以題生題 構建框架 高效復習
——“圓與角平分線”生長型復習課的教學設計與思考

湖北省武漢市吳家山第二中學 李幽蘭 董沖沖

湖北省武漢市吳家山第三中學 阮 征

1 引言

圓是擁有最完美對稱性的平面幾何圖形，也是初中階段學生需要掌握的基本圖形.本研究為筆者主講的一節人教版九年級上冊數學“圓與角平分線”生長型復習課的教學設計，從一道課本經典例題出發，根據所要復習的知識內容和學生已有的認知經驗，踐行“生長數學”的教學主張，通過“變圖形”“變條件”“探結論”來體現知識的生長性，架設生長型路徑，深化基本圖形及其應用，構建知識框架，提升學生思維能力和幾何素養.

2 “圓與角平分線”生長型復習課的教學設計

2.1 內容和內容解析

2.1.1 內容

通過對一道課本上關于圓的典型例題的深度挖掘與加工，復習圓的性質及探討圓中角平分線的應用.

2.1.2 內容解析

本節課將從人教版教科書中的一道例題出發，深度挖掘該例題中線段的數量關系、線段位置關系、角的數量關系、面積關系等等，通過一系列“問題串”，以“一題一課”的模式組織教學，通過添加線段設置變式，將問題循序漸進層層推進，所設計變式涵蓋圓周角、圓心角、弧長、旋轉、內心、隱圓等知識，達到復習的目的和效果.

基于上述分析，確定本節課的教學重點為：深度挖掘課本習題，并通過變式訓練復習圓的計算與證明中常用的思想方法.

2.2 目標與目標分析

2.2.1 目標

(1)進一步加深對圓中的基礎知識的理解與應用，如圓的對稱性、圓周角、圓心角、弦、圓內接四邊形等.

(2)掌握圓中的一個基本圖形及其基本結論，并能在復雜的圖形和問題中加以運用，培養學生的數學建模能力和邏輯推理能力.

(3)通過對課本問題的層層探究，培養學生發現問題、研究問題的能力.

2.2.2 目標解析

達成目標(1)的標志是：學生能說出圓周角定理、圓心角定理、圓的對稱性等，并能夠利用它們分析問題.

達成目標(2)的標志是：學生能夠說出該基本圖形的幾何特征，以及它所包含的基本結論，并且能夠從復雜圖形中抽象出基本圖形，并利用基本圖形解決復雜問題.

達成目標(3)的標志是：學生能對課本上的基礎問題進行適當改編，設置變式，從而獲得更多更好的結論.

2.3 教學問題診斷分析

課本例題本身難度較低，學生易產生輕視感，從而導致缺乏解題后的歸納總結與反思，導致在解決較為復雜的問題時，不能熟練地進行知識遷移，不能用基礎圖形有效縮短條件與結論之間的距離.所以本節課教師要帶領學生充分挖掘課本例題所提供的基本圖形，并且引導學生在遇到復雜問題時，聯想到已經解決的問題，從而打開解題的思路.

基于上述分析確定本節課的教學難點為：課本習題的總結歸納，變式訓練的邏輯推理，以及對基本圖形的抽象與應用.

2.4 教學過程設計

2.4.1 導思求學，引入例題

師：問題是數學的心臟.好的數學問題就像會下金蛋的母雞，可以帶給我們無盡的思考與收獲.那么，好的問題從何而來呢？我們課本中就有很多這樣好的問題.

例題(教材第87頁例4)如圖1，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD，BD的長.

圖1

師生活動：學生獨立完成.由勾股定理、圓周角定理、圓心角定理易求出.

2.4.2合作探究，深挖例題

問題1：從這個基本圖形(圖1)出發，你能得到哪些幾何結構和度量性質(角度、線段長度、線段數量與位置關系、面積等)？并說明理由.

基本圖形基本結論基本知識1.角度:∠ =∠ =90°,∠ =∠ =∠ =∠ =45°,……2.弧長:孤長:AD(= (= 3.線段:(1)位置: ⊥ , ⊥ ,……(2)長度:CD= (3)數量關系:AB= AO= AD= BD,AC+BC= CD,……4.面積:S四ABCD= 5.圖形:△ABD是 三角形,圓具有 性

師生活動：學生獨立完成，小組討論，鼓勵學生上臺展示及講解多種方法.教師引導學生發現基本圖形，總結一般輔助線和解題方法：作垂線和補短法(旋轉法).

