問題引領促深思,數理通融育素養
——以勻變速直線運動的中間位置速度為例

程賢樓

(安徽合肥市第七中學)

問題1如圖1所示,一物體由A到B做勻變速直線運動,O為AB的中點,物體在A、B點的瞬時速度分別為v1、v2,則物體在O點的瞬時速度該如何表示呢?

圖1

分析設線段AB的長度為x,物體的加速度為a,由勻變速直線運動速度與位移的關系可得

問題2物體做勻變速直線運動的速度—時間圖像是一條傾斜的直線.以勻加速直線運動為例,其v-t圖像如圖2所示,其中OABC梯形的“面積”表示物體速度由v1變為v2過程中的位移,平行于v軸的線段DE把梯形“面積”二等分,因此為物體中間位置的瞬時速度,即.從數學角度來說,即,你能從數學角度來證明此結論嗎?

圖2

分析由于圖2中OABC為直角梯形,我們在直角梯形中證明此結論.

如圖3 所示,在直角梯形OABC中,OA∥DE∥BC,DE把梯形面積二等分.現要證明

圖3

如圖4所示,延長CO、BA,它們相交于點P,設PO＝h0,OE＝h1,EC＝h2,OA＝a,BC＝b,DE＝c.

圖4

又因為DE把梯形OABC面積二等分,則梯形OADE的面積為梯形OABC面積的一半,即

得證.

問題3在直角梯形中,平行于底邊的線段DE把梯形面積二等分,則DE＝,在一般梯形中該結論也成立嗎?

分析如圖5所示,在一般梯形OABC中,OA∥DE∥BC,DE把梯形面積二等分,現要證明

圖5

如圖6所示,延長CO、BA,它們相交于點P,過點P作線段PK垂直于底邊BC,PK與OA、ED分別相交于點F、J.設PF＝h0,FJ＝h1,JK＝h2,OA＝a,BC＝b,DE＝c.

圖6

又DE把梯形OABC面積二等分,則梯形OADE的面積為梯形OABC面積的一半,即

得證.

問題4如圖7所示,給你一個梯形,你能用尺規作圖的方法作一條平行于底邊的線段,使得該線段把梯形面積二等分嗎?

圖7

分析如圖8所示,作圖步驟如下:

圖8

(1)延長CO、BA,它們相交于點P,過點P作線段PK垂直于底邊BC;PK與OA相交于點F;

(2)過點P作PQ∥BC,且PQ＝PK;

(3)連接FQ,作FQ的垂直平分線分別交FQ、PQ于點M、N;

(4)在線段PN上取點G,使得PG＝GN;

(5)以點G為圓心,GQ為半徑畫圓交PK于點J;

(6)過點J作ED∥BC,ED即為所求線段.線段ED把梯形OABC面積二等分.

證明 如 下:設PK＝PQ＝l,NQ＝NF＝r,△POA的面積為S0,梯形OADE的面積為S1,梯形EDBC的面積為S2.

在△PNF中有

在△PGJ中有

△POA∽△PED,則

△POA∽△PCB,則

由以上兩式解得S1＝S2＝,得證.

【小結】物理和數學聯系非常緊密,中間位置的瞬時速度既可用物理知識推導,也可用數學知識推導.本文先從物理學公式推導出勻變速直線運動中間位置的瞬時速度,再通過位移—時間圖像把中間位置的瞬時速度和梯形面積的二等分線聯系起來,從數學角度來驗證物理公式,還作出并驗證了梯形面積的二等分線.

(完)