色玻璃凝聚理論中跑動耦合常數效應研究

向文昌， 王夢亮*， 蔡燕兵， 周代翠

(1.貴州財經大學金融物理重點實驗室， 貴陽 550025； 2.華中師范大學粒子物理研究所， 武漢 430079)

色玻璃凝聚(Color Glass Condensate，CGC)有效理論通常被認為是描述高溫高密QCD環境中強相互作用的最佳理論之一.領頭階(Leading Order，LO)CGC理論最早起源于20世紀90年代后期，主要是推導了描述膠子飽和物質非線性演化的Balitsky-JIMWLK方程[1-5].Balitsky-JIMWLK方程是一個無窮級聯方程，無法直接用于唯象研究.在平均場近似下，Balitsky-JIMWLK方程將簡化為一個閉合的演化方程，即Balitsky-Kovchegov(BK)方程[1，6].BK方程只對所有領頭對數項～αsln(1/xBj)進行重求和，因此屬于LO方程，其精度不高，這里αs和xBj分別表示跑動耦合常數和Bjorken變量.該方程能直接用于唯象研究，如描述HERA能區質子結構函數[7]、RHIC能區氘-金碰撞中帶電粒子的橫動量分布[8]、LHC能區質子-鉛碰撞和鉛-鉛碰撞中末態粒子的多重數分布[9]等.然而，大量的研究表明LO CGC理論只能定性的描述實驗數據，究其原因發現LO BK方程給出的偶極子散射振幅隨快度的演化速度過快，導致理論計算結果普遍大于實驗數據.

近十幾年來，大量的研究致力于推廣LO CGC理論到次領頭階水平.一方面是由于LO CGC機制描述的實驗觀測量也能采用DGLAP演化機制描述，如HERA能區電子-質子深度非彈性散射(DIS)中幾何標度效應[10-11].高能核物理學家們還無法甄別到底是CGC機制還是DGLAP機制主導高能強子碰撞初期形成的部分子系統的演化，因此CGC有效場理論還沒有被高能核物理學家廣泛接受.另一方面是由于LO CGC理論精度水平還有待提高，低精度的LO CGC還無法對DIS中單舉約化截面以及相對論重離子碰撞中帶電粒子多重數分布給出定量的描述，通常需要乘上一個常數因子才能解釋相關實驗數據.以上兩點主要原因極大的推動了CGC理論向次領頭階(Next-to-Leading Order，NLO)發展.

在NLO-CGC理論發展方面，最初由Balitsky研究組[12]和Kovchegov-Weigert研究組[13]采用不同的重整化方案考慮夸克圈對膠子傳播子的修正貢獻，對所有階αsNf進行重求和，分別推導并獲得了兩種版本的跑動耦合常數效應修正的Balitsky-Kovchegov演化方程(rcBK).值得注意的是這兩個rcBK方程具有相同的形式，但是演化核不同.rcBK方程的數值解顯示其給出的偶極子散射振幅隨快度的演化遠小于LOBK方程給出的結果，由此表明次領頭階的跑動耦合常數效應極大的壓低了CGC物質的演化速度.當Albacete等人把rcBK方程用于描述HERA實驗數據時發現，在一定的誤差范圍內rcBK方程能較好的給出定量的描述，而且不再需要乘上一個常數因子[14].此外，研究組在飽和區域解析地求解了rcBK方程，研究發現在飽和區域中Balitsky演化核和Kovchegov-Weigert演化核具有相同的表達形式，由此表明CGC演化方程在飽和區域中獨立于重整化方案[15].同時，還獲得了偶極子散射振幅的解析表達式，并發現散射振幅對快度的依賴從LO下的平方依賴變成了跑動耦合常數下的線性依賴，表明了跑動耦合常數效應對CGC物質演化有較強的壓低作用[16].

