軌道板溫度場非線性特征分析

程 琴,何越磊,趙彥旭,路宏遙

(1.上海工程技術大學城市軌道交通學院,上海 201620； 2.中鐵二十一局集團有限公司,蘭州 730070)

引言

CRTSⅡ型板式無砟軌道具備多種優異特性，使其被廣泛應用于我國高速鐵路建設中。但因長期暴露在大氣環境下，CRTSⅡ型板式無砟軌道結構會在環境溫度影響下產生變化，軌道板表面升溫時整體會出現“外熱內冷”的狀態，降溫時則會“外冷內熱”，從而使結構內部產生較大的垂向溫度梯度，受溫度梯度影響會引起一定的翹曲變形[1]。翹曲變形在受約束情況下使軌道結構內部產生溫度應力[2]，應力超過混凝土抗拉強度時，會導致軌道結構產生層間離縫現象[3]。這些由溫度荷載引起的病害將嚴重影響高速鐵路運營速度與安全，并會對軌道板運維管理技術提出較高要求。因此，對環境溫度影響下軌道板溫度場分布特征及規律進行分析，對于提升軌道板運維管理技術水平具有重要意義。

近年來，對無砟軌道結構溫度場的研究日漸增多[4]，主要分析方法可歸納為兩類：一類是統計分析法[5-6]，根據實測數據統計并分析軌道板溫度場各影響因素之間的關系；第二類是理論分析法[7-8]，通過搭建有限元系統，對自然環境模擬狀態下的溫度場進行數值分析。但現有分析中，從軌道板溫度場的混沌特性角度進行研究相對較少。

基于此，在對環境溫度影響下CRTSⅡ型板式無砟軌道溫度場分析中，通過相空間重構手段對一維溫度時間序列進行維數擴充，以充分挖掘溫度序列內部所蘊含的信息及規律，并結合PCA方法消除軌道板溫度時間序列各成分間的信號自相關性，提高序列復雜度，最后根據計算得到軌道板溫度序列的排列熵值，對軌道板溫度場非線性特征進行剖析，為提升軌道板運維管理技術水平提供理論支撐。

1 基本原理

復雜度是用來反映非線性時間序列無序程度的重要參數。受環境溫度、太陽輻射等因素影響，軌道板溫度場分布具有典型的混沌特性[9]，使輸出時間序列具有非線性、非平穩性和不確定性的特點。目前，復雜度測量的多種方法中，熵值法被廣泛應用于混沌特征識別及復雜度的度量研究中，選取其中的排列熵法[10]作為分析軌道板溫度序列的方法。目前，常用的非線性信號檢測方法[11]多是基于量化相空間中最近點的性質進行概率統計，算法繁瑣且計算量較大。與其相比，排列熵算法通過計算，定量闡述序列的復雜度[12]并放大信號的微小變化[13]，體現序列中的異常，算法簡單，計算速度快，對于系統信號的突變異常檢測具有十分重要的意義[14-15]。

1.1 排列熵算法原理

排列熵算法基于Kolmogorov復雜度算法，融合了信息熵的概念，是一種用于計算序列復雜程度的突變檢測方法[16]，可檢測系統發生突變的時刻并放大信號的微小變化[17]，算法步驟如下。

步驟1：采用相空間重構方法，對長度為N的系統離散時間序列{xi，i=1，2，…，N}進行重構，得

X(i)=[x(i)，x(i+τ)，…，x(i+(m-1)τ)]

1≤i≤N-(m+1)τ

(1)

其中，m、τ為重構嵌入維數和延遲時間，當τ=1時，可以得到最大程度的重疊。

步驟2：對X(i)的m個重構分量x(i)，x(i+τ)，…，x(i+(m-1)τ)，按照由小至大的順序進行重新排列，得到x(i+(jm-1)τ)，1≤j≤m。如果在分量序列中出現兩個值的x(i)相同，則按照j值的大小確定排序。因此，任意一組向量X(i)都可以得到與之相對應的符號序列，即

A(g)=[j1，j2，…，jm]，g=(1，2，…，q)，1≤q≤m!

