解題教學(xué)要幫助學(xué)生“學(xué)會尋找思路”
——以李庾南老師習(xí)題講評實錄為例

筅江蘇省海安市海陵中學(xué) 楊亞平

1 引言

最近有機會觀摩學(xué)習(xí)了全國著名特級教師李庾南老師執(zhí)教的一元二次方程習(xí)題課．李老師講評習(xí)題并不滿足于學(xué)生說出答案、核對解法步驟的層次，而是帶領(lǐng)學(xué)生全面理解題意，先從整體上看清問題，然后各個擊破，最終實現(xiàn)問題解決．本文中先梳理李老師對3道習(xí)題的講評過程，再與同行交流筆者的一些學(xué)習(xí)體會．

2 李庾南老師講評3道習(xí)題的課堂記錄

例1k為何值時，關(guān)于x的二次三項式x2-10x+k+5為一個完全平方式？

課堂記錄：學(xué)生很快得出答案k=20，李老師讓其中一個學(xué)生講講思路．

生1：由完全平方式的結(jié)構(gòu)，我先分析出公式中的b應(yīng)該是5，所以k+5=52，從而求出k=20．

生1點頭認可，李老師追問其他學(xué)生，他們也表示是這樣思考的．

師：你們還有其他思路嗎？

生2：我是用一元二次方程的根的判別式求解的．先假設(shè)二次三項式x2-10x+k+5為一個完全平方式，那么它對應(yīng)的一元二次方程x2-10x+k+5=0可以寫成（x+m）2=0的形式，也就是說，這個方程有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ=b2-4ac=0，即（-10）2-4×1×（k+5）=-4k+80=0，解得k=20.

師：很好！活學(xué)活用，能運用方程的眼光看待二次三項式ax2+bx+c（a≠0），想到這個式子為完全平方式的條件就是它所對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式b2-4ac=0．

例2當(dāng)k為何值時，關(guān)于x的方程kx2-4x+4=0有實數(shù)根？

課堂記錄：有個別學(xué)生很快就做好了，李老師巡視時發(fā)現(xiàn)他是典型的默認本題中的方程是一元二次方程，運用根的判別式求解，出現(xiàn)了漏解的情形，于是李老師安排該生上臺講解他的思路．

生3：由題意可得b2-4ac=16-16k≥0，即k≤1時，原方程有兩個實數(shù)根．

師：大家同意他的解法嗎？

生4：還要考慮k≠0，因為這是一元二次方程．

師：生3，你同意嗎？（生3表示忽略了這個限制）生4，問題中有沒有明確說明這是一元二次方程？

生4：沒有，所以還要分類討論k=0的情況，也就是說，它有可能是一元一次方程．

師：那你們再全面思考一下，看要考慮哪些可能的情形．

1分鐘后，生4示意他已想清思路.

生4：已知條件中并沒有明確指出原方程是什么方程，也沒有說明有幾個實數(shù)根，因而必須分類討論.

李老師根據(jù)生4的講解，在黑板上板書示意：

接著李老師安排學(xué)生寫出解法，生4上臺板演，如下：

①當(dāng)k=0時，原方程為一元一次方程-4x+4=0，有一根為x=1．

②當(dāng)k≠0時，原方程為一元二次方程，當(dāng)b2-4ac=16-16k≥0，即k≤1且k≠0時，原方程有兩個實數(shù)根．

李老師在學(xué)生解答的基礎(chǔ)上，提醒學(xué)生可以寫出結(jié)語：

綜上，當(dāng)k≤1時，關(guān)于x的方程kx2-4x+4=0有實數(shù)根．

課堂記錄：經(jīng)過2分鐘左右，就有學(xué)生示意求出了m=3，李老師檢查后對結(jié)果表示肯定，指導(dǎo)該生再思考如何更嚴謹?shù)亟M織語句，又過了1分鐘后，安排該生上臺講解．

李老師在學(xué)生講解時，梳理她的思路，形成如下板書：

師：大家同意她的解法嗎？有沒有補充的？

生6：還應(yīng)該考慮這個方程是否有實數(shù)解，也就是要計算一下根的判別式．我算了一下，根的判別式是m2+24，恒大于0，所以這個方程一定有兩個不相等的實數(shù)根．