除夸克圈修正(跑動耦合常數效應)外，膠子圈的貢獻也是一種非常重要的NLO修正.在考慮了夸克和膠子圈的貢獻后，Balitsky和Chirilli推導了一個完整的NLO BK演化方程[17].膠子圈修正不僅修改了方程的演化核，而且還改變了演化方程的形式(相較于LO BK方程)，因此使得NLO BK方程極其復雜.在BK形式表示的NLO演化方程發展的同時，Kovner等推導了NLO JIMWLK哈密頓量，并采用該哈密頓量重新推導出了NLO NK方程[18-20].NLO BK方程出現八年后，Lappi研究組才首次利用數值方法解出了該方程，并獲得了NLO偶極子散射振幅[21].但是其研究發現NLO BK方程給出的散射振幅對初始條件有很強的依賴關系，同時散射振幅會隨碰撞能量的增加而變成負值.這些非物理的結果表明NLO BK方程極其不穩定，究其原因主要來自于演化核中大雙對數項的貢獻.為了解決以上提到的不穩定性問題，Iancu研究組考慮到連續部分子輻射過程中，輻射膠子壽命需滿足時序限制性條件，對大雙對數項進行重求和[22].同時，也考慮了單對數項重求和的貢獻，得到了一個共線改進的Balitsky-Kovchegov演化方程(ciBK方程).ciBK方程成功地解決了NLO BK方程不穩定的問題.Albacete課題組和Iancu研究組在3種不同的跑動耦合常數方案下，分別采用了ciBK方程研究了HERA實驗數據，研究結果顯示ciBK方程給出了更好的理論描述[23-24](相較于LO-BK和rcBK方程).最近，Beuf等考慮到NLO影響因子對光子波函數的修正作用，采用3種不同的偶極子散射振幅，研究了DIS約化截面，結果顯示3種散射振幅給出了同等質量的描述效果[25].仔細分析以上3個課題組的研究結果不難發現，他們在擬合實驗數據時都把一圈QCD表示的跑動耦合常數表達式中的常數因子exp(-γE)當作自由擬合參數C，其中γE～0.6.然而擬合結果顯示為了使偶極子散射振幅的演化速度與實驗數據的要求相一致，C的取值跨越了非常大的范圍(0.31～8050).由此可知偶極子散射振幅對跑動耦合常數效應較為敏感，也反應出跑動耦合常數效應的重要性.

本論文將基于LOBK方程和ciBK方程，結合HERA能區電子-質子DIS約化截面相關實驗數據，著重研究4種不同的跑動耦合常數方案對偶極子散射振幅的影響，即母偶極子大小、最小偶極子尺度、快速收斂和Balitsky 4種方案.在將C限定在其理論值附近變化和讓C完全自由變化兩個情況下研究跑動耦合常數對偶極子散射振幅的影響，發現讓C完全自由變化時所有跑動耦合常數方案給出了幾乎同等的實驗數據描述效果(χ2/d.o.f～1.15).然而，當限定C的變化范圍在其理論值附近時，母偶極子大小和最小偶極子尺度方案無法對實驗數據給出合理的描述，究其原因是此時散射振幅隨快度的演化速度過快，而跑動耦合常數效應又沒有提供足夠多的壓低量來抵消過快的演化速度，從而導致理論計算結果大于實驗觀測值.在限定C的變化范圍下，快速收斂和Balitsky方案給出了較好的實驗數據描述效果，尤其是采用Balitsky方案擬合得到的C值與理論計算值非常接近，由此也間接表明了Balitsky方案可能是一種優選方案.值得注意的是在極限運動學條件下Balitsky方案將簡化為最小偶極子方案，即Balitsky方案包含了部分最小偶極子方案的內容.

1 偶極子演化方程

為了引入一些基本物理量的記號，本節將首先介紹偶極子隨快度演化(或能量演化)的領頭階Balitsky-Kovchegov方程；然后回顧共線改進的Balitsky-Kovchegov方程.這兩個方程將在后面的研究中用于描述HERA能區相關實驗數據.

1.1 領頭階Balitsky-Kovchegov方程

在高能情況下，考慮一個由夸克—反夸克對組成的偶極子與強子靶發生散射(圖1).假定該散射過程滿足程函近似，即意味著夸克的橫向坐標(x)和縱向坐標(y)在散射過程中保持不變，該過程的散射矩陣可以用兩條Wilson線的關聯函數表示：

圖1 偶極子與靶發生相互作用的費曼圖

(1)

這里，〈…〉Y表示在快度Y一定時對靶膠子場的平均，Y為偶極子與靶之間的相對快度：

(2)

式中，s和Q0分別為質心系能量的平方和靶的典型飽和動量.方程(1)中的U為時序Wilson線，可以表示為：

(3)

式中，A+(x-，x)為靶中的膠子場.

