非線性項在零點和無窮遠處非漸進增長的高維變權p-Laplacian問題徑向結點解的存在性

沈文國， 包理群

(1.蘭州工業學院基礎學科部， 蘭州 730050； 2.蘭州工業學院電子信息工程系， 蘭州 730050)

文獻[1-3]建立了Dancer-型分歧定理.應用分歧理論，文獻[4-6]研究了高維問題. 應用分歧技巧[7]， 代國偉等[8]研究了徑向結點解的存在性，代國偉等[9]亦研究了高維橢圓方程保號解的存在性.然而， 關于高維變權問題的高階特征值研究文獻較少.代國偉等[10]建立了下列高維變權問題的一個單側全局分歧結果：

(1)

(2)

其中，r=|x|(x∈B)，m(r)∈M(I)是變號函數，I=(0，1)，并且M(I)={m(r)∈C(I)是徑向對稱的且|meas{x∈I，m(r)>0}≠0}.還假設：對幾乎處處的r∈I和有界集上的λ，下式一致成立，

(3)

注1本文對變號權問題(1)的研究和文獻[8-9]研究的定號權問題有本質的區別，研究人口遺傳的基因突變可用帶變權函數的非線性微分方程來刻畫， 淺水波方程等也與此類問題的研究有關.一般地，此類問題研究中， 強極大值原理不成立， 算子也不保錐， 這給問題的研究帶來了一些實質性的困難．

代國偉等[10]建立了下列譜結構.

引理1[10]假設m∈M(I)，特征值問題

存在兩列簡單的無窮實特征序列：

并且沒有別的特征值.進而，

令D記為問題(2) 的解集在×E中的閉包， 且當時，為D的子集， 且當m∈M(I)，且滿足 (3)， 由Dancer[3]和 引理 1， 代國偉等[10]獲得以下引理.

其中，σ∈{+，-}．

進而，本文研究下列問題：

(4)

其中，f∈C(，)，γ是一個參數.顯然， 問題(4)的徑向解等價于下列方程的解，

(5)

其中，r=|x|(x∈B).

應用引理 2， 代國偉等[10]建立了問題(5)徑向解的存在性，結論如下.

引理3[10]假設 (A1)和(A2)成立，m∈M(I).并且假設下列兩個條件之一成立，

或

(A1) 當s≠0時，sf(s)>0．

然而，當f滿足f0?(0，∞) 或f∞?(0，∞)時， 有什么結論成立？本文假設f滿足(A1)和下列假設：

(H1)f0∈(0，∞)且f∞=∞．

(H2)f0=∞且f∞∈(0，∞)．

(H3)f0=0且f∞∈(0，∞)．

(H4)f0∈(0，∞)且f∞=0．

(H5)f0=0且f∞=∞．

(H6)f0=∞且f∞=0．

(H7)f0=∞且f∞=∞．

(H8)f0=0且f∞=0．

1 主要結果

首先介紹下列引理.

引理4[11]令X是一個Banach空間， 令{Cn|n=1，2，…}是X的一個閉連通子序列集.假設

1) 存在zn∈Cn，n=1，2，…和z*∈X， 使得zn→z*；

考慮下列問題，

(6)

其中，λ>0 是一個參數．

假設 (A1)和(A2)成立， 且m∈M(I).令ζ，ξ∈C(，)，使得

f(u)=f0φp(u)+ζ(u)，f(u)=f∞φp(u)+ξ(u)，

且

考慮

(7)

作為從u≡0發出的一個分歧問題，且

(8)

作為從無窮遠處發出的一個分歧問題．

由引理2和Rabinowitz[12]可得如下引理5．

注2問題(6)的任何解(1，u)產生(5)的一個解u.

本文主要結果如下．

定理1令(A1)和(H1)成立， 且m∈M(I).假設下式成立，

證明由文獻[13]， 定義截斷函數

f[n](s)=

考慮

(9)

定理2令(A1)和(H2)成立， 且m∈M(I).假設下式成立，

(10)

定義

顯然， 問題 (10) 等價于

(11)

定理3令(A1)和(H3)成立， 且m∈M(I).假設下式成立

證明定義

f[n](s)=

考慮

(12)

定理4令(A1)和(H4)成立， 且m∈M(I).假設下式成立，

證明應用相似于定理2的證明方法和定理3， 可得結果．

定理5令(A1)和(H5)成立， 且m∈M(I).假設下式成立，

γ∈(0，+∞)∪(-∞，0)，

證明定義

f[n](s)=

考慮

(13)

定理6令(A1)和(H6)成立， 且m∈M(I).假設下式成立，

γ∈(0，+∞)∪(-∞，0)，

證明應用相似于定理2的證明方法和定理5，可得結果．

證明定義

f[n](s)=

考慮

(14)

證明應用相似于定理2的證明方法和定理7， 可得結果．

注3文獻[8-10]中僅僅研究了f0，f∞∈(0，∞)時的情況， 其中， 文獻[8-9]僅僅研究了定號權問題，而本文研究了f0?(0，∞)或f∞?(0，∞)并且是變號權的情況．