(2)

步驟4：則此時時間序列的排列熵可定義為

(3)

(4)

因此，用排列熵檢測突變的過程即描述為：將一個時間序列按所選時間窗大小分為若干個長為w的子序列，各子序列之間的重疊概率可根據研究對象自由選定，計算其排列熵值h(p)，并觀察其動態變化的情況。由于軌道板的溫度場分布具有典型的混沌特征，所以軌道板溫度時間序列的非線性特征可以從h(p)的變化中體現出來。對軌道板溫度的排列熵計算中采用最大重疊；對于子序列長度w的選取，為保證其統計學意義和精確度，不能過大或過小；算法中的參數m，其取值范圍一般為3≤m≤15。

1.2 算法參數選取原則

在排列熵計算過程中，對于參數的選取，選用自相關函數法[18]獲取恰當的延遲時間，選用G-P法[19]獲取恰當的嵌入維數。以具有標準混沌特性的Lorenz方程x分量的時間序列為例進行說明。

將Lorenz方程x分量的時間序列作為定義的一維時間序列輸入自相關函數，所得結果如圖1所示，選定自相關函數值下降到初始值的1-1/e倍時，所得到的時間τ即是所需最佳延遲時間，即Lorenz方程x分量的延遲時間為23。

圖1 Lorenz方程x分量自相關函數曲線

在自相關法已獲得適當延遲時間的基礎上，將Lorenz方程x分量的時間序列作為定義的一維時間序列輸入，進行G-P算法運算，所得雙對數曲線如圖2所示，其中C為關聯積分計算值，r為搜索半徑，對其中的線性部分，用最小二乘法進行擬合，得出一條最佳擬合線段。該線段斜率稱為關聯維數。其會隨著嵌入維數增大而增大，最后達到飽和值，即為關聯維數D，選定嵌入維數m≥2D+1的值為最優嵌入維數，即Lorenz方程x分量嵌入維數為8。

圖2 Lorenz方程x分量雙對數曲線

1.3 算法有效性驗證

由于軌道板溫度場具有混沌特性，為驗證利用排列熵算法檢測其狀態變化是否具有可行性，對非線性動力學系統Logistic模型xn+1=μxn(1-xn)進行例證操作，結果如圖3所示。其中，xn∈[0，1]，n=0，1，2，3，…，μ為控制參數。Logistic方程是用于研究某一范圍內某種昆蟲繁衍時的子代數量問題。圖3(a)給出了2.5<μ<4時，該二次迭代系統終態圖。由圖3(a)可知，當μ∈(2.5，3)時，系統經過有限次迭代后收斂至排斥不動點0和吸引不動點1-1/μ；μ∈[3，μ∞)時，模型軌道出現了周期行為特征即倍周期分岔現象；當μ∈(μ∞，4)時由倍周期階段轉為混沌狀態。即可知序列按穩定不動點、不穩定不動點、周期、混沌4個階段進行演化突變。

結合圖3(b)分析可知，當時間序列發生階段演化時，排列熵的變化均與模型終態圖演化趨勢一致，當Logistic模型發生狀態變化時，其時間序列的排列熵值也表現出明顯的對應變化。由圖3(b)可知，排列熵可檢測并放大非線性系統時間序列中的微小變化，當序列向混沌演化時，其對應的排列熵值也逐漸增大并趨向于1，即混沌程度越高值越大。由于軌道板溫度場具有混沌特性，所以軌道板溫度時間序列的非線性特征可從熵值的變化中體現出來，熵值越大，復雜度越高，非線性程度越高，即軌道板內溫度序列變化越明顯趨向異常，可將排列熵法用到軌道板溫度場的監測分析。

圖3 Logistic終態及排列熵隨控制參數μ的變化曲線

2 軌道板溫度序列排列熵分析

2.1 溫度序列的數據來源

選取華東某客運專線CRTSⅡ板式無砟軌道結構為研究對象，線路運營速度為300 km/h。分別在無砟軌道板板表、板中、板底安裝溫度傳感器，以1次/30 min的頻率獲取一整年軌道板溫度及氣象溫度變化數據，采樣長度為14 848個點，得到動態溫度時間序列如圖4所示。由圖4所示，隨著氣溫的不斷升高，軌道板溫度也不斷增大，夏季結束之后氣溫降低，軌道板溫度也隨之減小，可見軌道板溫度變化與環境溫度變化趨勢相一致，且軌道板表面溫差變化值大于氣象溫差變化值，但由于軌道結構內部溫度場的復雜特性，結構內部溫度的變化隨軌道板深度加深表現出不均勻性，溫差幅值隨距離軌道板面深度增加有變小趨勢。

圖4 軌道板溫度時間序列

2.2 計算結果分析

軌道板溫度場的變化與氣候系統的非線性、復雜性、耗散性及軌道板內部結構各因素的相互作用緊密相關，因此，利用傳感器采集數據手段，在較長時間內獲得的溫度序列只能從部分變量的角度對軌道板溫度場進行觀測，無法得到溫度場所有狀態變量的演變規律。為從少數甚至單一的數據序列中獲得整個系統相空間的信息，對軌道板溫度序列進行相空間重構[20]。此操作關鍵在于選取最優時間延遲τ和嵌入維數m，進而在重構所得的高維空間中深入分析時間序列，以提高分析的準確性。按前述參數選取方法，選取m=7，τ=5，w=500為最優參數，計算溫度序列的排列熵。

