高三數(shù)學復習課中微專題設(shè)計的策略探究

趙 莉 （江蘇省蘇州市張家港市樂余高級中學，江蘇 蘇州 215621）

高三數(shù)學復習課作為整個高中數(shù)學教學的重中之重，其有效性會直接影響學生復習的效果，如何構(gòu)建優(yōu)質(zhì)課堂，提高復習的有效性是每個數(shù)學老師關(guān)注的問題.進入高三的第二個學期，學生已經(jīng)基本完成了第一輪的復習，在這個過程中，學生構(gòu)建了完整的高中數(shù)學知識體系，也厘清了知識點之間的聯(lián)系，所以第二輪的復習一般會以專題的形式進行，通過選擇一些知識概念的交匯點、思想方法的生長點，以點帶面，幫助學生完善認知，鞏固、梳理、整合已學過的知識，促進解題思想方法的形成，提高分析問題和解決問題的能力，進而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).通過專題復習還可以診斷出在一輪復習教學中的薄弱環(huán)節(jié)，查漏補缺，明確下一階段要突破的目標.而相比傳統(tǒng)的高三數(shù)學大專題復習，微專題切口小、角度新，針對性和典型性更強，具有“因微而細、因微而準、因微而深”的優(yōu)勢，故而能起到“見微知著、固本浚源”的復習效果.那么，高三數(shù)學復習課中的微專題該怎樣設(shè)計呢？下面筆者就結(jié)合自己多年的高三數(shù)學教學實踐，談?wù)勎ｎ}設(shè)計的一些粗陋探試.

1 選題得當，讓微專題既“微”又“專”

數(shù)學復習課微專題的設(shè)計大致可以分為兩類來進行，一類是以知識點為主線，在鞏固學生知識點的同時培養(yǎng)學生的解題能力；另一類是以方法為主線，提升學生的思維能力和核心素養(yǎng).無論是哪一類，選題都是微專題設(shè)計的第一要素，如何讓一份微專題設(shè)計既“微”又“專”，筆者認為可以圍繞以下三個角度來進行.

1.1 從知識的系統(tǒng)性角度選題

微專題選題時雖不必注重知識的覆蓋面，但要著眼于整個高中數(shù)學的知識體系，所以要分析所選題目的設(shè)計意圖是什么，是否能以點帶面鞏固到相關(guān)的重要知識點，是否挖掘出了題目背后所反映的問題實質(zhì)，是否把握住了高考方向，保證了復習的針對性和有效性.故微專題要“因微而細，因微而精”.譬如筆者對平面向量知識系統(tǒng)的分析：從代數(shù)角度選題即復習平面向量的運算律和計算；從幾何角度選題即復習向量的加減法、數(shù)乘以及數(shù)量積的幾何意義；從物理角度選題即可結(jié)合實際背景復習矢量的意義等.

案例1：精選例題——高三數(shù)學微專題設(shè)計“平面向量的線性運算”

這一題具有基礎(chǔ)性、典型性，筆者的講解剖析體現(xiàn)了解題的思路，再以點帶面引導學生進行對平面向量的相關(guān)知識的復習，同時滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.在此過程中，難度適中的例題可以啟迪學生的思維，調(diào)動學生的學習積極性，提升學生的復習效率.

1.2 從知識的重難點、易錯點角度選題

微專題要“因微而深”，微專題復習的主要目的就是進一步強化重點，有效突破難點，及時糾正易錯點，所以在考慮了學生的實際學情及新高考的要求后選題要緊扣這三點來進行.如在復習基本不等式時將其嵌入函數(shù)、數(shù)列進行探究就是為了突破重點、難點.再譬如復習平面向量，平面向量加減法的幾何意義、平面向量的基本定理、平面向量數(shù)量積的運算及模、夾角的運算是重難點，零向量的概念、向量共線的概念以及向量夾角的概念是易錯點，所以在設(shè)計平面向量微專題時選題要有所側(cè)重.

案例2：突出重點——高三數(shù)學微專題設(shè)計“平面向量的數(shù)量積”

此時點的坐標為（3，0）.

