考研數學中關于“大數定律與中心極限定理”的解題研究

陳貝寧 張瑩婕 曹鈺涵

1.河海大學商學院 江蘇常州 213022；2.河海大學里爾學院 江蘇南京 201198

大數定律和中心極限定理作為概率論與數理統計知識中的重要板塊，多次出現在考研數學真題中，題型較為靈活多變，如果考生只是簡單地了解定理內容，而不能在解題中靈活運用，則很容易失分。因此，備戰考生們應秉持著耐心的態度去認真復習這一板塊。首先，需要熟悉切比雪夫不等式的內容，重點理解其應用；其次，必須把大數定律的結論理解透徹；最后，需要掌握中心極限定理的結論及其應用。

大數定律和中心極限定理作為重點內容，不僅會通過選擇題或填空題的方式來呈現，還會作為知識點出現在綜合題中。考點比較固定，主要考察大數定律和中心極限定理的結論如辛欽大數定律、獨立同分布的中心極限定理等。

接下來通過梳理歷年考研真題，探討解題思路，歸納常見考點，有利于考生提高復習效率。

1 大數定律

人們在長期實踐中發現，隨機進行某種試驗時，若試驗次數很少，結果往往是無規律可循的，不具有確定性，但是在一定條件下，當試驗次數逐漸增多，其結果往往會趨向穩定，呈現出一定的規律性，即大量重復的隨機現象的總體性規律一般是以算術平均值的形式表現出來。大數定律就是由上述概率論命題衍生出的重要理論之一。

定理一(切比雪夫Chebyshew定理)[1]

若{Xn}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)≤c，i=1，2，…，則{Xn}服從大數定律，即對任意的ε>0，下式成立。

定理二(貝努里Bernoulli定理)[2]

設fA是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對于任意正數ε>0，有：

定理三(辛欽Kinchin定理)[2]

2 大數定律和中心極限定理的關系的探討

上述簡要介紹了大數定律的幾個重要定理，盡管它們在表達方式上有所不同，但是它們都表達同一個原理，即在大量重復的樣本條件下，樣本平均值可以近似看成是總體平均值(數學期望)。而中心極限定理在大數定律的基礎上進一步發展，以數量形式從隨機變量的分布律方面揭示了分布律的極限問題[3]，其核心思想是大量獨立同分布的變量和的極限分布服從于正態分布。

大數定律重點闡述的原理是：

可見，中心極限定理和大數定律的關系是密不可分，前后銜接的。

3 中心極限定理的結論和應用

定理四(獨立同分布的中心極限定理)[5]

設X1，X2，…，Xn，…獨立同分布隨機變量序列，且E(Xk)=μ，Var(Xk)=σ2，則對任給x∈(-∞，+∞)，均有:

其中φ(x)是標準正態分布N(0，1)的分布函數。

定理五(李雅普諾夫Liapunov定理)[6]

的分布函數Fn(x)對于任意x，滿足:

定理六(德莫佛—拉普拉斯De Moivre-Laplace定理)[6]

設隨機變量ηn(n=1，2，…)服從參數為n，p(0

中心極限定理作為概率論與數理統計的重要理論之一，描述了獨立同分布隨機序列的和以及算數平均的分布性質，廣泛應用于實際生活，為解決實際問題提供了有力的理論支撐。下文從幾個例子來具體說明其運用。

例1 一公司有50張簽約保險單，各張保險單的索賠金額為Xi，i=1，2，…，50(以千美元計)服從韋布爾分布，均值E(Xi)=5，方差D(Xi)=6，求50張保險單索賠的合計金額大于300的概率(設各保險單索賠金額是相互獨立的)。

則50張保險單索賠的合計金額大于300的概率為0.19%。

例2 某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難血液病的治愈率為0.8，醫院任意抽查100個服用此藥品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此斷言，否則就拒絕此斷言。若實際上此藥品對這種疾病的治愈率為0.7，問接受這一斷言的概率是多少?

解析：若實際上治療率為0.7，即X∽N(100×0.7，100×0.7×0.3)。

所求概率:

P1=P(X>75)

=1-φ(1.09)

=1-0.8621

=0.1379

4 歷年考研題中大數定律的應用

例2 (2014數學一)設總體X的分布函數為:

其中θ是未知參數且大于零。X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本。

答案：存在α=θ，使得對任意的ε>0，有:

5 歷年考研題中中心極限定理的應用

例1 (2001數學三)一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977(φ(2)=0.977，φ(x)是標準正態分布函數)

答案：每輛車最多可以裝98箱。

解析：設Xi(i=1，2，…，n)是裝運的第i箱的重量(單位：千克)，n是所求箱數。由題設可以將X1，Xi，…，Xn視為獨立同分布的隨機變量，而n箱的總重量Sn=X1+X2+…+Xn是獨立同分布隨機變量之和。

由題設，有:

所以:

E(Sn)=E(X1+X2+…+Xn)

=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)

=50n

D(Sn)=D(X1+X2+…+Xn)

=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

=25n

則根據列維-林德伯格中心極限定理，知Sn近似服從正態分布N(50n，25n)，箱數n根據下述條件確定:

=φ(2)

A.1-φ(1) B.φ(1) C.1-φ(2) D.φ(2)

答案：B

即N(50，25)。

=φ(1)

結語

大數定律和中心極限定理作為考研數學中的考查內容之一，其重要性不容忽視。考生不僅需要理解定理內容，更應在此基礎上把它和其他知識點有機結合起來，靈活運用。本文詳細介紹了概率論與數理統計中的重要內容——大數定律和中心極限定理，從對定理內容的逐步說明到考研真題的思路解析，深刻剖析了大數定律和中心極限定理的本質，有助于考生不再局限于課本定理內容，達到了快速抓住問題本質，選取最佳解題路徑的效果。