物體走最短距離所用時間是否最短?

張 睿 常玉如

(1.山東省青島第二中學 2.北京市育英學校)

兩點之間線段最短.物體由靜止釋放,走最短的距離所用的時間是否最短? 本文對物體沿光滑斜面下滑和沿光滑曲面自由下滑兩種情況所用時間進行對比,得出物體走最短距離所用時間并非最短.進一步研究物體自由釋放沿哪種路徑所用時間最短,從而得出最速曲線方程.

【題例】如圖1 所示,將完全相同的兩個小球1、2分別從同一高度由靜止釋放,其中甲是一傾角為45°的光滑固定斜面,乙為光滑固定圓弧,不計空氣阻力,則二者落地的時間大小關系如何?

圖1

解法1 微元法

圖2

因此t2＜t1.

解法2圖像法

圖3

【問題思考】物體走最短距離所用時間并不是最短,物體沿什么樣的路徑下滑時間才會最短呢?

分析設O、A是高度不同,且不在同一鉛垂線上的兩定點,如果不計摩擦和空氣阻力,一質點m在重力作用下從O點沿一曲線降落至A(p,q)點,如圖4所示.

設曲線為y＝y(x),坐標如圖4所示,質點由O點開始運動,它的速度v與它的縱坐標關系為v＝,其中g為重力加速度.

圖4

在曲線上點(x,y)處,質點的運動速度

式中,s表示曲線的弧長,t表示時間,于是有

由于O、A兩點的橫坐標分別是0、p,則質點m從O點運動到A點所需時間

這樣質點由O點運動到A點所需時間t是y(x)的函數,最速降線問題就是滿足邊界條件的y(0)＝0,y(p)＝q所有連續函數y(x)中,求出一個函數y使泛函數取最小值.

對泛函數求極值的問題稱為變分問題,使泛函取極值的函數稱為變分問題的解,也稱為極值函數.若

且y(0)＝0,y(p)＝q.這樣取

上式對θ求導,所以x＝r(θ－cosθ)＋x0.根據曲線過原點(0,0)及(p,q),可求出x0＝0及r,這樣,所求曲線為x＝r(θ－sinθ),y＝r(1－cosθ).

可以看出,最快下降路線是一條滾輪線或者說是一條擺線.擺線就是當一個圓環沿著一條直線向前無滑滾動時,圓周上某一點P所形成的運動軌跡.

(完)