淺析類比思想在數學教學中的應用

筅江蘇省江陰高新區實驗中學 陳丹潔

1 引言

數學是一門海納百川的基礎學科，我們雖不奢求能理解與掌握其所有的知識，但我們可在自身已有認知的基礎上，將一些陌生的問題轉化成我們所熟悉的內容，類比思想則是實現這一轉化常用的一種方法［1］.

類比思想是指根據兩個或兩類具有相似性質的事物推斷出它們可能存在的其他類似之處的思想，因有明確的對比分析的對象，因而可省略大量研究所需耗費的成本［1］.它在數學領域中對聯系新知識和舊知識具有橋梁的作用，又對猜想的形成起到較好的推動作用.

2 運算類比，理清算理

運算能力不僅是一種重要的數學能力，還對物理、化學等學科的學習有著直接的影響.運算過程體現了學生的邏輯思維過程，在運算中運用類比，能將算理的本質暴露于學生的思維中，讓學生更加快速、簡便地掌握運算方法，提高運算效率，達到靈活應用的程度.

案例1：“有理數除法運算”的教學.

課前，筆者展示一個式子：（-4）×（-2）=8.

師：根據運算法則，我們可以將此式發生怎樣的變化？

生1：根據運算法則，可將乘法轉化為除法，即8÷（-4）=-2.

師：很好，這就是將有理數的乘法轉化為除法的過程，8÷（-4）=-2這個式子中，8為被除數，-4為除數，根據我們以往學過的運算規則，該怎么將除法運算轉變為乘法運算？

有理數的除法規則通過類比的方式昭然揭曉，學生在類比中也欣然接受了有理數除法運算的這種本質特征.為了鞏固與檢驗學生對這個算理的理解與掌握程度，教師可設計一些常規題供學生練習.

以類比思想幫助學生掌握運算規則的過程，不僅僅是讓學生掌握一種運算方法，更重要的是教會學生解決一類題的思想方法，這種數學思想的形成對數學學習具有重要的促進作用.因此，類比思想在運算中的應用值得每個師生重點關注.有效地掌握這種方法，可以讓學習變得輕松，在提高學生運算能力的同時，幫助學生獲得良好的數學思維能力.

3 概念類比，啟發思維

概念或定理等是數學的基礎，每個概念并非是獨立存在的知識點，它們之間有一定的內在聯系［2］.教學中，我們可充分利用這種聯系，通過類比的方式幫助學生弄清每個概念和定理的性質.一旦理清了各自的性質，就能很好地聯系新知與舊知.因此，類比過程又是聯系新知與舊知的橋梁.

案例2：“相交線與平行線”的教學.

為了讓學生從根本上理解相交線的性質，筆者采用了實踐操作與小組合作學習相結合的方式進行教學引導.引導過程中，筆者添加了類比的教學手段，以幫助學生明晰相交線所涉及的定理為形成與發展解題能力奠定基礎.具體如下：

師：如圖1，在a，b兩根木條的中間釘一顆釘子，讓這兩根木條能圍繞這顆釘子自由轉動.

圖1

學生操作.

師：現在請各組將自己所完成的作品，抽象成平面圖形，并思考所形成的圖形中會出現幾個小于180°的角.

生1：如圖2，根據實際情況，我們組畫出了四個小于180°的角，分別用∠1、∠2、∠3與∠4表示.

圖2

師：很好！如果我們將這四個角進行任意組對，能組幾對？

生2：根據之前學過的排序規律，四個角可以組成3+2+1=6（種）組合.

師：現在請各組分別將這6種組合寫出來，并根據每一對的位置關系進行分類，看看能分成幾類，并說明理由.

組1：相鄰的角分別有：∠1、∠2，∠2、∠3，∠3、∠4，∠4、∠1，共4組.

組2：相對的角分別有：∠1、∠3，∠2、∠4，共2組.

組3：具有公共邊的角分別有：∠1、∠2，∠2、∠3，∠3、∠4，∠4、∠1，共4組.

組4：沒有公共邊的角分別有：∠1、∠3，∠2、∠4，共2組.

