一題多解，培養發散性思維

筅遼寧省大連開發區第九中學 戴琳琳

1 引言

發散性思維是指大腦在思維時的一種擴散狀態，它對創造力的形成具有直接影響.流暢、變通與獨特是發散性思維的主要特征.解題教學中，引導學生從不同視角看待與思考問題，對學生解題能力的提升與發散性思維的形成具有顯著的促進作用［1］.本文中，筆者以一道例題的解題教學為例，具體闡述如何在一題多解中培養發散性思維，為學生創新能力的形成奠定基礎.

圖1

2 發現隱含條件，明晰解題思路

數學解題時，不僅要有扎實的知識基礎，還要有一雙火眼金睛，能從題設條件中挖掘出一些若明若暗的條件，這些隱含條件往往對解題具有決定性的作用.不少學生在考試中解題失敗的主要原因就是沒有能發現題中潛存的隱含條件，導致走了很多彎路，致使解題時無從下手或想得過于繁雜.本題看似簡短，但存在條件抽象、結構靈活的特點，教師首先應引導學生從題中的隱含條件（直角坐標系中的直角）的角度分析問題.

解法1：取線段AB的中點C，并連接PC.

解此解的核心是發現隱含的條件∠BOA=90°，而AB的中點就是外接圓的圓心；由∠POA=45°這個特殊角，可發現點P的坐標具有一定的特殊性；再從圓概念的內涵出發，很容易就聯想到用方程解決此問題.此解題過程主要建立在對圓的概念有深刻理解的基礎上，用這種方法突出清晰的思路與簡便的計算過程.

3 夯實知識基礎，筑牢解題根基

研究發現，中考中數學基礎知識的占比非常大.在中考試卷中，一般不會有怪題或偏題等，基本以常規的科學記數法、圖形、方程等為主，只要有扎實的基礎與一定的思維能力，基本上不存在大的問題.解本題時，只要對求點的坐標的方法有一定的認識，學生基本上都能想到利用過該點作輔助線的方式解題.這種看似按部就班的解題方法，卻對啟發學生的思維具有重要作用，學生在解題中不斷探索、前進，思維獲得相應的成長.

圖2

求點的坐標最基本的方法之一是過該點作坐標軸的垂線.過點P作與x軸垂直的線段PD，或過點A作AH⊥PO，都是以這種基本解題方法為方向進行思考的.解題時，雖涉及了75°角的三角函數值，但對解題思路與結論并不產生影響.這種解題方法屬于常規思維下的解題方式，符合大部分學生的認知規律，教師通過這種方式的引導，為培養大部分學生的發散性思維奠定了一定的基礎.

4 形成數學思想，以不變應萬變

教學向來都不是以會解題為最終目的，而是幫助學生獲得終身發展的能力.數學思想是指人們對數學方法、內容或結構等的系統認識.很多教師遇到過這樣的情況：學生的解題能力僅限于模仿的水平，一旦題設條件發生了變化，則無從下手.杜威認為：“高度概括并清晰的知識，才具備遷移的條件”［2］.想讓學生形成靈活的解題與思維能力，首先要有良好的數學思想作為支撐.因此，新課標提倡我們要通過各種教學手段幫助學生構建新的數學思想，讓學生在探索中形成良好的數學思維.

圖3

對于以坐標系為背景的幾何類題型，可將圖形的基本結構作為思維的切入點，用一些基本圖形的性質舉一反三，達到以一通百的效果.本題中，過點P分別作兩坐標軸的垂線后，就出現了學生所熟悉的正方形.從正方形的性質出發思考本題，問題則迎刃而解.同樣地，換個角度，通過證明△APB是一個等腰直角三角形，與以上作正方形的原理一樣，都是以不變的數學思想方法應付發生變化的問題，但解題的核心思想并沒有發生改變.

5 利用數形結合，提升思維能力

利用數形結合，可將復雜的幾何問題轉化為簡單的數量關系問題，也可將繁雜的數量關系問題簡化為直觀的幾何問題，它最大的特點就是將問題變得直觀、形象、通俗易懂.在初中，數形結合思想的運用一般與坐標系的建立、數軸、函數等密切相關，本題亦可從此角度思考，解題將變得直觀、明了.

解法4：如圖4所示，取AB的中點C，連接PC并延長與線段OA交于點H.站在函數的視角分析，點P為直線CP與PO的交點，已知直線OP的解析式為y=x.

圖4

數形結合思想在初中數學中是運用得較多的一種數學思想，本題以函數圖象為思維的切入點，再從代數的角度分析與解決問題.復雜的問題經轉化后變得更為直觀，容易理解.筆者發現，學生在運用該思想方法時，常會因為圖形不標準、思維定式、邏輯不清等問題導致解題失敗.因此，教師在用這種方法啟發學生思維時，應充分了解學生的實際情況，要求學生嚴格按照條件準確畫圖，才能把復雜的問題變得簡單化.

6 教學思考

數學這門基礎學科消耗了學生不少的時間與精力，有些學生因鮮少在數學解題中收獲成就感，而對學習漸漸失去信心.一題多解則能讓學生在發散性思維中從不同角度觀察與分析問題，多種解題方式中，總有一種方式是學生所擅長的，學生在豐富的解題方法中可感知到數學學習的樂趣，實現思維的步步登高，學習也不再那么單調.

一題多解會讓學生不斷地挑戰自己的思維，體驗非智力因素對學習的影響，并感知到數學學習的成就感.新課標提出：“教師要以不同形式的教學方式與探究活動，帶領學生感知與體驗數學的再創造過程，實現創新意識的提升.”［3］這就要求教師充分發揮學生的自主性，讓學生在良好的情感體驗中進行解題訓練，以形成良好的解題技巧與技能.

同時，一題多解還能避免枯燥的重復練習，本題的四種解題方法，從不同的角度思考與分析，分別帶給學生不一樣的學習體驗.眾所周知，“雙基”的掌握離不開一定量的實操，而一題多解完美地避免了反復演練帶來的枯燥感.

總之，一題多解與發散思維的培養有著密不可分的聯系.基礎教育階段開設數學學科的主要目的就在于發展學生的思維，而思維的發展又依賴于學生認知的發展.因此，我們應想方設法帶領學生進入精彩的數學世界，讓學生充分感知數學的豐富與多彩，體驗數學獨有的魅力，從而積極、主動地投身于數學學習中，在“多變”的數學中感知“不變”的真諦，讓每個學生都能拋棄固有的思維模式，不斷創新，成為自信且善于探究的新一代.