在平均場近似下，散射矩陣Sxy(Y)隨快度的演化滿足BK方程[1，6]：

[Sxz(Y)Szy(Y)-Sxy(Y)]，

(4)

在大Nc極限下，方程(4)描述了母偶極子(x，y)隨著快度的增加劈裂成兩個子偶極子(x，z)和(z，y)的過程，演化核KLO(x，y，z)表示劈裂的幾率：

(5)

通常把方程(4)右邊的第一項叫做“實”項，它描述兩個子偶極子同時與靶發生相互作用，因此它也是非線性項.方程(4)右邊的第二項通常稱為“虛”項，它描述母偶極子在相互作用過程中沒有被分解而是存活下來的概率.值得注意的是，在方程(4)只對領頭對數進行了重求和，并假定了跑動耦合常數不變，因此方程(4)屬于領頭演化方程.

利用散射矩陣和散射振幅之間的關系：

S=1-N，

(6)

把LO BK方程可以改寫成散射振幅表示：

N(r2，Y)-N(r，Y)-N(r1，Y)N(r2，Y)].

(7)

式中，r=x-y，r1=x-z，r2=z-y分別代表母偶極子和兩個子偶極子橫向尺度大小.方程(7)將便于對其求數值解.

1.2 共線改進的Balitsky-Kovchegov方程

當同時考慮到夸克圈和膠子圈的貢獻時，可以得到一個描述偶極子隨快度演化的完整NLO BK方程[17]：

[S(r1，Y)S(r2，Y)-S(r，Y)]+

[S(r1，Y)S(r3，Y)S(r′2，Y)-S(r1，Y)S(r2，Y)]+

[S(r′1，Y)S(r2，Y)-S(r1，Y)S(r2，Y)]，

(8)

其演化核：

(9)

(10)

(11)

這里采用了記號r′1=x-z′，r′2=y-z′和r3=z-z′.方程(9)中的b和μ分別代表β函數的系數和重整化標度.由引言部分的介紹可知，NLO BK方程的解對初始條件具有很強的依賴性，同時該方程的解會隨著快度的增加出現負值，這些非物理意義的結果表明NLO BK方程不穩定，究其原因發現方程的不穩定性來自于NLO BK方程的演化核中大雙對數項的影響，即方程(9)中的最后一項.為了使NLO BK方程穩定，Iancu等人采用了一種新穎的方法對所有大雙對數項和單對數項進行重求和，得到了一個共線改進的演化方程(ciBK)[22，24]：

[S(r1，Y)S(r2，Y)-S(r，Y)]，

(12)

其中，共線改進的演化核：

Kci(r，r1，r2)=KSTL×KDLA，

(13)

單橫向對數演化核KSTL為：

(14)

雙對數近似演化核KDLA為：

(15)

2 跑動耦合常數

根據膠子傳播子的Schwinger-Dyson方程的研究以及格點QCD結果表明：在坐標空間中，在r很大的紅外區間，跑動耦合常數將會趨向常數αfreeze(本文取0.7)[26]；而在r很小的紫外情況下，基于強相互作用“漸近自由”的屬性，耦合常數趨于0.因此，采用一圈精度的跑動耦合常數表達式：

(16)

從NLO BK方程(8)的演化核(9)中可以看出跑動耦合常數可能會使單對數項變得很大，如當r?1/μ或r?1/μ時，第一個單對數項就會趨于很大的值.因此，高能核物理學家們需要恰當的選取μ來消除這些潛在的大對數結果.通常情況下μ的選取不是唯一的，在微擾QCD中一般采用硬標度來確定跑動耦合常數.本文將采用4種不同的方案來選取μ，盡可能使得潛在的大對數項被抵消掉.

