研究性學習視域下高等代數教學改革的實踐探究

黃政閣 崔靜靜

廣西民族大學數學與物理學院 廣西南寧 530006

1 問題提出

高等代數課程中核心點主要集中于有限維空間的線性理論的討論，是數學專業學生必修專業課之一，為后繼要學習的近世代數、實變函數等課程提供理論基礎知識和應用工具，其概念頗多，有較強的抽象性和邏輯性。近40年來，眾多學者在高等代數課程的教與學上，產生了大量的研究理論和可行性的教學指導成果，值得我們借鑒和思考。但從目前教學現狀來看，與培養當今社會需要創新型高素質人才勢頭相對立，范式化、形式化教學模式依舊盛行，定理、定義以及高度抽象性表達術語讓學生感到困惑。長此以往，導致學生只會機械性計算相關題目，對概念性知識理解停留在一知半解層面，更難以將知識系統化、條理化。

2 當前高等代數教學存在的問題

高等代數的教學改革一直備受高校一線教師的關注，許多高校從教學內容和教學理念上都對高等代數做了深入的理論研究和實踐探索，并且也取得了相應的成果。但是就當前而言，多數教師依舊采用傳統灌輸式講授，對高等代數的深入教學卻未給予足夠的重視，在學生學習活動中僅停留在布置作業與批改作業循環輪轉的模式，對學生研究性學習關注甚微。高等代數知識的高度抽象性與邏輯嚴謹性使得學生在學習時很難直觀化、可視化。因此，當前高等代數在課堂教學中存在的一些問題大致如下幾個方面。

2.1 教學方式單調

高等代數是主要研究各類代數結構的共同代數性質的一門課程，一般采用的教學方式為首先介紹代數對象的定義和概念，然后引出代數對象相關的代數性質、結論和定理，進而對相應的結論和方法進行嚴謹的證明，最后通過例子對相應的定理結論或方法如何應用進行詳細的說明。按照這種教學模式，相應內容講授結束后，許多學生只是識記了相關的概念、引理、定理以及結論等。對于知識的核心概念群把握欠缺，在知識的正遷移方面，愈加模棱兩可，或者只掌握了定理的內容和計算的方法，相應的證明過程不清楚，導致相應的數學思想的培養效果不好。長此以往，對知識網絡的構建以及章節知識銜接的問題就無法厘清，即學生的“線性思維”無法被激活，至于發散思維的培育就寸步難行，導致部分學生覺得高等代數課程枯燥無味，學習興趣低，甚至產生放棄學習此課程的念頭。

盡管高等代數的教學是基于其教學大綱展開教學的，但在課堂教學中講授定理證明和理論推導時，忽視對學生學習能力、創新能力等關鍵能力的培養和發展，缺少啟發性、遞進性，忽略問題意識，無法激發研究性學習的潛質，學生的學習習慣依然保留著中學學習方式的弊病。為此，大部分學生只是被動地接受知識，缺少主動思考與探索的素養。

2.2 評價方式單一

教師對學生學習成效的檢測是多元化的，從教師教的角度出發，我們叫做評價。當前，大多數高校的高等代數課程仍采取傳統的閉卷考試為考核模式，其具有操作簡單、考核標準直觀體現的優點，但不能真正地反映學生對知識的理解水平和學習過程，也難以體現學生的研究和創新能力，更不能把握學生對課程整體的體悟。因此有必要根據具體教學情況采用科學的、多層次的混合式考核方式。

雖然在教學過程中有布置并批改作業的環節，但是多數學生為了完成任務，對作業的完成質量僅停留在借鑒同伴或者借助網絡檢索相應試題的答案等途徑上，對于一線教師而言，在批改作業時不可能管窺出作業的方方面面，更把握不了學生對知識是否掌握并理解的層面。因此，對學生學習效果的評價方式單一會弱化學生發現并提出問題的能力，進而直接阻礙學生獨立自主探究能力和論證推理能力的培育。

2.3 教學手段匱乏

隨著信息計算的高速發展及“互聯網+”時代的到來，微信、騰訊會議、釘釘、QQ電話、云課堂及微視頻等多種移動互聯網技術使人們的教育觀念、教學手段和學習模式越來越多樣化和個性化，加速了知識的復制速度，豐富了知識的儲備體系，拓展了知識的內涵框架。我們想要獲得相關知識，就可以借鑒或者探索出網絡中前人的研究成果，提升自身的關鍵能力。