在以往高考中，向量數(shù)量積的坐標運算是一個熱點，常在選擇題和填空題中考查.這一題從學生認知發(fā)展和知識建構(gòu)出發(fā)，利用坐標運算將向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的最值有機地結(jié)合在一起，讓學生體會向量的工具作用，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新精神.

1.3 從課堂的三維目標角度選題

“三維”是課堂教學目標的三大板塊，即“知識與技能”“過程與方法”“情感、態(tài)度、價值觀”，是新課程推進素質(zhì)教育的根本體現(xiàn).一份優(yōu)秀的微專題設(shè)計是生成一節(jié)優(yōu)秀復習課的前提，微專題雖“微”，但要“有效”.所以在選題時不必拘泥于教材的原有順序，而要立足學情、教情、考情，選擇一些高頻考點去規(guī)劃，力求讓學生在回顧基礎(chǔ)知識的同時鍛煉技能、激發(fā)潛能.

2 生成得當，讓微專題既“微”又“大”

微專題的“微”可以是選材內(nèi)容上的“微”，也可以是教學方法或教學目標的“微”，但“微”的背后是“大”，在細微處做大、做透、做寬，才能達到“見微知著”的目的.所以，微專題的設(shè)計需要關(guān)注知識的連通，在生成中對知識進行拓展和延伸.

2.1 變式連通，做“大”微專題

微專題本質(zhì)上是通過對知識的重組和整合，實現(xiàn)“串珠成鏈”的目的.所以微專題設(shè)計可以通過“變式”來連通知識點，構(gòu)建更高級的邏輯關(guān)系和知識體系，從而實現(xiàn)讓學生觸類旁通、舉一反三的教學效果.微專題設(shè)計還可以通過“變式”連通，讓學生掌握通學通法，構(gòu)建起解決同類型題目的“路線圖”.

案例3：一題多變——高三數(shù)學微專題設(shè)計“基本不等式”

這是一道雙變量的最值問題，做題的首選方法是“1”的代換，通過構(gòu)造積為定值，找和的最小值，學生在一輪復習時已能掌握解題的原理和方法.在二輪復習時筆者在微專題中設(shè)計了以下變式：

這六個變式題是對書本例題進行了不同角度、不同層次、不同背景的改編而得到的，層層遞進、螺旋上升，引領(lǐng)學生發(fā)散思維，讓學生在“變”的過程中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)及解題規(guī)律，找到問題的部分對象所具有的特征，再將熟悉的這一特征運用到這類題目中，將隱藏在深處的規(guī)律顯現(xiàn)出來，進而培養(yǎng)學生應用基本不等式解決問題的工具意識和定位意識.

2.2 技巧連通，做“寬”微專題

案例4：一題多解——高三數(shù)學微專題設(shè)計“三角函數(shù)”

這三種解法分別通過因式分解變換弦化切變換降次擴角變換將已知條件轉(zhuǎn)化再結(jié)合倍角公式與和角公式即可解得所求的三角函數(shù)值.一題多解有利于提高學生全面分析問題及綜合運用知識的能力所以在設(shè)計微專題時筆者有意識地挖掘問題的多解因素用于鼓勵學生不囿于單一的解題思路和方法并給予足夠的時間來思考問題發(fā)散思維構(gòu)建靈活多變的解題技巧.

案例5一題多選高三數(shù)學微專題設(shè)計數(shù)列

已知等比數(shù)列的公比為

1略2在①＝-3②＝9③＝27 這三個條件中任選兩個補充在下面的問題中并解答.

問 題若________求｛a｝的通項公式及數(shù)列-1）n+4a｝的前項和S.（注如果選擇多種情況解答則按第一種情況計分

這是一道結(jié)構(gòu)不良題，也是新高考中的創(chuàng)新題型，具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等特點.本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的分組求和，還考查了方程思想和運算能力.所以解決此類問題要求學生根據(jù)自身的知識結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)及解題經(jīng)驗在規(guī)定的時間內(nèi)做出合理的選擇，并迅速制定問題的解決方案.筆者在微專題設(shè)計時緊扣高考考點，引入“一題多選”，拓寬了學生思維的系統(tǒng)性、靈活性及創(chuàng)造性.

2.3 思維連通，做“透”微專題

案例6：一題多思——高三數(shù)學微專題設(shè)計方法篇“數(shù)形結(jié)合”

圖1

圖2

利用祖暅原理得的體積相當于底面積為4π，高為2 的圓柱的體積，

所以的體積為＝4π×2＝8π.

