一類帶有偏差量的任意分數階非線性微分方程邊值問題唯一正解的存在性

段永紅, 王文霞

(1.太原學院數學系, 太原 030032； 2.太原師范學院數學系, 山西 晉中 030619)

分數階微分方程的邊值問題無論是在數學領域還是在力學、電子學等眾多工程技術領域都已經獲得了廣泛深入的研究，研究成果非常豐富，見文獻[1-5]及其參考文獻.積分邊值問題是流體力學、工程學等諸多領域的數學模型，因此分數階微分方程的積分邊值問題近年來受到極大的關注，獲得了很多有價值的研究成果，見文獻[6-8]及其參考文獻.其中，文獻[8]利用Krasnoselskii不動點定理研究了如下分數階積分邊值問題的正解的存在性：

另一方面，帶有偏差量的微分方程在物理、力學、工程學與經濟學等諸多領域有重要的應用，也是微分方程理論中重要的研究領域.近年來，許多專家學者對帶有偏差量的任意分數階微分方程的正解問題進行了研究，成果不斷涌現.比如文獻[9]研究了帶有時滯量的邊值問題正解的存在性，文獻[10-12]研究了帶有超前量的兩點邊值問題或積分邊值問題正解或多重正解的存在性，這些文獻使用的主要工具為Guo-Krasnoselskii不動點定理，Leray-Schauld非線性抉擇，不動點指數理論以及Legget-Williams不動點定理.文獻[13]研究了如下帶有偏差量的Caputo型任意分數階微分方程積分邊值問題：

其中，f：[0，1]×R×R→R，g：[0，1]×R→R，τ：[0，1]→[0，1]皆為連續函數，λ≥0.使用單調迭代技術及上下解方法獲得了上述問題存在極值解的充分條件.據筆者所知，這類帶有偏差量的任意分數階非線性微分方程唯一正解的存在性研究尚不多見．

基于上述原因，并受文獻[7，10-13]的啟迪，本文研究如下任意分數階非線性微分方程積分邊值問題(BVP)唯一正解的存在性：

(1)

1 預備知識及引理

定義1[1-2]設p>0，函數x：(0，+∞)→R的p階Riemann-Liouville型積分定義為

只要上式右端在(0，+∞)上有定義；連續函數x：(0，+∞)→R的p階Riemann-Liouville型導數定義為

只要上式右端在(0，+∞)上有定義，n-1

考慮如下分數階線性邊值問題，

(2)

其中，y，z∈C[0，1]．

引理1BVP(2)有唯一解

其中，

G(t，s)=G1(t，s)+G2(t，s)，

c2tα-2+…+cn+1tα-n-1，

其中，ci∈，i=1，2，…，n+1.由邊界條件x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=0可知ci=0，i=3，4，…，n+1.于是，

進而有

故

(3)

將上式兩邊從0到η積分可得

將其代入(3)式，

證畢．

容易證明如下結論成立．

引理2引理1中定義的函數G(t，s)，G1(t，s)，G2(t，s)具有如下性質:

1)G1(t，s)，G2(t，s)及G(t，s)在[0，1]×[0，1]上都是非負連續函數；

給定e>0(i.e，e∈P，e≠θ)，令

Pe=

{x∈E|?l1=l1(x)>0，l2=l2(x)>0 s.t.

l1e≤x≤l2e}.

(4)

引理3[15]設P是E中的正規錐，δ∈(0，1).A：P×P→P是混合單調算子且滿足

A(rx，r-1y)≥rA(x，y)，r∈(0，1)，x，y∈P．

B：P→P是增算子且滿足

B(rx)≥rδB(x)，r∈(0，1)，x∈P．

若下列條件成立，

1)存在u0∈Pe使得A(u0，u0)∈Pe及Bu0∈Pe；

2)存在ε0>0使得A(x，y)≤ε0Bx，?x，y∈P．

則A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且對任意的x0，y0∈Pe，令

xn=A(xn-1，yn-1)+Bxn-1，

yn=A(yn-1，xn-1)+Byn-1，n=1，2，…，

那么有xn→x*，yn→x*(n→+∞).

引理4[15]設P是E中的正規錐，δ∈(0，1).A：P×P→P是混合單調算子且滿足

A(rx，r-1y)≥rδA(x，y)，r∈(0，1)，x，y∈P．

B：P→P是增算子且滿足

B(rx)≥rB(x)，r∈(0，1)，x∈P．

若下列條件成立:

1)存在u0∈Pe使得A(u0，u0)∈Pe及Bu0∈Pe；

2)存在ε0>0使得A(x，y)≥ε0Bx，?x，y∈P．

則A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且對任意的x0，y0∈Pe，令

xn=A(xn-1，yn-1)+Bxn-1，

yn=A(yn-1，xn-1)+Byn-1，n=1，2，…，

那么有xn→x*，yn→x*(n→+∞).