師：非常好！從剛剛大家的分析看，角相鄰，且一條邊為公共邊，另一條邊互為反向延長線的角的度數和是180°，分別有∠1、∠2，∠2、∠3，∠3、∠4，∠4、∠1，共4組，我們稱這類角互為鄰補角；而角的位置相對，且兩條邊都互為反向延長線的分別有：∠1、∠3，∠2、∠4，共2組，此類角我們稱為對頂角.從以上環節看，鄰補角和對頂角分別需要具備怎樣的條件？

生3：首先要有兩條直線相交的條件.

生4：在兩直線相交的條件下，有一個公共頂點，但是沒有公共邊的兩個角互為對頂角；有一個公共的頂點和一條公共邊的兩個角互為鄰補角.

師：太棒了！我聽到你們用了“互為”這個詞，為什么？

生5：只有在談論兩個角之間的關系時，才稱得上互為.如圖2，∠2、∠4互為對頂角，而∠3、∠4則互為鄰補角.

本片段中，教師引導學生自主實踐、探索、觀察、發現角與角之間的位置關系，根據不同的分類方法獲得不同的數學定理.這種方式不僅讓學生親身經歷、體驗了鄰補角與對頂角概念的形成過程，還讓學生在鄰補角與對頂角的對比中明晰了各自的本質.這種方式不僅訓練了學生合作交流的能力，還有效地滲透了數學中常用的分類討論思想，培養了學生的類比思想.

4 解題類比，遷移能力

數學學習除了要發展學習者的智力水平與個人能力，最直接的表現就是解題能力的培養［3］.在以中、高考為晉級制度的今天，應試雖不是最主要的教育目的，卻是學生進入高等學府的重要路徑，解題能力的高低決定了學生未來受教育的層次.為此，筆者在例題教學中，常運用類比的方式，鼓勵學生在已有的認知水平上進行類比分析，以實現知識的正遷移，從而提高各項數學能力.

眾所周知，每個知識點衍生而成的試題品種繁多，題型多樣，若想用傳統的題海戰術應付中、高考，簡直是癡人說夢，比登天還難.筆者研究了近些年各地的中考試題，發現試題常出常新，每年都會出現新穎的問題.為此，我們唯有教會學生解題方法，通過一道題輻射到與它類似的一類題，在類比中真正地實現知識的遷移，達到觸類旁通的教學目的.

案例3：“一元一次方程”的解題教學.

首先與學生一起探討解一元一次方程遵循的規則或步驟.（1）去分母.對于含有分母的方程，應先在方程的兩側同時乘或除以各個分母的最小公倍數，特別要注意的是，不含分母的項也要同時乘或除以這個數.（2）去括號.與之前所學過的運算規則一樣，按照小、中、大括號的順序分別去除，此過程中，需特別留意括號前是負數的情況，注意符號的變化.（3）移項.尤其注意符號的變化.（4）合并同類項.（5）將未知數的系數化為1.以上為常規解題步驟，但遇到特殊情況的時候，可特殊對待.

原題：解一元一次方程：6+3x=2+5x.

本題比較簡單，主要是為了讓學生體驗解方程的步驟與過程.與以上解題步驟一一對應來看，本方程中不存在分母、括號，因此可省略掉前兩個步驟.本題中，等號左、右兩邊都有未知數，需執行步驟（3），移項為3x-5x=2-6，接下來合并同類項，合并后為：-2x=-4.隨后化簡系數可得x=2.

此題與例題相比，難度稍有增加.經創新后的方程，對照解題步驟，五個步驟一個都不能少.學生在與原題的類比中一一對照解題步驟進行解題，筆者在巡查中發現學生解題的正確率很高，只有個別學生在去分母環節中忘記常數項同時乘最小公倍數6，導致錯誤的發生，其他大部分學生解題過程清晰，結論正確.

總之，采取怎樣的教學方法能快速幫助學生突破思維的障礙與知識的重點與難點問題，值得我們每個教師思考與探索.類比思想的運用，對概念、定理、性質、解題等的教學都有良好的促進作用，它對激發學生的探究欲，開啟學生的數學思維，建構新知等，都有重要的影響.因此，我們應根據教學實際，選擇相應的教學方式，從真正意義上實現“減負增效”的教學效果.