精選情境引出新知，前后環節關聯呼應
——以蘇科版教材八年級上冊“平方根”單元教學為例

筅江蘇省常熟市沙家浜中學 曹鳴軍

1 引言

初中階段“數的開方”并沒有安排在有理數的乘方之后立即進行教學，而是“過了很長一段時間”（人教版教材安排在七年級下學期，蘇科版教材則安排在八年級上學期）才引出數的開方，對我們開展平方根的新知引出來說，有很多數學情境可供選取，比如，基于平方運算的逆運算，運用勾股定理計算直角三角形的邊長，等等，都可以成為引出數的開方的“數學現實”．本研究基于蘇科版教材八年級上冊研發的平方根（第1課時）課例，并跟進闡釋筆者的教學立意，供研討．

2 平方根（第1課時）教學設計

2.1 創設情境，引入新知

問題1（七上教材內容）如圖1，把兩個面積為1dm2的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為2dm2的大正方形（如圖2）．如果設圖2中大正方形的邊長為x，那么x2=2，你們能求出x嗎？

圖1

圖2

預設：學生可能會感到困難，因為在七年級上學期只是給出圖2中正方形的邊長不是一個有理數，并且通過大量舉例、運算、猜想得出上面設出的x是一個無限不循環小數（教材上給出無理數的名稱）．

問題2（八上勾股定理教材習題）如圖3，AD⊥BC，垂足為點D．如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角嗎？請說明理由．

圖3

追問：你能求出邊AC，AB的

長分別是多少？

預設：學生會根據勾股定理得出AC2=5，AB2=20，由于5，20不是一個“完全平方數”，繼續求解就會出現困難，這樣就引出本課的新知講授．

2.2 講授新知，初步運用

求一個已知數（如3或-3）的平方的運算，是乘方運算，結果（冪）是9.

逆過來：

取一個未知數（如x）的平方，若結果（冪）是9，則x是3或-3.

取一個未知數（如x）的平方，若結果（冪）是a（強調a是非負數），求底數x的運算是平方的逆運算，叫作開方運算；

進一步用符號簡化表示開方運算的定義，如下：

設計意圖：這個過程中，先用文字，再代入字母表示這個數，使得定義的表述更加簡明，讓學生體會符號表達的必要性．

練習：下列各數有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由．

教學組織：這組練習不難，教學時，注意引導學生“回到定義”解釋．隨后師生共同小結出：“一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．”

接著安排教材上“例1”及一組練習講評．

2.3 運用新知，解決“問題”

解決問題：回到“問題1”“問題2”，請同學們分別寫出x的值，AC，AB的長是多少？

學生如果寫出正、負兩個方根，則提醒實際問題中要舍去負值．

繼續安排教材上例2（求一組數的算術平方根）、例3（判斷一些算式是否有意義），并組織學生討論交流，突出強調被開方數不能為負數．

2.4 課堂小結，訓練鞏固

小結問題1：本課學習了哪種新的運算？你覺得這種運算與之前哪種運算有關？你是如何理解它們之間的關系的？

小結問題2：對一個數a進行開平方運算時，要注意什么？

小結問題3：展望一下，你覺得后續如何研究對一個數開立方、開四次方？你能否舉例說說你會如何研究？

作業鞏固：

題2：教材上的“例4”．（例4的情境文字內容較多，限于篇幅，這里不做摘引）

3 教學立意的進一步闡釋

3.1 精選數學現實，引出新知“數的開方”

3.2 重視例題選編，前后環節“關聯呼應”

本課教材上的例題共有4組，但我們并沒有全部照搬，而是選取了前三組例題，將例4作為課后作業進行訓練．課堂進程中將開課階段的“問題1~2”作為一道例題進行“新知運用”，并且讓學生研究“含30°角的直角三角板”的三邊之比．這組“問題”的解決既過渡到新知“算術平方根”的引出，又關聯呼應了開課階段的情境，實現了運用新知解決問題的教學目標［2］．筆者認為，新知課中的例題、習題選編要貼近教學目標的達成、圍繞教學主線展開，對于偏離本課教學主線，或者習題內容效度并不貼近教學目標的大容量習題，可以在后續的習題課上再進行考慮．基于以上認識，由于本課是平方根教學的第1課時，所以我們將閱讀量偏大的“例4”后置在作業訓練中，在后續平方根的第2課時安排習題講評時，可以進行必要的小結提煉，并給出同類再練．

3.3 預設小結問題，回顧展望“成果擴大”

課堂小結是目前課堂教學研究中一個相對比較薄弱的環節，我們常常見到的課堂小結是“百搭式”的，比如：“這節課你們學到了什么？”“這節課你還有什么疑惑？”然后少數學優生把知識再說一遍，就完成了課堂教學任務．在上面課例的課堂小結階段我們預設了3個小結問題，分別引導學生回顧本課所學內容，問題比較開放，教學時，如果學生感覺不好表達，可以提醒學生舉例交流，因為由能舉例（特別是舉出恰當、適切的例子）往往可看出學生對新知的理解程度．對于課堂小結的第3個問題，我們安排學生展望“數的開方”、成果擴大，猜想開三次方、開四次方等內容，學生根據本課學習的路徑，應該能初步說出什么是開三次方（或開立方），結果是三次方根（或立方根）等等．這就從授人以魚走向了授人以漁，也就是說，向學生傳遞如何研究數學是更高立意的教學設計．

4 寫在后面

以一節單元起始課為例，概述了筆者的教學設計，由于平方根、算術平方根在有些教材中安排了多個課時進行學習，我們在一節課中將數的開方、平方根、算術平方根等概念都帶領學生進行學習，教學容量偏大，具體教學實踐時，還要注意結合學情適當取舍，并跟進必要的習題課講評訓練．筆者在文中針對課例教學立意的闡釋多為個人觀點，拋磚引玉，期待大家的課例實踐與觀點研討．