無砟軌道而言。雙線情況下，由于線間荷載和軌道荷載大小不同，可在路基面先進行荷載等效后再擴散到板上。

圖3 軌道自重荷載擴散模式

2.3 活載

活載包括列車豎向靜活載、列車豎向動力作用、離心力和橫向搖擺力。

列車靜活載與軌道荷載擴散形式基本相同，在雙線情況下，也可先在路基面進行等效，而后按照擴散角進行擴散，如圖4所示。板較寬時，擴散后荷載作用在板一定范圍內，并非均布在板上。

圖4 列車荷載擴散模式

高速鐵路、城際鐵路，頂面填土厚度≤3 m時，需考慮列車動力作用。結構計算中，動力作用可通過動力系數實現，將列車靜活載乘以動力系數即可。動力系數如下式[16]

(2)

式中，Lφ為加載長度，m，樁板結構加載長度取平均跨度乘以調整系數，調整系數可將單塊樁板結構視為連續梁，參照連續梁的調整系數取值(表2)；μ折減為動力系數折減系數；hc為結構頂面至路基面的填土厚度，m。

表2 跨數調整系數[16]

曲線樁板結構地段需考慮列車豎向靜活載產生的離心力作用[16]。離心力為水平方向力，由于基床結構為散體材料，散體材料具有耗散性，會通過自身調整、變形吸收一部分能量，傳遞到板上的力可能出現大幅減小。水平力經由散體材料傳遞到樁板結構的機理及精確解目前尚難明確，但考慮到基床結構可提供摩擦力，水平力可借助基床結構的摩擦作用傳遞到樁板結構的板頂面，而摩擦力的存在是通過豎向荷載實現，當前暫推薦離心力qc采用與列車荷載相同的擴散模式及擴散角，如圖5所示。

圖5 離心力擴散模式

路基地基處理規程中對離心力并無明確規定，僅要求借鑒橋涵規范計算方法。在橋涵結構中，離心力計算方法為[16]

(3)

式中，C為離心率，≯0.15；f為列車豎向活載折減系數；R為曲線半徑，m；W為列車荷載圖式中集中荷載或分布荷載，kN或kN/m。

離心力本質上是活載在曲線上運動形成的慣性力，應用到路基工程中時，W取列車活載q2(kN/m2)即可，獲得的離心力F可表示為離心荷載qc(kN/m2)。

列車運動時還會產生橫向搖擺力。按橫向搖擺力為集中力，大小為100 kN，只考慮1個股道搖擺力[5]。計算時，將橫向搖擺力在軌道板范圍內進行均布，再擴散傳遞到板結構上，如圖6所示。進行荷載組合時，需將搖擺力Qns分別放在左線和右線進行計算，選擇最不利組合。

圖6 搖擺力擴散模式

2.4 附加力

附加力主要有制動力或牽引力和溫度變化影響。

制動力或牽引力作用方向為線路方向，在計算樁板結構縱向板條時需考慮，作用方向水平，制動力或牽引力大小取列車豎向靜活載的10%計算。由于制動力或牽引力經由軌道傳遞到路基結構，軌道長度一般遠大于樁板結構單塊板長，制動力或牽引力作用范圍分布在整個縱向板條。當與列車豎向動力作用同時計算時，制動力或牽引力應按列車豎向靜活載的7%計算[5]。

溫度變化影響為結構在均勻溫差和日照溫差引起的變形和應力。樁板結構可參照涵洞規定，對于涵洞，最冷月平均氣溫不低于-20 ℃時，氣溫變化影響可不考慮[16]。當溫差過大時，結構需考慮這種溫度變化效應。

3 有限元計算方法

3.1 單元形式

樁板結構簡化為二維框架結構后，有限元計算中涉及到的單元形式主要有桿單元和梁單元。土彈簧采用桿單元，樁與梁分別采用2種力學參數不同的梁單元。桿單元的劃分較為簡單，可直接取每根桿件作為一個單元，梁單元則要設定單元大小后劃分成若干單元。

3.1.1 桿單元

桿單元采用二力桿，位移函數采用2個待定常數，局部坐標系下表達式為[17]

(4)

式中，u(x)為桿單元水平位移；ui、uj為桿單元兩端節點位移；l為桿單元長度；x為i為原點，沿ij方向坐標；[N]為形函數。桿單元本構關系為

(5)

局部坐標系下桿單元剛度矩陣為

(6)

式中，E為桿彈性模量；A為桿截面積。

樁板結構中，土體與樁體之間的接觸作用通常采用彈性地基理論的“m法”或“k法”，轉化為彈性力學中的桿單元需一定轉換關系。桿單元彈性模量E=mhL或E=kL，h為埋深，“m法”或“k法”可結合支擋工程相關規范確定[18]。其中，L為桿件長度，可按L=1 m設置。單個彈簧作用面積為相鄰單元的平均長度與樁有效寬度之積。

A=b0(li+li+1)/2

(7)

式中，A為單個彈簧作用面積，對應桿單元截面積；li與li+1為彈簧節點連接的兩個相鄰樁單元長度，b0為樁單元有效寬度，可根據樁基規范[19]確定。

設計中經常出現板伸入路基本體中情況，采用“m法”計算彈性模量時，需確定深度h的計算零點。考慮到路基本體并非大面積填土[13]，并不能提高路基側向約束，故計算零點從地面起較合適。但路基本體填料具有較高的壓實性，也能夠提供一定側向約束，與樁體形成接觸關系。如此，可假設路基本體層厚度為h0，在路基本體層，深度計算零點從板開始算起，k=-m0y，m0為路基本體的水平抗力系數的比例系數；而地面以下土層，深度計算零點從地面開始，k=-m(y-h0)，如圖7所示。

