意外的解法引起的思考

湖北省武漢市七一中學 馬仕雄

1 引言

幾何類比探究題一般作為整個試卷的幾何壓軸題，試題設置層層遞進，逐步深入，往往以常見的幾何模型為背景探索一個基本結論，然后類比探究到較為復雜或缺失某些條件的圖形，利用解題積累的經驗，運用或構造數學模型解決問題.這類題考查從特殊到一般、類比思想，考查邏輯推理、幾何直觀、想象能力、創新精神等.在一次中考模擬測試中，學生對一道類比探究型的解法引起了筆者的思考.

2 試題呈現

(1)【特殊發現】如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，連接BD，過點A作AF⊥BD，交BD于點E，交BC于點F，若BF=1，BC=3，則AB·CD=；

圖1

(2)【類比探究】如圖2，在線段BC上存在點E，F，連接AF，DE交于點H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD，求證：AB·CD=BF·CE；

圖2

(3)【解決問題】如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC=4，E為AB中點，D為AE中點，過點D作直線DM∥BC，在直線DM上取一點F，連接BF交CE于點H，使∠FHC=∠ABC，問：DF·BC是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

圖3

3 試題解答

解：(1)3；

(3)因為AB=AC，DF∥BC，所以∠ACB=∠ABC=∠ADM=∠AMD，于是AM=AD.又因為AB=AC=4，E為AB中點，D為AE中點，所以AE=2，AM=AD=1，AC=4.因為∠FHC=∠ABC，所以∠ACB=∠FHC，即∠EBH+∠HBC=∠HBC+∠BCE，得∠EBH=∠BCE.同理可得∠ACE=∠HBC.

解法1：如圖4，在DA的延長線上取點S，使∠S=∠ADF.由AB=AC，DM∥BC，可得：∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB=∠FMC=∠S.

圖4

所以SB·BE=SD·AB.

依題意得AD=DE=1，BE=2，所以2SB=4SD，即SB=2SD.

所以SD=BD=3，從而SB=6.

則SF·BC=6×2=12，即DF·BC=12.

解法2：如圖5，延長CE于點S，使ES=CE，連接BS，AS，則四邊形ASBC為平行四邊形.過點F作FT∥AB交BC于點T，則四邊形FDBT為平行四邊形，∠FHC=∠ABC，∠SBC+∠ACB=∠ABC+∠FTC=∠FHC+∠SHF=180°，所以∠SBC=∠FTB=∠SHF，所以△BSC∽△TBF，所以BS·FT=BT·BC，又BS=AB=4，BD=FT=3，所以BS·FT=DF·BC=12.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

4 教學思考

4.1 強化類比思路

顯然，解法1和解法2是命題者希望看到的方法，但在實際測試中班上48人中有35人做出了第(3)問，而用解法1和解法2的學生只有9人.這一現象引起了筆者的思考，為什么學生沒有按命題者設計的思路思考問題呢？題目要類比什么？怎樣用類比來探究問題？可以發現，類比的不僅是幾何模型，還有證題方法和解題思路.解決問題的關鍵在于模型的識別，要找出待解決的問題和幾何模型的相同點與不同點，待解決的問題中有沒有此幾何模型中的基本特征，如果有，結論是什么？如果沒有，缺什么？需構造什么？如何構造？這就需要學生發揮想象力，展開聯想.為此在原題的基礎上設計了一道補償練習題訓練學生類比探究的思路.

圖11

(2)如圖12，在等邊△ABC中，點E，D分別在邊AB，BC上，連接AD，CE交于點V，且AE=BD，過點D作DF∥AC交CE的延長線于點F，若BD=1，CD=3，求DF的長.

圖12

圖13

圖14

4.2 培養解題習慣

在教學中應加強學生的閱讀能力和解題意識的培養.注重審題、閱讀習慣的培養，解題時不要孤立地去思考問題，應將思維過程基于基本模型識別和應用之上,注重問題的前后關聯，運用類比思想簡化解題思路.這個過程需要教師的引導，更需要學生的領悟.

對于類比探究型的幾何綜合題的教學，教師要選取切合學生思維的最近發展區，而且導向性明確的試題，讓學生能合理、自然地類比探究，在潛移默化中提升思維能力.Z