1) 在最早的研究中，通常認為QCD跑動耦合常數是母偶極子橫向尺度大小的函數[12]，通常稱為母偶極子大小方案：

(17)

式中，rpd代表母偶極子橫向大小，pd為parent dipole的縮寫.后來的研究發現，雖然母偶極子大小方案避免了大對數項，但是該方案很難對HERA實驗數據給出較好的描述.

2) Balitsky和Chirilli在推導NLO BK方程時發現跑動耦合常數應該是最小偶極子橫向大小的函數而非母偶極子橫向大小的函數[16-17]，通常稱為最小偶極子尺度方案：

(18)

式中，rmin=min{r，r1，r2}代表最小偶極子的橫向大小.在所有的運動學區域中，該方案都能成功得消除大對數項的貢獻.

(19)

從方程(19)可知，當三個偶極子中的任意一個遠遠小于其他兩個時，快速收斂方案將化簡成最小偶極子尺度方案.

4)在唯象研究中，高能核物理學家們大多采用Balitsky推導rcBK方程的方案[24]，通常稱為Balitsky方案：

(20)

在極端運動學極限下，方程(20)也將化簡為最小偶極子尺度方案.

3 數值結果

本節采用HERA能區電子-質子散射中約化截面的相關實驗數據，研究不同跑動耦合常數方案的優缺點.根據Mueller偶極子模型，電子將輻射出虛光子，然后虛光子與質子發生深度非彈性散射，其截面可以表示為[27]：

(21)

(22)

(23)

(24)

采用約化截面(24)式擬合HERA實驗數據.為了計算(24)式，首先需要計算(21)式中的偶極子散射振幅N(r，Y).

第一節中介紹的偶極子演化方程(7)和(12)，加上第二節中跑動耦合常數(16)，已經具備了求解偶極子散射振幅的所有基礎.由于偶極子演化方程是極其復雜的積分微分方程，很難從中得到解析的偶極子散射振幅.本文將采用之前研究中開發的數值算法求解方程(7)和(12)，獲取數值形式的偶極子散射振幅[28-30].本文采用GNU科學計算程序庫(GSL)中的榮格庫塔方法求解方程(7)和(12).把偶極子放在網格上，并把它平均分成512個離散點.同時假定偶極子散射振幅不依賴于碰撞參數，即N=N(|r|，Y).在數值解方程過程中有部分點沒有落在網格上，將采用樣條插值的方法計算它們的值.此外，采用帶跑動耦合常數效應的McLerran-Venugopalan(rcMV)模型作為偶極子演化方程所需的初始條件[31]：

N(r，Y0)=

(25)

表1 ciBK情形下C2自由變化時擬合參數表

表2 ciBK情形下限定C2變化范圍時擬合參數表

為了進一步解釋在不限定C2的變化范圍時，4種跑動耦合常數方案均給出了對實驗數據合理的描述，而限定C2的變化范圍時，上述4種方案中前兩種無法合理的描述實驗數據，后兩種給出了合理的描述，采用表1和表2中的擬合參數畫出了散射振幅隨偶極子橫向大小的變化關系，見圖2.圖2(b)顯示了不限定C2變化范圍的情形，從圖可以看出在三個不同快度下(Y=0、6和12)，由4種跑動耦合常數方案計算得到的散射振幅分別相互聚集在一起，也即在同一快度時4種散射振幅近似相等.從表面上看，4種不同的跑動耦合常數方案應該導出不同大小的散射振幅.然而，對于同一快度得到它們的大小幾乎相同.分析4種散射振幅近似相等的原因，發現主要來自于C2的貢獻，通過改變C2的值能使4種不同的跑動耦合常數方案給出近似相等的耦合常數值.圖2的左邊給出了限定自由參數C2在其理論值周圍變化的情況，從圖可以看出對于同一快度散射振幅大致可以分成兩組，一組是快速收斂和Balitsky方案給出近似相同大小的散射振幅，另一組是母偶極子大小和最小偶極子尺度方案給出近似相同大小的散射振幅，且前面一組小于后面一組，即前面一組對散射振幅的壓低大于后一組，由此也解釋了前面一組方案給出實驗數據合理描述的原因.此外，研究發現在擬合中限定了C2的變化范圍，從而無法通過調整C2的值來使得四種耦合常數的值近似相等，所以導致同一快度下散射振幅不相同，進而致使母偶極子大小和最小偶極子尺度方案無法對HERA實驗數據給出較好的描述.