但當前高等代數教學手段匱乏，依舊是板書結合PPT教學手段，甚者有些教師直接將PPT取代整節課的教學，遇到棘手問題時，處理手段單一，在互聯網的使用和應用上缺少相應的引導，對于知識的獲取缺少可視化的動態呈現，學生的學習方向僅停留在書本上。

3 基于改革高等代數課程教學的探討

基于課堂教學的改革，從宏觀層面來看，是圍繞教學綱要，進行教學備課、教法的選取、教學方式的抉擇、教學手段的定位以及制定教學評價方式等；從微觀角度來說，一線教師要以真正培養學生發現問題及解決問題的能力為主要目的，發展學生邏輯思維能力以及論證推理能力，并培養學生的創新能力。但是，現實的課堂教學中，我們不僅要扮演好知識講解與傳授的角色，還要兼顧學生接受知識的現有水準。學生需要“一碗水”的時候，我們不僅要準備好足夠的水，更要把“水倒準”。因此，筆者認為，在高等代數課堂教學中，解決數學問題時滲透研究性學習，使學生逐步養成主動學習的行為習慣，同時對教師的專業發展也具有一定的促進作用。鑒于此，筆者針對一線高等代數課堂教學中的教學反思與感悟，略談一二。

3.1 在類比教學中剖析概念間的實質聯系

高等代數課程起步較晚，具有劃時代鮮明特點，研究該課程所需的數學思想與方法比較獨特，具有強烈的辯證意義特征，尤其在相似概念之間的辨析與論證時，具有高度的抽象性與概括性。歸根結底，不論解決高等代數問題還是解決其他課程中的數學問題，都是以概念為核心，所有新知識產生和發展的過程都離不開概念這個大前提。因此，概念學習的重要性是我們一線教師教學時必須要擺正的教學觀。

此外，對于概念的教學要有針對性、靈活性、啟發性，例如，在介紹“矩陣”這一概念時，并非僅僅局限于直接講出矩陣的字面含義，我們可以從線性方程組的角度出發，由于線性方程組的解由系數和常數項所決定的，引導學生發現上述的元素可以構成一個表格，在此基礎上添加括號后就變為矩陣。既捋順了概念的合理存在性，又緊密貼合學生的認知經驗，明確了新概念是客觀事物的某種反映。

3.2 在有限教學課時內合理改革教學內容

課堂教學在遵循循序漸進教學原則的大前提下，還要考慮教學時限。而高等代數課程的特點是抽象性和概括性較強，其概念、性質、定理等交織出了該課程的基本框架，其解題思想和解題方法為學習高等數學課程搭建了橋梁，而在兩個學期的時間內學完高等代數課程，時間倉促緊張，如何在有限課時內完成該課程的教學以及使課程收效達到最大化，是我們一線教師重點探討和鉆研的話題。

當前多數高校數學專業高等代數課程均采用北京大學數學系編寫的《高等代數》教材，此教材體系嚴密，理論性強，其編寫思路是以“概念→定理→證明”為主的嚴謹邏輯思緒，大部分學生初學該課程時覺得比較困難。為了實踐研究性學習，在授課時可根據內容的板塊和分類對講授內容的順序做適當的調整，如圍繞線性方程組的有解判定、唯一解的求法、有無窮多解時解的結構，重新構建授課內容框架，將教材中第2～4章內容講授順序調整為：行列式及其計算—矩陣及其運算—初等矩陣—逆矩陣的求法—消元法—n維向量空間—線性相關性及矩陣的秩—線性方程組有解判定—線性方程組解的結構等。

大多數學生學習高等代數課程時難以對課程中有聯系的知識進行系統性的記憶和總結，可通過對各章節內容、專題內容和學科交叉型內容進行對比、聯系與總結，引導學生厘清知識脈絡，建立高等代數的知識框架，認識不同學科對同一數學集合研究角度和方法的區別與聯系，培養學生學習代數的數學思維方法，加深對各知識點的理解和掌握，提高學習興趣和主動性。如可用如下圖1中的知識框架圖來幫助學生掌握和復習章與章內容之間的關系：

圖1

從上述知識框架圖就可讓學生清晰地了解章與章之間的關系，相關內容之間的相互關系。例如，從圖中可知線性變換其實是線性空間中一個具體研究的內容，其可構成特殊的線性空間，其建立了第六、第七章之間的關系；此外，第五章二次型與第四章矩陣其實是同一事物兩種不同的語言表示形式，任意一個二次型對應的矩陣都是對稱矩陣，關于二次型的一些結論也可用矩陣的語言來描述，反之對稱矩陣的若干結論也可通過二次型的語言來描述。故通過知識框架給學生授課和復習可使學生在大腦中形成整體知識結構，讓學生清晰學習內容，及它們之間的關聯，幫助理解知識點，使知識點理解和記憶更深刻和透徹。