圖7 埋置于路基本體的樁板結構水平抗力示意

3.1.2 梁單元

梁單元也采用兩節點模型構造，形函數矩陣[Nv]和單剛矩陣[k]e如下

[Nv]=

(8)

單元剛度矩陣

(9)

式中，l為單元長度；A為截面積；EI為抗彎剛度；I為慣性矩。

樁和板結構均可簡化為梁單元，截面積A和慣性矩I按材料力學確定[20]。板結構彈性模量根據混凝土強度等級確定即可，但樁簡化為梁單元時，抗彎剛度EI建議參照《鐵路橋涵混凝土結構設計規范》[21]確定，對于鋼筋混凝土樁，EI=0.8EcI，其中，Ec為混凝土彈性模量，I為樁身截面慣性矩。

3.2 荷載等效

荷載通過等效節點力的形式施加到單元節點。等效節點力是根據功互等原理，將分布載荷轉移到節點上所得到的載荷。對于均布荷載作用下樁板結構的梁單元(圖8)，每個單元在局部坐標系下的等效節點力為

(10)

式中，p為水平方向均布荷載；q為豎直方向均布荷載；l為單元長度。

圖8 均布荷載下梁單元等效節點荷載

樁板結構中需計算溫度變化引起的變形和內力，混凝土徐變也借助溫度變形來實現。樁板結構溫度變化引起的應力變形屬于穩態熱傳導問題，也可采用等效節點荷載進行計算[22]。溫度荷載內力表達式如下

(11)

式中，E為單元彈性模量；A為單元截面積；αtemp為混凝土線膨脹系數；ΔT為溫度變化量。

溫度引起的變形和內力只考慮梁與板，桿單元可不予考慮。

3.3 計算流程

整個計算流程分為前處理、有限元計算和后處理，如圖9所示。前處理主要通過Java Swing模塊編制輸入界面，有限元計算采用Matlab軟件編制，后處理可輸出內力圖和計算書等。

圖9 樁板結構軟件計算流程

有限元計算部分流程為[17]：(1)建立計算模型(結構離散化、劃分單元、節點編號等)；(2)計算單元剛度矩陣和單元的節點力列陣；(3)形成整體剛度矩陣；(4)計算整體節點力；(5)引入位移邊界條件；(6)求解整體平衡方程；(7)回代求解單元內力。

4 案例分析

下面采用樁板結構V1.0與商業有限元軟件對典型案例的計算運算結果進行對比。

假設淺埋式樁板結構，板寬度15 m，板條縱向單幅長5 m，板厚0.8 m。樁間距5 m，兩端懸挑2.5 m，共3根樁，樁長15，8，3 m，樁徑0.8 m，樁底均為固支條件。

軌道結構采用Ⅲ型板，軌道分布寬度b=3.1 m，軌道自重q1=13.7 kPa，列車荷載q2=40.4 kPa，線間距b0=5 m，線間荷載q0=2.3 kPa。基床表層厚度0.4 m，計算得到擴散角為0°。水平荷載考慮搖擺力100 kN作用在整個板上，單幅作用力按25 kN計，分布區間[-4.05 m，-0.95 m]，分布力為8.1 kN/m。計算考慮徐變影響，通過設定板與樁溫度均下降15 ℃實現。樁與板均采用C35混凝土，彈性模量均為31.5 Pa。地層參數如表3所示。

表3 地層參數

計算時，樁與板單元網格長度0.5 m，桿單元網格長度1 m。

采用樁板結構V1.0計算得到彎矩如圖10(a)所示。板上最大彎矩為535 kN·m，最小彎矩為-669.5 kN·m。樁上最大彎矩106.3 kN·m，最小彎矩-22.7 kN·m，其中，下緣纖維受拉、上緣纖維受壓時彎矩為正。采用商業有限元軟件計算的彎矩如圖10(b)所示。對比發現，采用樁板結構V1.0計算得到彎矩最大值、最小值及彎矩形態與商業軟件獲取值是一致的。

除內力外，采用樁板結構V1.0計算得到的節點位移也與商業軟件獲取的位移存在較好的吻合，見表4，說明樁板結構V1.0有限元算法是正確的。

圖10 彎矩對比

5 結語

對路基工程中常用的樁板結構計算模型、荷載擴散模式、有限元計算方法進行了研究，主要結論如下。

(1)借助溫克爾彈性地基梁理論，樁板結構可簡化為二維梁-桿框架結構，便于有限元計算。

(2)針對路基基床結構與樁板結構組成的“上軟下硬”雙層地基結構體系，面荷載作用下，分界面會出現應力集中現象，路基荷載擴散至樁板結構上的擴散角與深寬比存在一定關系，整體上位于0～30°范圍內。研究彌補了現行路基規范中對樁板結構荷載規定過于模糊的問題。

表4 代表性節點位移比較

(3)構建了有限元理論框架下的梁、桿單元剛度矩陣與溫度等效荷載，自主編制了樁板結構V1.0結構計算軟件。對比商業有限元軟件與自編軟件的計算結果，顯示兩者具有良好的吻合性，樁板結構V1.0可服務于工程設計優化。

實踐證明，自編樁板結構V1.0軟件可高效應用于鐵路設計中，但也存在一定不足。當前梁單元仍采用常用的Euler梁，由于樁板結構跨度較小，采用考慮剪切變形的Timoshenko梁更為合適。同時，隨著異形結構的發展，樁板結構中樁排列方式并不完全規則對稱，簡化為二維框架結構存在誤差較大問題，三維樁板結構計算軟件的實現也迫在眉睫。