2 主要結果

P={x∈X|x(t)≥0，t∈[0，1]}，

為X中的正規錐．

為了方便，記

以及

h(t)=h1(t)+h2(t)，t∈[0，1]，

并定義Pe如(4)式．

(H1)f(t，x，y)關于第二個變量不減，關于第三個變量不增，且對任意的r∈(0，1)有

f(t，rx，r-1y)≥rf(t，x，y)，

x∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H2)g(t，x)關于第二個變量不減，且對任意的r∈(0，1)存在δ∈(0，1)使得

g(t，rx)≥rδg(t，x)，

x∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H3)存在ε>0使得g(t，x)≥εf(t，x，0)，t∈[0，1]，x∈[0，+∞)．

則BVP(1)有唯一正解x*，進而，對任意的x0，y0∈P，令

(5)

(6)

n=1，2，…，有

(7)

證明定義算子A和B如下：

y(τ(s)))ds，t∈[0，1]，x∈P，

t∈[0，1]，x∈P．

根據引理1，x是BVP(1)在P中的解當且僅當x是算子方程A(x，x)+Bx=x在P中的解.由函數f(t，x，y)，g(t，x)和τ(t)的非負連續性以及引理2可知：A：P×P→P，B：P→P．

由條件(H1)和(H2)易知：A：P×P→P是混合單調算子，B：P→P是增算子，且對任意的r∈(0，1)，x，y∈P有

此即A(rx，r-1y)≥rA(x，y)，B(rx)≥rδBx.

下面證明引理3中的條件 1)及條件 2)成立.通過計算可得

進而有

于是根據引理2以及f(t，x，y)關于x，y的單調性有

A(e，e)(t)=

A(e，e)(t)=

注意到f(t，0，1)≠0，故有A(e，e)∈Pe.類似可得

取ε0=βε.根據f和g的單調性以及條件(H3)和引理2，對任意的x，y∈P有

此即Bx≥ε0A(x，y)，?x，y∈P.因此引理3中的條件 2)成立．

既然引理3的所有條件都滿足，根據引理3可知A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且對任意的x0，y0∈Pe，令

xn=A(xn-1，yn-1)+B(xn-1)，

yn=A(yn-1，xn-1)+B(yn-1)，n=1，2，…，

有xn→x*，yn→x*(n→+∞).

再注意到對任意的x∈P有A(x，x)+Bx∈Pe，故x*為BVP(1)的唯一正解，且做迭代列(5)及(6)，則有(7)式成立.證畢．

定理2設g(t，0)≠0，且下列條件成立：

(H4)f(t，x，y)關于第二個變量不減，關于第三個變量不增，且對任意的r∈(0，1)存在δ∈(0，1)使得

f(t，rx，r-1y)≥rδf(t，x，y)，

x，y∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H5)g(t，x)關于第二個變量不減，且對任意的r∈(0，1)有

g(t，rx)≥rg(t，x)，x∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H6) 存在ε′>0使得ε′g(t，x)≤λ，t∈[0，1]，x≥0.

則BVP(1)有唯一正解x*，進而，對任意的x0，y0∈P，令

有

證明定義算子C和T如下：對任意的x，y∈P，

顯然x是BVP(1)在P中的解當且僅當x是算子方程C(x，x)+Tx=x在P中的解．

類似于定理1可證A：P×P→P是混合單調算子，且B：P→P是增算子，且有

C(rx，r-1y)≥rσC(x，y)，

T(rx)≥rTx，r∈(0，1)，x，y∈P，

此外，根據算子C的定義可得

t∈[0，1]，

注意到g(t，0)≠0和(H6)可知λ>0，故有C(e，e)∈Pe.類似可證Te∈Pe.

最后，根據條件(H6)，對任意的x，y∈P有

此即ε′Tx≤C(x，y)，?x，y∈P.

綜上可知引理4中所有條件皆成立.根據引理4以及

C(x，x)(t)+T(x)≥Bx(t)≥

(h1(t)+h2(t))λ>0，t∈[0，1]，

可知本結論成立.證畢．

3 例子

考慮如下分數階邊值問題

(8)

此外顯然有f∈C([0，1]×[0，+∞)×[0，+∞)，[0，+∞))關于第二個變量不減，關于第三個變量不增；g∈C([0，1]×[0，+∞)，[0，+∞))關于第二個變量不減.又對任意的r∈(0，1)有

這就證明了條件(H1)和(H2)成立．

取ε=7，于是對任意的t∈[0，1]，x∈[0，+∞)有

此即條件(H3)成立.

綜上可知定理1的所有條件皆成立，這樣根據定理1可知：BVP(8)有唯一正解x*，進而，對任意的x0，y0∈P，令

n=1，2，…，有