3.3 在學生認知范疇內合理選擇適切的教學方法

鑒于高等代數課程內容多、概念抽象、邏輯性強，教師授課時可以采用啟發式和探究式的教學方法，做到突出重點和突破難點的效果。例如，n維線性空間V中的全體線性變換所構成的線性空間L(V)同構于數域P上全體矩陣所構成的線性空間Pn×n，從線性變換可對角化→線性變換矩陣的若爾當標準形都是以上教學思維的體現，這些內容都是該課程的重難點，有必要做到細講、精講，對于激活學生線性思維培養、為后續培養學生的非線性思維具有重要的作用。對于高等代數中的部分難點和前后相關聯的知識點，采用任務驅動、參與式等教學方法，引導學生積極參與教學過程，調動和發揮學生的主觀能動性，提高自主學習意識。

此課程中的許多理論有著很強的幾何背景，對過于抽象的相關內容，可有效利用直觀演示法，借助幾何直觀性，幫助學生理解和掌握相關定理和概念。例如，在歐式空間中兩個向量α和β正交，那么推想|α+β|2=|α|2+|β|2成立，可用中學幾何的勾股定理的圖形(見圖2)來引出：

圖2

通過具體的幾何圖形，為學生由初等代數的思維逐漸過渡到高等代數的思維搭建了橋梁，使高等代數中一些抽象的概念形象地展現給學生，使學生對新知識的理解更透徹。再例如，在講授將一組線性無關的向量組通過施密特正交化過程化為單位正交向量組時，按公式化的形式展現給學生的效果不好，學生難以理解，可利用多媒體和數學軟件將其幾何意義展示在屏幕上，讓學生更加直觀地理解施密特正交化過程的真正含義——用已知向量減去其在已有正交向量組上的投影。

此外，在教學中可以滲透“點、線、面”教學思想，問題與問題之間以“串”的形式進行銜接，從涉及的基本概念為核心突破點，同時追溯定理的歷史源頭，在每一個知識結構學成后，及時把涉及的關鍵知識內容“串”成“線”。當每一個部分內容學完后，把每塊內容之間拓展成一個“面”。例如，矩陣的特征值與特征向量的有關概念→求給定矩陣特征值和特征向量的方法→相似矩陣可對角化的條件→實對稱矩陣對角化的方法。

4 教學啟示

對于高等代數課程的教學，我們一線教師要在研究透教學大綱和教學目的的前提下備課，備課是一個系統工程，不僅僅是寫教案，要備教材、備學生、備教法以及搜集相關教學信息。此外在用好教材的同時，要理解教材、琢磨教材并跳出教材，分清教學的側重點。關于遇到概念、定理多，難以理解通透的問題時，要講解透徹、全面。每講一個概念，要抓住概念的內涵和外延，引用學生熟悉的例子進行類比講解，將新知識與學生原有知識進行有效的銜接，有助于弄清楚概念的本質特征。在講課時要做到概念細講，性質及結論講完后應以練習為主。此外，在課堂教學中，還有注重高等代數與初等數學的結合，這樣便易于把握學生的學情。

牛頓曾經說過：“在學習科學時，題目比規則還有用些。”在高等代數課程的教學中，對于定理、例題及習題應注重一題多解，可通過縱橫發散、知識串聯、數形結合、綜合溝通，達到舉一反三、學細學精的目的，是培養學生發散思維的好方法。

高等代數不僅是數學學科的重要基礎課程及許多后續課程學習的基礎，也是數學專業碩士研究生入學考試的考試科目之一。雖然多數學校開設了一學年的高等代數課程，但是由于該課程內容多，課時依然不夠，即教學內容很難進行加深與加難，達不到深度學習與研究性學習的目的，雖然后期有高等代數選講內容的加入，但是課時相比之前的學習又遞減了近乎三分之一，因此有必要在第一年學習階段教學中適當地調整教學方式和教學內容的深、難度。期望通過對本課程的教學從各方面進行相應的改革，使學生能夠對高等代數課程有著較全面、深刻的理解，同時使學生更深刻地體會數學學科的抽象嚴謹性，要學好數學需要逐步養成縝密的邏輯思維，學以致用。