混沌序列的自相關性越強，序列隨機性越差，復雜度越低，故去除混沌序列的相關性，得到更高復雜度的混沌隨機序列，也是要解決的問題。為簡化分析，采用主成分分析對相空間重構后得到的高維空間進行處理，使原始序列的自相關性在經過主成分分析線性變換后得到降低，以便在處理后的序列中充分揭示軌道板溫度梯度的混沌特征。

目前，關于主成分的選擇，常用方法有兩種，一種是主成分回歸法，另一種是主成分貢獻率累積百分比法，本文選用后者。對重構后得到的相空間，按每一列定義為一組向量，計算其協方差矩陣，并求其特征值及特征向量，最后將特征向量轉置得變換矩陣。選定累計貢獻率達到85%的部分為所需主成分，并按變換矩陣對序列進行主成分變換，進而進行溫度序列的排列熵值計算。計算結果如圖5所示。

圖5 軌道板溫度序列排列熵值

軌道板溫度序列的排列熵值表現出與環境溫度變化相一致的規律性，且由于軌道板表面與大氣環境接觸最充分，由圖5可以看出，軌道板表面溫度序列排列熵值隨環境氣溫的變化最明顯。

由圖5可知， 4月份氣溫最低值為7.3 ℃，而3月份最低氣溫為-2.8 ℃，5月份最低氣溫為4.3 ℃，且4月份整體溫度均高于5月份。可知4月份氣溫增長速度及幅值高于平均氣溫變化水平，排列熵值在4～5月份處也相應發生了明顯的變化，其中，以軌道板表面的變化最為明顯，由原先的0.424增加至0.562。

運營維護中，高溫季節尤其是持續高溫天氣(連續3d及以上日最高氣溫在35 ℃以上，同時日溫差小于10 ℃)情況下，軌道整體溫度也會隨之升高且遠高于氣溫，板內也會出現較大的溫度梯度，會加劇軌道板的翹曲變形。圖5中7～9月份最低氣溫已增加至25 ℃，最高氣溫也達到33 ℃～38 ℃，隨著溫度不斷升高，軌道板內溫度序列的排列熵也不斷增加至最大值0.602。10月份溫度突然降低且降速較快，排列熵值也表現出較大的波動性變化，其中，以軌道板表面變化最為明顯，由原先的0.596降低至0.413。

正常溫度變化情況下，軌道板溫度序列的排列熵值變化幅值小于異常溫度變化情況下的排列熵值。即證明排列熵可有效檢測到序列中的非線性變化，并通過排列熵值的變化放大體現出來。這也直觀說明需加強對軌道板溫度場的動態監測。根據本文所得結果，為實際養護維修設置排列熵閾值上限為0.6，閾值下限為0.4，以判別軌道板溫度場狀態是否正常。此外，當排列熵值變化幅值超過0.15時，也需及時安排結構檢查[21]。

對比板表、板中、板底排列熵值隨時間的變化可知，由于軌道結構導熱性能差引起結構內部溫度變化隨深度的增加存在滯后性，也充分體現在排列熵值的大小上，即隨著軌道板表深度增加，板中、板底溫度序列的排列熵值在不斷減小。以上分析表明，研究結果與軌道板溫度場的特性、變化趨勢及排列熵特征相符，排列熵能夠較好地衡量軌道板溫度序列的復雜度，檢測軌道板溫度場的狀態變化。

3 結論

從排列熵計算原理出發，將排列熵用于軌道板溫度場狀態變化檢測，通過研究環境溫度影響下軌道板距離軌道板面深度處溫度序列的排列熵，得出如下結論。

(1)采用排列熵算法進行狀態監測，可有效地檢測并放大軌道板溫度場復雜信號的狀態變化，以排列熵出現明顯的波動變化反映軌道板內溫度場的異常情況。

(2)軌道板溫度序列的排列熵表現出與環境溫度變化相一致的規律性，且隨著距軌道板表面距離的加深排列熵不斷減小，為實際養護維修設置排列熵閾值上限為0.6，閾值下限為0.4，變化幅值為0.15，以監測軌道板溫度場狀態。

(3)排列熵雖能有效檢測軌道板溫度場狀態的變化，但溫度場狀態變化的具體原因無法從排列熵中得以體現，仍需結合軌道板養護維修手段進一步研究。