可視化教學在高中物理問題解決中的妙用

陳棟梁，皋 春

吳江盛澤中學，江蘇 蘇州 215228

1 問題的提出

2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題如圖1所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的小環，小環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d。將小環從與定滑輪等高的A處靜止釋放，小環下滑過程中，下列說法正確的是（ ）

圖1 2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題

A．小環的機械能守恒

C．當輕繩與光滑直桿間夾角θ=60°時，小環的速度最大

誤解：需注意的是，小環加速度為零時，重物加速度不為零。不少人會誤認為小環加速度為零時，重物加速度也為零，從而得出繩子拉力T=2mg，θ=60°時小環速度最大的錯誤結論。

方法一：設小環在任意角度θ時的速度為v，由系統機械能守恒得：

則小環的速度為：

此速度表達式十分復雜，無法直觀得出速度的最大值及對應的角度，用數學求極值也非常困難。

此求解方法雖然可以排除錯誤答案，但不易被學生理解，且同樣無法判定小環速度在哪個位置最大。因此，方法二的信服力不夠，學生很難深入理解此題的全面過程。

基于上述困難，教師可以采用大家都熟悉且方便使用的Excel數值分析工具和圖像繪制功能等可視化教學技術，幫助和引導學生全面深入地理解復雜和抽象問題。

2 可視化教學：Excel數值分析工具及圖像繪制

可視化教學是指運用一切可能的圖示、動畫、聲音、視頻和實驗等技術和手段對教學的所有環節進行設計和整合，進而實施教學的過程。在教學過程中充分利用知識和思維可視化理論，使凸顯內涵要素的抽象或具體形態的外延可視化，使本來隱于頭腦中的思維過程外顯化、可視化。這樣，教師會更加容易地捕捉到學生錯誤概念的根源，從而更快捷、準確地建構新的概念和規律。

原題中，無論用公式法，還是特殊值法，都不能使小環和重物隨時間的變化規律可視化。而利用Excel的數值分析工具和圖像繪制功能，能完整地顯示小環和速度隨時間變化的過程，且可以找到特殊位置的軌點，使大家對速度變化規律的理解更清晰、更深入。

2.1 小環和重物速度的數值及圖像分析

圖2 小環和重物速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）圖2展現出的實際物理情境：在夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環和重物的速度都是先增大后減小。

（2）結合圖2和表1中的Excel計算數值可知，小環速度最大時θ=67.5°；重物速度最大時，對應的夾角θ=52.2°。

表1 小環和重物速度隨角度變化的計算數據

2.2 小環和重物加速度的數值及圖像分析

小環和重物的加速度直接制約小環和重物的速度的變化規律，只有理解加速度的變化規律，才能更深入地理解速度的變化規律。因此，用Excel的數值分析工具和圖像繪制功能，完整展示加速度隨時間變化的規律顯得非常有必要。

在任意角度θ時，對小環和重物分別受力分析，由牛頓第二定律，可得：

圖3 小環和重物加速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）由圖3，結合題目實際情境，在夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環的加速度由g逐漸減小為零，再反向增加；重物的加速度從零開始，先增大至某值再逐步減小為零，然后反向增加。

（2）由圖3，結合表2中的Excel計算數值，我們發現，小環加速度為零時，對應的夾角θ=67.5°；重物加速度為零時，對應的夾角θ=52.2°。即小環的加速度為零時，重物的加速度不為零。

表2 圖3對應的計算數據

2.3 小環和重物組成的系統動能之和的數值及圖像分析

能量問題是伴隨動力學問題必然要討論的問題。經上面的討論發現，原題中60°不是小環速度最大對應的角度，那是否是沒有意義的角度呢？通過Excel的數值和圖像功能，將小環和重物組成的系統動能之和進行可視化研究，發現了新的特殊結論。

圖4 系統動能之和隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）由圖4，結合題目實際情境，在夾角θ從90°逐漸減小的過程中，系統動能之和是先增大后減小。

（2）由圖4，結合Excel計算數值，容易發現，系統動能最大時夾角θ恰好為60°。所以，雖然60°不是小環速度最大時的角度，但卻是系統動能最大時的角度。

2.4 不同質量比時，小環和重物速度的數值及圖像分析

原題中，只討論了小環和重物在特殊質量時的變化規律。為使學生更深入地理解該物理問題，可以引導他們可視化探究小環和重物在不同質量比時的速度變化規律。

設小環質量為m，重物質量為m，在任意角度θ時小環的速度為v，重物的速度為v，由系統機械能守恒，得：

將兩個速度無量綱化，并約化質量后，可得：

圖5 不同質量比下小環速度隨角度變化的曲線

圖6 不同質量比下重物速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）結合圖5、圖6和題目實際情境，當質量比k＜1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環和重物的速度都是先增大后減小。但同一質量比下小環和重物的最大速度對應的角度并不一致。

（2）當質量比k=1.0時，小環和重物的速度都是一直增加的，最后趨于一個穩定值。

（3）當質量比k＞1.0時，小環和重物的速度是一直增加的，且越增越快。

2.5 不同質量比時，小環和重物加速度的數值及圖像分析

原題只討論了小環和重物在特殊質量時的變化規律。為使學生更深入地理解該物理問題，可以引導他們對小環和重物在不同質量比時的加速度隨時間的變化規律進行可視化探究。設小環質量為m，重物質量為m，任意角度θ時小環的速度為 v，加速度為 a，重物的速度為 v，加速度為a。由受力分析、牛頓第二定律、加速度牽連和系統機械能守恒，可得：

圖7 不同質量比下小環加速度隨角度變化的曲線

圖8 不同質量比下重物加速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）圖7可得的實際物理情境：當質量比k＜1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環的加速度由g逐漸減小為零，再反向逐漸增加。這說明小環先加速后減速，中間會出現速度最大值；當質量比k≥1.0時，小環的加速度一直向下減小，即小環一直處于加速狀態。

（2）圖8可得的實際物理情境：當質量比k＜0.5時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，重物的加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向逐漸增加；當質量比為0.5≤k≤1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，重物的加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向逐漸增加，再減小，最后趨于不變。這表明當重物較輕時先向上加速，再向上減速；當質量比k＞1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向，大小逐漸增加，接著又逐漸減小為零，然后再變向并逐漸增加，最后趨于不變。這表明當重物較重時會多次出現加速和減速過程。

3 結語

用Excel的數值分析方法和圖像功能，用可視化的手段，描述物理量的變化規律，操作方便、簡單，易于師生課堂教學使用，并具有以下優點：

（1）可以精準地找出復雜物理表達式中物理量的極值（常規手段或通過表達式無法直接得出，例如小環和重物的速度、加速度、總動能等物理量的極值問題）；

（2）可以完整、形象地描述物理量的變化規律，尤其是不同情形下的物理量的變化規律（例如不同質量比情形下，各物理量的變化規律），從而深入理解物理規律和本質；

（3）可以創造性地引導學生探究不同物理量之和的變化規律（例如系統動能之和的極值問題）。