李老師對生6的補充表示肯定，并將生6的意見書寫在生5的思路的上面，然后整體上用“大括號”括起來，如下板書示意：

李老師隨后提醒學(xué)生注意在運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系前，要優(yōu)先考慮一元二次方程的根的判別式．

3 解題教學(xué)要幫助學(xué)生“學(xué)會尋找思路”

3.1 從讀題到審題，讓學(xué)生形成解題“整體觀”

觀摩李老師的解題教學(xué)可以看出，李老師并不是先帶領(lǐng)學(xué)生一起讀題、分析思路，而是讓學(xué)生先獨立解題，在學(xué)生有了思路之后，李老師會走到學(xué)生旁邊個別診評，然后根據(jù)學(xué)生的解答情況進行評價或思路點撥，如果是比較典型的“問題解法”，李老師會“捕捉”“采集”出來，讓學(xué)生到講臺上板演或講解思路，然后師生共同分析，讓學(xué)生在反復(fù)讀題、理解關(guān)鍵條件或題設(shè)信息中完善解法．從上面幾道習(xí)題的講評看，李老師在學(xué)生講解、優(yōu)化、補充的同時，會梳理出解題思路，讓學(xué)生形成解題“整體觀”，而不是看見一個條件就急于演算，結(jié)果思考不全面而導(dǎo)致解題不嚴謹或有錯漏．這里特別值得一說的是，所謂解題“整體觀”［1］，即審題要仔細，看清所有題設(shè)信息，而不是盯住某個條件“倉促上路”；或者從結(jié)論逆向出發(fā)，接通某個題設(shè)條件就以為思路貫通、解題成功，這樣的解題常常是缺少“整體觀”的體現(xiàn)．從這個意義上說，李老師的習(xí)題講評過程體現(xiàn)出來的“整體觀”是值得我們學(xué)習(xí)的．

3.2 從聽講到對話，讓學(xué)生解題“嚴謹而簡明”

目前的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，習(xí)題講評課占很大比例，不少日常習(xí)題講評課往往是教師講題為主，有些即使安排學(xué)生講題，也多是用學(xué)優(yōu)生的嘴代替教師的講解（有些專家認為還不如教師親自講解）．我們看到專家教師李庾南老師的習(xí)題講評課就從學(xué)生單純聽講走向了生生對話、師生對話．從上文分享的3道習(xí)題的講評過程，可以看到一些高品質(zhì)的師生對話，更多學(xué)生的思維都被卷入對話中．特別是，李老師在學(xué)生講評或?qū)υ挼倪^程中，及時采集、梳理學(xué)生的思路，用體現(xiàn)“整體觀”的板書形象、生動地再現(xiàn)學(xué)生的思路歷程，幫助學(xué)生展現(xiàn)他們解題過程中“火熱的思考”．在師生充分對話和交流之后，學(xué)生基于對問題解決的“整體觀”，只要列出相應(yīng)的關(guān)系式或方程組，然后簡明寫出各步結(jié)果，最后給出結(jié)語即可，對較難題來說，讓學(xué)生懂得“省略非必要表達步驟”是使過程表達簡明的重要技能［2］．

3.3 從糾錯到究錯，讓學(xué)生感悟“細節(jié)決定成敗”

從李老師組織的3個習(xí)題講評實錄來看，李老師善于捕捉“生成性資源”，并且那些解題速度快但有“錯漏”的學(xué)生往往容易被李老師安排先上臺展示，接著李老師并不急于進行糾正、訂正，而是以一個“促動師”的角色，組織學(xué)生討論、對話，在這個過程中，往往原來出錯的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)他的錯漏就在于“某個細節(jié)”沒有注意到，這些細節(jié)都在糾錯中實現(xiàn)了究錯［3］．事實上，這樣的教學(xué)過程正是著名小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師華應(yīng)龍老師所倡導(dǎo)的“化錯教學(xué)”．

自20世紀70年代末李庾南老師提出“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法以來，該教學(xué)法在新授課、單元教學(xué)的相關(guān)主題研究方面都比較豐富，但是關(guān)于“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法在習(xí)題課教學(xué)中的實踐，還有待進一步深入研究．本研究是筆者近期有機會觀摩學(xué)習(xí)李老師在習(xí)題課中的一些精彩實錄后的有感而發(fā)，有些觀點和感悟不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，期待專家、同行的批評指正．