(a) 限定C2在理論值附近變化的結果；(b) C2自由變化的結果

圖3中給出了不限定C2的變化范圍時約化截面的理論計算值與HERA實驗數據的比較情況.這里選取了九組不同的虛度值(Q2)對應的實驗數據，從圖中可以看出對所有的Q24種跑動耦合常數方案都給出了較好的描述.圖4給出了限定C2的變化在其理論值周圍的情況，從圖中可以看出快速收斂(紅色圓)和Balitsky(藍色三角)方案能對實驗數據進行較好的描述，而母偶極子大小(綠色方框)和最小偶極子尺度(黃色三角)方案在較大Q2時無法較好的描述實驗數據.上述結果與表1和表2中的χ2/d.o.f完全一一對應.此外，考慮到C2的取值應接近其理論值，由表1、表2、圖3和圖4可知Balitsky方案可能是描述HERA實驗數據的優選方案.

圖3 不同虛度時四種跑動耦合常數方案下，約化截面隨x的變化(在擬合時，沒有限定自由參數C2的范圍)

圖4 不同虛度時四種跑動耦合常數方案下，約化截面隨x變化(限定自由參數C2在其理論值附近變換C2～0-1)

為了驗證LO情形下是否可以通過調節C2的值從達到壓低偶極子散射振幅的目的，采用LO BK方程，結合4種不同的跑動耦合常數方案，擬合了同一組實驗數據，相應的擬合參數見表3.從表3可以看出，無論C2取什么樣的值，LO BK方程都無法對實驗數據給出合理的描述.此外，由于母偶極子大小跑動耦合常數方案自身精度水平不高，加上LO BK方程也只考慮到了領頭對數近似下的重求和貢獻，因此采用LO BK方程擬合實驗數據時無法得到合理的收斂結果.由此表明，只簡單的把LO BK方程中的跑動耦合常數當作變量，而沒有從pQCD原理出發通過計算NLO夸克圈(跑動耦合常數效應)的貢獻，是不可能從實質上提高CGC理論的精度.

表3 LO BK情形下限定C2變化范圍時擬合參數表

4 結論

本文首先回顧了LO BK方程和ciBK方程，然后介紹了四種跑動耦合常數方案，通過理論分析可知快速收斂和Balitsky方案在一定的極限下可以簡化成最小偶極子尺度方案.由此說明快速收斂和Balitsky方案包含了部分最小偶極子方案的內容，這可能也是在擬合HERA實驗數據過程的中發現快速收斂和Balitsky方案優于最小偶極子尺度方案的一個重要原因.此外，在偶極子模型框架下采用ciBK方程，并結合4種跑動耦合常數方案擬合了HERA能區光子-質子散射中約化截面，研究了4種跑動耦合常數方案的優越性.結果顯示在不限定自由參數C2的取值范圍時，4種方案對實驗數據給出了相同質量的描述.分析其原因發現，對于同一快度通過調整C2的取值，可以使得4種跑動耦合常數方案對應的4個散射振幅具有近似相同的值.然而，當限定自由參數C2的取值范圍在其理論值周圍時，發現只有快速收斂和Balitsky方案能對實驗數據進行合理的描述(其他兩種方案計算出的約化截面偏離了實驗測量值)，尤其是Balitsky方案不僅給出合理的χ2/d.o.f～1.15值，而且其給出C2～0.326的值也非常接近理論值0.3.由此可知Balitsky方案可能是描述HERA實驗室數據優選的跑動耦合常數方案.為了顯示跑動耦合常數效應對偶極子演化方程的重要影響作用，在LO BK方程中假定跑動耦合常數是一個變化量，從而簡單且粗略的引入跑動耦合常數效應對偶極子散射振幅的修正.研究顯示這種方法無法提高LO BK方程對實驗數據的描述效果，可見簡單的引入跑動耦合常數修正的方法無法從實質上提高偶極子散射振幅的精度.