問題2：如圖2,作∠BAC的平分線AE交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE，CE.例題中其他條件不變.你能求出AE的長度及四邊形ACEB的面積嗎？

圖2

師生活動：學生獨立完成，小組討論，學生上臺展示及講解.教師點撥并補充，引導學生比較和發現問題1與問題2之間的聯系.

問題3：如圖3,連接BF，在問題2條件下探究：

圖3

(1)點F是△ABC三條的交點，是△ABC的；

(2)∠AFB=；

(3)請直接寫出AD,BD,DF之間的數量關系：；

(4)請寫出點A,B,F與點D之間的關系：.

(5)你還能寫出其他結論嗎？

師生活動：引導學生探究隱圓及相關性質.

設計意圖：對課本例題深挖和推理的過程，也是在回顧圓的基本概念、性質、定理,以及角平分線模型常見解題方法的回顧與鞏固.教師在幾何畫板中演示動點運動過程，學生在教師的引導下進行探究和積累經驗，為后面解決復雜問題做好準備，提供“腳手架”.

2.4.3 變式拓展，應用提升

(2019武漢中考第9題)如圖4，AB是⊙O的直徑，M,N是弧AB(異于A,B)上兩點，C是弧MN上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D,∠BAC的平分線交CD于點E.當點C從點M運動到點N時，則C,E兩點的運動路徑長的比是( ).

圖4

設計意圖：本題為2019年武漢市中考數學卷第9題，它與課本例題基本圖形十分吻合，出自課本，又高于課本.前面對課本例題的深挖和探究，為其做好充足的鋪墊，學生在解決問題時會容易找到思路和切入口，提高圖形感知能力和圖形抽象能力.

2.4.4課堂總結，溫故知新

本節課你有哪些收獲？

2.4.5板書設計

基本圖形基本知識圓心角、圓周角、弧長、內心、隱圓……基本方法垂線段法、旋轉法(補短)、連半徑……

3 生長型復習課的教學思考

3.1 重視課本典例挖掘，探究題目變式拓展

學生在前面已經學習過圓的基本知識與性質，以及角平分線鄰邊相等對角互補的基本圖形，然而這些知識是零散的.課本中許多題目都極其經典，值得我們教師去鉆研深挖它的變式，將它們聯系起來，產生新的知識火花，學生根據教師搭建的立體式、生長型構架中的“梯子”，重新認識所要復習的知識，并通過知識的生長過程，看清數學本質，達到一定的認知高度，形成“一覽眾山小”的體驗，切實提高解決問題的能力，進而提升數學素養.

3.2 重視引導思考方向，合理把握思考空間

好的問題可以引導學生思考的方向，學生從中得到啟發.問題1中給出表格，學生需要在表格右側填寫出相應結論所鏈接的與圓相關的知識，并思考理由，既保留學生思維的開放性和探索力，又避免學生沒有方向和盲目摸索；既是復習舊知識，又是構建新的知識結構；既指引學生思考的方向，又留有思考的空間.問題1和問題2存在圖形和方法上的類比和遷移，問題2 中設計上沒有再讓學生去發現和回顧，而是目標明確，直接思考和求解兩題中相關聯的問題，體現課堂高效以及符合學生思維特點.

3.3 重視學生思維主體，引導學生積極探究

教師在課堂上整體把握學生的生長空間，關注學生思維發展的一個個節點，也就是思維的轉折點、變化點、發展點這些關鍵點就像甘蔗一樣，它會留下一串串生長節.學生的生長起點是思維的出發點，它是由學生現有的基礎和經驗決定的，終點是思維的落腳點，它是由生長目標、發展方向決定的.問題3中合理地拓展到三角形內心，探究4個動點的關系，引導學生思考和探究圓與隱圓之間的關系，將一個較難的問題在一個個階梯式的設問中恰當自然地呈現出來，學生在參與課堂活動的過程中，提升自己的思維能力和數學核心素養，實現自己的主體地位.

4 結語

教師應鉆研教材，深挖典型例題，設計螺旋式變式題目，研究教法和學生，將“教”與“研”結合，從學生的認知出發，為思維發展鋪墊階梯，讓學生達到這一階段思維的終點.