數(shù)學文化試題是新高考的熱點，也是比較新穎的題型，所以筆者在微專題設(shè)計方法篇“數(shù)形結(jié)合”中引入了此題.此題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體的體積，直觀的立體圖形可以很好地詮釋本例的問題，但因旋轉(zhuǎn)后的幾何體不是常規(guī)的圓柱、圓錐、圓臺，所以通過祖暅原理將問題轉(zhuǎn)化是本題的難點.祖暅原理中強調(diào)的是截面的“任意”性，所以直觀的“形”并不能輔助解決問題，而是要用精確的“數(shù)”來證明，可利用祖暅原理將所求的旋轉(zhuǎn)體體積轉(zhuǎn)化為求圓柱體積.做“透”此題可引發(fā)學生的思考和探索，可讓學生理解何為“數(shù)缺形時難直觀，形缺數(shù)時難入微”，進而感受到數(shù)形結(jié)合是“數(shù)”與“形”的相輔相成，在后面的解題中可以更好地利用這個重要的思想方法.

3 鞏固得當，讓微專題既“微”又“實”

3.1 解后反思，引發(fā)思考

學生在經(jīng)過微專題復習課的例題和變式后，在全面掌握基礎(chǔ)知識的情況下，要及時鞏固練習及整理反思，使知識在頭腦中根深蒂固，同時還要嚴謹審題，縝密思考，養(yǎng)成規(guī)范解答的習慣.所以，微專題的設(shè)計要加上鞏固反思這一模塊，它能及時反饋不同層次學生掌握知識的情況.如在復習“直線與圓的位置關(guān)系”微專題中，筆者設(shè)置了直線與圓的相切問題：在直線：＝+4 上取一點（2，6）作圓：+＝4的切線，切點為，，則切線方程為_________________.變式：在直線：＝+4 上任取一點（，）作圓：+＝4 的切線，切點為，，則切線長的最小值為________.之后設(shè)置了這樣的一個問題：根據(jù)以上條件，仿照變式，你可以再自編幾個題目嗎？對于基礎(chǔ)好的學生，自編了這樣的題目，如：①求過兩切點，所在的直線方程；②過點（，3）作圓：+＝4 的切線，切點分別為，，則四邊形面積的最小值為________.③過直線上一點作圓：+＝4 的切線，切點分別為，，則四邊形外接圓的方程為_________________.在教師總結(jié)的基礎(chǔ)上，學生自己獨立完成歸納提煉；對于基礎(chǔ)一般的學生，教師可以逐個輔導，找出問題所在，增加他們練習和板演的機會，這樣能讓不同層次不同類型的學生獲得學習的需要，提升學習效果.

3.2 及時總結(jié)，促進生成

在復習“直線與圓錐曲線的綜合問題”時，筆者設(shè)置了三個微專題，在“直線與圓錐曲線的最值問題” 微專題中設(shè)置了一問：你認為處理圓錐曲線最值問題的求解方法主要是什么？學生利用平時的積累發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.在“直線與圓錐曲線的定值問題” 微專題中設(shè)置了一問：你認為圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略”是什么？一是求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.二是求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.三是求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得.在“直線與圓錐曲線的探索性問題” 微專題中設(shè)置了一問：在解決探索性問題上，你想對你的同學提出什么溫馨提醒？學生歸納整合后，得出要解決探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.（1）當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論.（2）當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.（3）當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.微專題中及時鞏固這個做法收到了很好的效果，基本上幫助學生掌握了這一類問題的求解方法.

波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”，要讓學生擁有豐富且組織良好的知識，高效的課堂是不可或缺的.微專題的復習方式是教師將知識作為中心，對學生已有的數(shù)學知識進行提升，對知識網(wǎng)絡(luò)進行構(gòu)建，幫助學生形成良好的認知結(jié)構(gòu)，提升解決問題的能力，促使學生對數(shù)學知識有更加全面的掌握.在高三數(shù)學微專題的設(shè)計中，把握以上策略和技巧可以讓“微專題”更好地為高三復習教學服務(wù)，進而生成學生有收獲、有成長的課堂.